3.2例产生器 在核及粒子物理研究中。往往要做出微分微窗或全微面的理 论预言,并将其与实验結果选行对比。为此实瞼工作者猾受知, 理论上得到的微面值在多大糖度范国内会被实验量测量出来。 这就卿耍将理论上得到的确微分徵面衰达式,在验探测相空 间内选行积分。 困难: (1)目前的各种奥验量都相当复杂,对这样的相空间解 析积分几乎是不可能的。 (2)我们在计算总截面时,住住都要变换相空间的变量。这 样就增加雅可比行列式的因子,因而相空间积分的 算就更加友杂。 (3)假如我们要考各探测器的效亭,就必须引入种随机 统计的放应。解析求积分的方法逭时就无法处理逭类统 讣问邏,而只能用蒙特卡洛探测器棋拟方法來解决。 这样的拟程序要俍用彎卡涪例产生器。 所调寡例产生器是一个蒽机广生“非加权”事例的模拟程序。 “非加权”的含义是指末亮粒子的四动量是换着确的微分微面来 通过该产生器产生的这些事例,最终可以得到全微面的棠特 卡洛的讣篁。 采用事创产生器,我们就很容易地只对某个运动学变量的值
3. 2 事例产生器 在核及粒子物理研究中，往往要做出微分截面或全截面的理 论预言，并将其与实验结果进行对比。为此实验工作者需要知道， 理论上得到的截面值在多大精度范围内会被实验装置测量出来。 这就需要将理论上得到的精确微分截面表达式，在实验探测相空 间内进行积分。 困难： （1） 目前的各种实验装置都相当复杂，对这样的相空间做解 析积分几乎是不可能的。 （2） 我们在计算总截面时，往往都要变换相空间的变量。这 样就要增加雅可比行列式的因子，因而相空间积分的运 算就更加复杂。 （3） 假如我们要考虑各探测器的效率，就必须引入各种随机 统计的效应。解析求积分的方法这时就无法处理这类统 计问题，而只能用蒙特卡洛探测器模拟方法来解决。 这样的模拟程序需要使用蒙特卡洛事例产生器。 所谓事例产生器是一个随机产生“非加权”事例的模拟程序。 “非加权”的含义是指末态粒子的四动量是按精确的微分截面来 产生的。 通过该产生器产生的这些事例，最终可以得到全截面的蒙特 卡洛的估计值。 采用事例产生器，我们就很容易地只对某个运动学变量的值
产生事例,来得到相对于该变量的微分面。 假定微分面公式用如下符号示: do(x) 这里衰示张开相空间的运动学变量。根据蒙饽卡洛理论,总微 面a=d的象管卡洛估计值为 1do(, ).j. dx N台c 式中x是均訇分布的随机矢量 象特卡洛积分求。具有如下的铲性: (1)当N很大时,σ收歙亍。。 2)σ的期望值于σ (3)当N足够大时,σ是服从正庵分布的。 (4)o的标准禄她为[p° 利用事例产生程序来产生非加权事创,常用的方法有两利 (1)自适应抽样法,它是将量要抽样法和分层抽样法结合起来 的选代算法; (2)重要抽祥法。它们都可以藏小计算出的面方鑾。 当言例产生程序果用自适应抽禅法时,原则上并不釁耍言先 微分裁雷如(的性质有一些了解。程序自身可以根据函数特性 来调
产生事例，来得到相对于该变量的微分截面。 假定微分截面公式用如下符号表示： x dx dx d d G G G ( ) σ σ = . 这里 表示张开相空间的运动学变量。根据蒙特卡洛理论，总截 面 的蒙特卡洛估计值为 x G ∫ σ = dσ ( ) ∑ ∫ ′ = ⋅ = x dx dx d N i N i G G G 1 1 σ σ 式中xi是均匀分布的随机矢量。 G 蒙特卡洛积分要求σ ′具有如下的特性： （1） 当 N 很大时，σ ′收敛于σ 。 （2） σ ′的期望值等于σ 。 （3） 当 N 足够大时，σ ′是服从正态分布的。 （4） σ ′的标准误差为 1/ 2 ( ) / x N dx d V G G σ 。 利用事例产生程序来产生非加权事例，常用的方法有两种。 （1）自适应抽样法，它是将重要抽样法和分层抽样法结合起来 的迭代算法； （2）重要抽样法。它们都可以减小计算出的截面方差。 当事例产生程序采用自适应抽样法时，原则上并不需要事先 对微分截面 (x) dx d G G σ 的性质有一些了解。程序自身可以根据函数特性 来调整
