第三章象特卡洛方法的若干应用 象卡洛方法是利用随机变量的一个教值序列来得到特定 问题的泥似解的数讣犷方法。 蒙卡洛方法的应用可以大政分为丌类:第一类是所求问题 具有严格确完的数学形式,马一类是本身就是具有統计性员败的问 3.1蒙特卡洛方法在积分计算中的应用 一维定积分计算的平均值法(期望值佑计法)。 一维积分计箕 I=lf(x)dx 0≤x≤1,0≤f(x)≤1 在x的定义域[0,1]上垍勻地隨机取点,该均勻分布的随机变量 记为5。我们定义一个霞机变量n为 n=f(5) 则显嶽有 En}=Ef()}=1 7的期望值岢于积分值1。只耍抽取足够多的随机点,即取隨机 京数n足够大时,f()的平均值 f(5) 就是积分的一个无偏佔计值
第三章 蒙特卡洛方法的若干应用 蒙特卡洛方法是利用随机变量的一个数值序列来得到特定 问题的近似解的数值计算方法。 蒙特卡洛方法的应用可以大致分为两类：第一类是所求问题 具有严格确定的数学形式，另一类是本身就是具有统计性质的问 题。 3. 1 蒙特卡洛方法在积分计算中的应用 一、一维定积分计算的平均值法（期望值估计法）。 一维积分计算 0 ∫ = 1 0 I f (x)dx, ≤ x ≤ 1，0 ≤ f (x) ≤ 1. 在 x的定义域[0，1]上均匀地随机取点，该均匀分布的随机变量 记为ξ 。我们定义一个随机变量η1为 ( ) η1 = f ξ . 则显然有 E{ } = E{f ( )} = I η1 ξ . η1的期望值等于积分值I 。只要抽取足够多的随机点，即取随机 点数n足够大时， f (ξ )的平均值 ( ) 1 1 ∑= = n i n i f n I ξ 就是积分I 的一个无偏估计值
7的方。 vin)=L(x) 显}依赖于被积函数∫(x)在积分域上的方。当f(x)在x的定 义城内变化平担,即和的差处处都較小时,方也小;凤之, 则方校大
η1的方差。 V{ } [ ] f x I dx . 2 1 0 1 ( ) ∫ η = − 显然V{η1}依赖于被积函数 f ( x)在积分域上的方差。当 f (x)在 x的定 义域内变化平坦，即和I 的差处处都较小时，方差也小；反之， 则方差较大。 f(x) 0 1 x y 1 I f(x) 0 1 x y 1 I
从这里可以看出:恳量减小被积函數在积分城上的方,可以魂 小积分估计值的方些,加遠收敛。推而广之來说,就是耍澉少棋 拟量在拟范国內的方。 枫据这样的原则,当被积函数∫(x)在积分域内的方差毓大时 可以采用各种抽样执巧。如采用量要抽样法,将f(x)的方鑾吸收 到g(x)中赤,这禅模拟量一记录函数∫(x)=f(x)/g(x)在定义域内相 過平坦,则我们将(3.1.1)式的计算变为 1=/(M[(2g=广(xg(k 若选取n为服从分布密度函数g(x)的函数(x)的抽样。这里g(x)称 为傭脩分布寧度函数。我们;到 因此它的平均 1n=∑m=∑∫'(x) 给出了I的一个无儡计值。这时的方为 切)=C(x)-)于8(xk=C( f2(x) 8(x) 在舆际讣犷中,方還过下式得到计算绪果 ∑ 式中角塑括号()爽示对括号内所有可能的[0,1区间,换g(x)分 布的随机坐标数序列{}对应的数值求平均。方程右边第一项对 f(x)水均(,苇二项示求(()平均的平方了。上
从这里可以看出：尽量减小被积函数在积分域上的方差，可以减 小积分估计值的方差，加速收敛。推而广之来说，就是要减少模 拟量在模拟范围内的方差。 根据这样的原则，当被积函数 在积分域内的方差较大时， 可以采用各种抽样技巧。如采用重要抽样法，将 的方差吸收 到 中去，这样模拟量—记录函数 在定义域内相 当平坦，则我们将(3.1.1)式的计算变为 f (x) * f f (x) g(x) (x) = f (x) / g(x) ∫ ∫ ∫ = = = 1 0 1 0 * 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x dx f x g x dx g x f x I f x dx 若选取η′为服从分布密度函数 的函数 的抽样值。这里 称 为偏倚分布密度函数。我们得到 g(x) f (x) ∗ g(x) I = E{η′}. 因此它的平均值 ∑ ∑ = = = ′ = n i i n i n i f x n n I 1 * 1 ( ) 1 1 η . 给出了I 的一个无偏估计值。这时的方差为： { } [ ] ∫ ∫ ∫ = − ′ = − = − 1 0 2 2 1 0 2 1 0 2 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx I g x f x I g x dx g x f x V η f x I g x dx . 在实际计算中，方差通过下式得到计算结果： 2 2 2 * * 1 1 1 1 ( ) ( ) n n i i i i f x f x n n σ = = = − ∑ ∑ . 式中角型括号 表示对括号内所有可能的[0，1]区间，按 分 布的随机坐标数序列{ 对应的数值求平均。方程右边第一项对 g(x) xi} { } *2( ) i f x 求平均( ) *2 f ，第二项表示求{ } * ( ) i f x 平均值的平方 2 __ * f 。上
