§5欧氏空间中的 Lebesgue-Stieltjes测度 本节将利用上节的结果来建立Rn上的 Lebesgue-Stieltjes测 度.为此,我们先引进若干记号 设a=(a1,…,an)与b=(b1,……,bn)为Rn中的两个点 若对一切讠有a;≤b(相应地,a;<b),则记为a≤b(相应地, a<b).设a≤b,我们令 C={(a6:a≤b,ab∈R"}, 1 51引理C为R上的半环,且μ为C上的a-可加非负集 函数 证C显然为半环.由归纳法易证μ在C上是有限可加的(直 观上看,体积具有有限可加性).为证H在C上为σ-可加的,只需 证μ为半σ-可加的(命题44)为此,设 I=(a,b,l;∈(a(,b6) 其中a<b,a<b(),且IcUI.对任给e>0,存在可,b,a< a<b及6>6(,≥,使得 μ(an6)≥(a,)-∈ y(a,b)≤(a,6)+2-e,i=1,2,… 由有限覆盖定理,存在自然数N≥1,使得{cU1(a(,b), 从而有cU1a(,b,故有 (0)-c≤(a)≤∑心(a(,3 1=1 ≤∑(a,b)+e
令∈↓0得(1)≤∑1(),μ的半σ-可加性得证.证毕 令B(B)为B上的 borel o-代数.易知:a(C)=B(BRn) 于是由测度扩张定理立得如下的 52定理可以唯一地扩张成为B(R")上的一a-有限测度 (称之为 Lebesgue测度) 令B(R)为B(R)的μ完备化,称B(R")中元为 Lebesgue 可测集,而B(B”)中的元称为 Borel可测集 53定义设F为R上的一右连续实值函数,对a,b∈R <b,令 △baF=△bn.n△bn-1dan 其中 △6.,G(x)=G(x1,…,x-1,b,x+1,…,xn) G( 如果对一切a≤b,有△.aF≥0,称F为增函数 设μ为B(Bn)上一∝-有限测度.称μ为 Lebesgue-Stieltjes 测度(简称为LS测度),如果对任何C∈C,有μ(C)<∞(即μ在 C上有限).下一定理表明:Rn上的LS测度与Rn上的右连续 增函数之间有某种对应关系 54定理设F为R上的一右连续增函数.令 (0)=0,pF(a,6])=△a,bF,a≤b,a,b∈B, 则pF可以唯一地扩张成为B上的 Lebesgue-Stieltjes测度.反 之,设μ为B上的一LS测度,则存在R上的一右连续增函 数F(但不唯一),使得为μF从C到B(R")上的唯一扩张 证设F为右连续增函数.与引理5.1类似可证:HF为C 上的一a-可加集函数,从而可以唯一地扩张成为B(B)上的测 度.定理后半部分证明比较复杂,我们就省略了(如果μ比较特 殊,满足(-∞,)<o,vx∈Rn,则令F(x)=(-,叫)即得 所要的增函数,这至少对概率论来说是够用了)
§6测度的逼近 设(2,,山为一测度空间.本节研究在什么条件下,F可 测集的测度可以通过厂的一子类C中的元素的测度来逼近.这 问题在研究拓扑空间上测度的正则性时很重要 61引理设(,,μ为一测度空间,C为F的一子类.令 H={A∈F:以(A)=sup[μ(B):B∈C,BC4]}, 则礼>Cb,且升有如下性质 (1)An∈礼,n≥1,An↑A→A∈化; (2)An∈H,μ(An)<∞n≥1→∩An∈孔. 特别,若为有限测度,则利为单调类,且对可列交封闭 证(1)设An∈孔,n≥1,An↑A.若(A)=∞,则p(An)↑ ∞,于是易从升的定义知A∈咒.现设μ(A)<∞.对任给∈>0, 先取70,使得山(An)≥μ(A) 再取B∈C,BCAn0,使得 (B)≥(An0) 则有BCA,且μ(B)≥山(A)-E,这表明 A∈升. (2)设An∈H,μ(An)<∞,n≥1.对每个n≥1,令Bn∈ C, Bn CAn,使得μ(Bn)≥以(An)-2-ne.令B=∩Bn,则 B∈C,BC∩An,且有 (∩An)-(B)=(∩AnM∩Bn)s(UAn\B) ∑(An)-以(Bn)≤ 这表明∩nAn∈H 62引理设(9,F,1)为一有限测度空间,D为厂的一子 类.令 g={A∈:H(A)=inf{(B):B∈Da,BA 21
则g>D,9为单调类,且对可列并封闭 证令C={D°,D∈D},并如引理61中定义升,则易见 A∈g兮A∈礼.故由引理61立得本引理结论 下一定理是测度逼近定理,它的证明依赖于推广了的单调类 定理(定理25) 63定理设(9,F,)为一测度空间,C为F的子类,且 σ(C)=F.此外设C满足如下条件: B∈C→AUB∈G;A∈C→A°∈(C5) 若A∈F,且μ在A上为a-有限,则有 (A)=sup{μ(B):BcA,B∈C} 61) 证首先假定(A)<∞,令 (B)=μ(A∩B),B∈F 则v为(2,)上的有限测度.令 升={c∈F:()=sup{v(B):BcCB∈c6}}, 则由引理610知,利为单调类,且升C.由C满足的条件推得 A,B∈C→AUB∈C6;A∈C→A∈(C5)o 于是由定理25知m(C)=0(C)=F,特别有A∈F,即有 v(A)=supv(B): BC A, BECs), 此即(61) 现设μ(A)=∞.令An∈Fμ(An)<∞,n≥1,使得An↑A, 则由上所证,我们有 sup{(B):BCA,B∈C}≥sup{μ(B):BcAn,B∈C μ1(An)
但limμ(An)=∞,故(6.1)成立.定理证毕 L→。。 作为定理的推论,我们有如下命题,它推广了习题38 6.4命题在定理63条件下,假定μ为有限测度,则对一切 A∈F,有 A)=sup{μ(B):BcA,B∈C} =inf{(C):CA,C∈D}, 其中D={Ce:C∈C}