(1)机地选擇一个子空间。这些子空间的划分是自适 应镎卡洛方法程序坛行第一阶段自动调蕘子区间的 界得到的。 2)在这个子空间内随机地抽取一个事例样本,并计算 该事例的权宜w。该权量定义为对于该事例參教的微 分可值与在该子空间内的最大微分微面值之比 3)采用會选法选择事例:取[0,1上的均勻分布随机 数:,如果s,该事例被接受;反之,该事创被會弃。 (4)复上面(1)一(3),直到获得所帶要的事例数。 换胤相对论量子力学理论,总微面可以褒示为 M为籀述过程的矩阵元平方,与过程墩生相关的动力学机制则 包含在其中;p为相空间度,它是动学变量的函薮。积分 是对所有的动哟变量构熾的空间γ进行的。不变矩阵元平方 M显与微分氰面相关。 在被积函数的峰值兮性很强的情况下,采用这种具有自动 调蓬子迩间边界的自垽疝象兮卡洛抽祥的事例产生器往往不 是很有放。因而我们只好寡先要对矩阵元平方的函教兮性有所 了解,以更合理地划分子空间。当矩阵元平方的峰数不多时, 依函教的兮性来划分子区间可能不太困难,卫是如果峰教很 时,要这样儆就很困难。我们有时采用将积分变量作变量代换
步骤： （1） 随机地选择一个子空间。这些子空间的划分是自适 应蒙特卡洛方法程序运行第一阶段自动调整子区间的边 界得到的。 （2） 在这个子空间内随机地抽取一个事例样本，并计算 该事例的权重 。该权重定义为对应于该事例参数的微 分截面值与在该子空间内的最大微分截面值之比。 w （3） 采用舍选法选择事例：取[0，1]上的均匀分布随机 数ξ，如果ξ ≤ w，该事例被接受；反之，该事例被舍弃。 （4） 重复上面（1）—（3），直到获得所需要的事例数。 按照相对论量子力学理论，总截面可以表示为 σ = ρdv ∫M M 为描述过程的矩阵元平方，与过程发生相关的动力学机制则 包含在其中；ρ 为相空间密度，它是运动学变量的函数。积分 是对所有的运动学变量构成的空间 进行的。不变矩阵元平方 显然与微分截面相关。 v M 在被积函数的峰值特性很强的情况下，采用这种具有自动 调整子空间边界的自适应蒙特卡洛抽样的事例产生器往往不 是很有效。因而我们只好事先要对矩阵元平方的函数特性有所 了解，以便更合理地划分子空间。当矩阵元平方的峰数不多时， 依函数的特性来划分子区间可能不太困难，但是如果峰数很多 时，要这样做就很困难。我们有时采用将积分变量作变量代换
被选择的新积分变量要伩矩阵元平方的峰变平坦。此时就可以 良用自适应卡洛抽样程序的自调功能來得到耪确结。 量氨抽祥沽的非权量事例产生器程序产生τ例的基本步骤 (1)找出一个被积微分面如(x)函数的近似裹达式。该 近似衰达式在相间內应当是解析可积的。外且其函教 必须具有与如冈的犄确襄达式有相鳳的峰結袍。 (2)根攪该微分微面近似裹达式的分布,随机抽取事例 样本。 (3)对产生的事例加权堂,其权量因子等于该事例对应 的贛确面值与对应的近似微分面值之比。 (4)采用會选法抽取非权堂事例。取[0,1区间上均勻 分布随机,考≤v/Wm,则接收该事例;之,则會 弃该事例。这祥得到的事例即为非加权事例。 (5)量复(2)-(4)过程,直至获得所册教量的事例 显然,这种方法与具体处理的风应过程关系很密切。不同的 研究过程。甚至不同实验参教微断值的选取。郐猾要选择不同的 近似函数,甚至采用不属的事例产生程序。因而与自适应抽样法 产生事例相比,置要抽样产生言例存在不具通用性的困难。 量抽袢法存在的第二个困难也同样是出现在当矩阵元平 方的峰值特性复条的情况。此时难于到糖确結果。这个困难有