式可以经推导到: 由此我们看出其误鑾平方与∫在[0,1区间的方鑾成正比,且 oa1/Vn。这与中心极限定理所得到的結果一政。 二、一维定积分计算的掷点法 计犷积分也可以笈樺来散∶ 在单正方形内均訇投点,每个点的坐标为(x1,y),共敵N 个投点。如景投点足不亭式ys(x),即点落在f(x)曲戴下,则记 录下投点次数(认为试验成功);凤之,则认为试失败。 用蒙卡洛的语言來讲,就是产生随机数5,2。如果5≤f(52), 则认为试验成动;如果5>八(52),则试验失败。若在N次试验中有 m次成功,则比值m/N就給出/的一个无儡佔计: 引入随机变量 水55)={1555) 0,51>f(2) 则 ((51252 也在N次试验下的一个的无偏计值为 N2(5-5) N 这是Ⅰ的一个似值。它的方塾为 {m}=E{2}-[E=1-12
式可以经推导得到： ( ) { } * 2 * 1 2 *2 V f f f n n σ = − = . 由此我们看出其误差平方与 * f 在[0，1]区间的方差成正比，并且 σ ∝ 1 n 。这与中心极限定理所得到的结果一致。 二、 一维定积分计算的掷点法 计算积分也可以这样来做： 在单位正方形内均匀投点，每个点的坐标为( ，共做 N 个投点。如果投点满足不等式 , ) i i x y ，即点落在 曲线下，则记 录下投点次数（认为试验成功）；反之，则认为试验失败。 ( ) f (x) i i y ≤ f x 用蒙特卡洛的语言来讲，就是产生随机数 1 2 ξ ,ξ 。如果 ， 则认为试验成功；如果 ( ) 1 2 ξ ≤ f ξ ( ) ξ 1 ξ 2 > f ，则试验失败。若在 N 次试验中有 m 次成功，则比值m / N 就给出I 的一个无偏估计值： N m I ≈ . 引入随机变量 ( ) > ≤ = 0, ( ) 1, ( ) , 1 2 1 2 1 2 ξ ξ ξ ξ η ξ ξ f f 则 { } ( ) , E η ξ 1 ξ 2 I = . 它在 N 次试验下的一个I 的无偏估计值为 ( 2 1 2 ) 1 1 , N N i i i m I N N η ξ ξ − = = = ∑ . 这是I 的一个近似值，它的方差为 { } { } [ { }] 2 2 2 V η = E η − E η = I − I
容易证明掷点沽的方岩比平法的方大 r切-r{)=1-12-()-=1-F-r(+2J(x=P [(x-(x)20 证明: n(x5k=)+水x5k=(5) 而在平均值法中|=E}=E{(},恰恰用了(51,52)对;的期翼值代 巧n(1252) 这里可以反应出减小方差,加怏收敛的又一个原则。这就是 戛尽量使用理论分析到的期望值来代拟佔计值。逭个環则 也同禅垽用于所有的蒙卡洛棋拟过程。 实上使用这个原则可以織小方、加快收筮的原因是显 的。因为一物隨机拟量总会有误孌的,如最以肴确的理论值来 代謦κ12),就必然食魂小方。所以在一切棋拟过程中,能使 用理论计算值的地方应当尽量使用。 以上觉仉介绍的这丌个微小方塾,加收敛的原则也正是 量抽禅油、分层抽样法、对偶变量法、相关抽禅法的基本出 三、多量定积分的计算 物理上的许多问题都念涉及多量定积分。例如,一个粒子衰 变到n体末的相空间积分,由于每个来虍粒子部有动量和能量 四个分量,考虍到每个粒子灏足能公式和所有粒子的总能
容易证明掷点法的方差比平均值法的方差大 { } { } [ ]2 1 1 1 2 2 2 1 0 0 0 V V η η − = I − − I f ( ) x − I dx = I − − I f (x)dx + 2I f (x)dx − ∫ ∫ ∫ 2 I ( )[1 ( )] 0 . 1 0 = − ≥ ∫ f x f x dx 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ( ) 2 1 2 0 2 1 0 2 2 2 η ξ η ξ η ξ ξ ξ ξ x dx x dx x dx f f f = + = ∫ ∫ ∫ 而在平均值法中I = E{ } η1 = E{f (ξ)}，恰恰用了 ( ) 1 2 η ξ ,ξ 对ξ 1的期望值代 替了 ( ) 1 2 η ξ ,ξ 。 这里可以反应出减小方差，加快收敛的又一个原则。这就是 要尽量使用理论分析得到的期望值来代替模拟估计值。这个原则 也同样适用于所有的蒙特卡洛模拟过程。 实际上使用这个原则可以减小方差、加快收敛的原因是显然 的。因为一切随机模拟量总会有误差的，如果以精确的理论值来 代替 ( , ) 1 2 η ξ ξ ，就必然会减小方差。所以在一切模拟过程中，能使 用理论计算值的地方应当尽量使用。 以上我们介绍的这两个减小方差，加速收敛的原则，也正是 重要抽样法、分层抽样法、对偶变量法、相关抽样法等的基本出 发点。 三、 多重定积分的计算 物理上的许多问题都会涉及多重定积分。例如，一个粒子衰 变到n体末态的相空间积分，由于每个末态粒子都有动量和能量 四个分量，考虑到每个粒子满足质能公式和所有粒子的总能、动