被选择的新积分变量要使矩阵元平方的峰变平坦。此时就可以 使用自适应蒙特卡洛抽样程序的自调整功能来得到精确结果。 重要抽样法的非权重事例产生器程序产生事例的基本步骤 为： （1） 找出一个被积微分截面 (x) dx d G G σ 函数的近似表达式。该 近似表达式在相空间内应当是解析可积的，并且其函数 必须具有与 (x) dx d G G σ 的精确表达式有相同的峰值结构。 （2） 根据该微分截面近似表达式的分布，随机抽取事例 样本。 （3） 对产生的事例加权重，其权重因子 等于该事例对应 的精确截面值与对应的近似微分截面值之比。 w （4） 采用舍选法抽取非权重事例。取[0，1]区间上均匀 分布随机数ξ ，若 max ξ ≤ w/ w ，则接收该事例；反之，则舍 弃该事例。这样得到的事例即为非加权事例。 （5） 重复（2）—（4）过程，直至获得所需数量的事例 数。 显然，这种方法与具体处理的反应过程关系很密切。不同的 研究过程，甚至不同实验参数截断值的选取，都需要选择不同的 近似函数，甚至采用不同的事例产生程序。因而与自适应抽样法 产生事例相比，重要抽样产生事例存在不具通用性的困难。 重要抽样法存在的第二个困难也同样是出现在当矩阵元平 方的峰值特性复杂的情况。此时难于得到精确结果。这个困难有
时可以采用多熴特卡洛抽禅方法來解决。该方法是基于选加原 其具体步骤: (1)将彎确微分微面山o分成考干山的加。每个d有它自 己的峰篁绪袍特性。 (2)对每个dσ編写按上述步骤产生事例的子产生器程序。在 具体产生事例时,随机选择一个子产生器,而选择第i个 子产生器的概率正比于对应于σ的近似裁窗值G。对三 由第i产生器产生的事例计犷权量因子w=d (3)用會选法得到以d分布的事例。 (4)从在广生事例过程中得到的v可以算出总截面值为 ∫d=∑jd=∑")ao,=(m)G 其中 F=>O o=do 这星()表示以近似微分截面分布的事例的权量因子w的平 均;(m)表示换如下方法产生事例的权置因子w的平均值,即选 擇在[0,1区域上均訇分布隨机数,判斷满足不式 ∑0/0s5∑ 的i寶。嶽后蛰分布产生賽例。 常一个τ例产生器的效卒宠义为
时可以采用多道蒙特卡洛抽样方法来解决。该方法是基于迭加原 理。 其具体步骤： （1） 将精确微分截面dσ 分成若干 i dσ 的迭加。每个dσ i 有它自 己的峰值结构特性。 （2） 对每个 i dσ 编写按上述步骤产生事例的子产生器程序。在 具体产生事例时，随机选择一个子产生器，而选择第 个 子产生器的概率正比于对应于 i σ i的近似截面值σ i ~ 。对于 由第i个产生器产生的事例计算权重因子 i i w d i σ dσ ~ = / 。 （3） 用舍选法得到以dσ 分布的事例。 （4） 从在产生事例过程中得到的wi可以算出总截面值为： σ σ σ σ σ σ ~ ~ 1 1 d d w ~ i w N i N i d i i = = = = ∫ ∑∫ ∑ = = , 其中 ∑ ， = = N i i 1 ~ ~ σ σ ∫ σ i = dσ i ~ ~ ， (i = 1,2,⋅ ⋅⋅, N). 这里 i d wi σ ~ 表示以近似微分截面 i dσ ~ 分布的事例的权重因子 的平 均值； wi w 表示按如下方法产生事例的权重因子 的平均值，即选 择在[0，1]区域上均匀分布随机数 w ξ ，判断满足不等式 σ σ ξ σ σ ~ ~ ~ ~ 1 1 1 ∑ ∑= − = ≤ < i j j i j j 的i值。然后按dσ i ~ 分布产生事例。 通常一个事例产生器的效率定义为 wmax w E =