2.3任意分布的伪随机变量的抽样 大多数的伪随机数变量并不足[0,1区闾的均勻分布, 而是具有各种不同形式的分布密度函数。 对一个具有分布度函数∫(x)的伪隨机变量的抽祥是 过以下步骤来选行的:首先在[0,1区间抽取均勻分布的伪隨 机数列,然后再从这个伪机数列中抽取一个筒单子样,使这 个簡单子桦的分布足分布密度函數f(x),并且各个伪随机数 相互独立。寥际上只要[0,1]区间上均勻分布的隨机数具有好 的独立性,则抽得的简单子也一定具有和咆同好的独 因此,对不均勻的伪随机变量抽样的关鵪问题是如何从均 訇分布的伪随机变量样本中,抽取昔合所耍求的分布密度函数 的简单子样。 选加原则:如景要产生分布密度函数为f(x)的隨机变量 样本数列,我们可以把f(x)变成分布概率密度函数h(x)的和的 形式,即 f(x)=∑h(x) 并按其中的分布密度函数h(x)选行抽样作为f(x)的抽样值,决 定选择哪一个(x)进行抽榉的原则是椴据∫1(的积分值作 为权重随机地选择的。这就是蒙卡洛方法的迭加原则。 在对复杂的分布密度函教的抽样时,伪随机变量抽样的迭 加原则是十分有用的
2．3 任意分布的伪随机变量的抽样 大多数的伪随机数变量并不满足[0，1]区间的均匀分布， 而是具有各种不同形式的分布密度函数。 对一个具有分布密度函数 的伪随机变量的抽样是通 过以下步骤来进行的：首先在[0，1]区间抽取均匀分布的伪随 机数列，然后再从这个伪随机数列中抽取一个简单子样，使这 个简单子样的分布满足分布密度函数 ，并且各个伪随机数 相互独立。实际上只要[0，1]区间上均匀分布的随机数具有好 的独立性，则抽得的简单子样也一定具有和它同样好的独立 性。 f (x) f (x) 因此，对不均匀的伪随机变量抽样的关键问题是如何从均 匀分布的伪随机变量样本中，抽取符合所要求的分布密度函数 的简单子样。 迭加原则: 如果要产生分布密度函数为 的随机变量 样本数列，我们可以把 变成分布概率密度函数 的和的 形式，即： f (x) f (x) h (x) i f ( ) x h (x) i = ∑ i 并按其中的分布密度函数h (x) i 进行抽样作为 的抽样值，决 定选择哪一个 进行抽样的原则是根据 f (x) h (x) i h (x) i dx ∫ 的积分值作 为权重随机地选择的。这就是蒙特卡洛方法的迭加原则。 在对复杂的分布密度函数的抽样时，伪随机变量抽样的迭 加原则是十分有用的
A.高散型分布随机变量的直接抽样 如果离散型随机变量x以概率p取值x(=12,),则其分布函 数为: F(x)=∑P x≤x 其中P应浈足归一化条件:∑p,=1该随机变量的直接抽样方 法如下:首先选取在[0,1区间上的均勻分布的隨机数ξ,辚 后判断足如下不等式 F(x)≤5<F(x) 的j值,与j对应的x就是所抽子样的一个抽样,即7=x。 读子样具有分布函数f(x)。 例:y光子与物质相互作用类型的抽样问题。 y光子与物败相互作用有三种类型:光电效疝、康普顿效 疝和电子对效应。其中光电效疝和电子对效疝为光子吸收过 程。设总面为 1.选择均訇分布隨机數5, 2.若灏足不普式5<σ,/σr,则墩生康普顿射; 3.考演足不普式σ,1≤5<(+),则发生光电效应; 4.着5≥{,+σ)σ,则产生电子对过程。 B,连焕分布的随机变量抽样 一、直接抽样方法
A. 离散型分布随机变量的直接抽样 如果离散型随机变量x以概率 pi取值x (i =1,2,...) i ，则其分布函 数为： . ( ) ∑ ≤ = x x i i F x p 其中 pi 应满足归一化条件：∑ =1 i i p 。该随机变量的直接抽样方 法如下：首先选取在[0，1]区间上的均匀分布的随机数ξ ，然 后判断满足如下不等式 ( ) ( ) j j F x ≤ < F x −1 ξ 的 j 值，与 j 对应的x j就是所抽子样的一个抽样值，即 j η = x 。 该子样具有分布函数 ( )j F x 。 例: γ 光子与物质相互作用类型的抽样问题。 γ 光子与物质相互作用有三种类型：光电效应、康普顿效 应和电子对效应。其中光电效应和电子对效应为光子吸收过 程。设总截面为 σ T = σ e + σ p + σ s . 1. 选择均匀分布随机数ξ ， 2. 若满足不等式ξ σ s σ T < / ，则发生康普顿散射； 3. 若满足不等式 ( ) σ s σ T ξ σ s σ e σ T / ≤ < + / ，则发生光电效应； 4. 若 ( ) ξ σ s σ e σ T ≥ + / ，则产生电子对过程。 B. 连续分布的随机变量抽样 一、直接抽样方法
直接抽榉法又称为反函数法。设连续型随机变量们的分布 密度函数为f(x),在数学上它的分布函数应当为 得到的n=F1()即为瀇足分布密度函数f(x)的一个抽禅值。 证明 该子样中门≤x的概率为 p≤x}=p2()sx)=k≤F)=0d+"1=F() 优点是使用筒单,应用范国较广。 缺:在分布函数F(x)不能从分布密度函数∫(x)解析求出 时,或者求出的函教形式抽样太复杂的情况下,就不能采用这 种方法。 例对指数分布的真接抽样。 解指教分布的问逦可用于描述粒子运动的自由程。粒 子衰变考命或射能与物作用长度普许多物理问题。它的分布 粤度函数为 f( ,x>0,>0 0,其它 它的分布函数为 F(对)=(M=b=1-e如 设ξ是[0,1区间上的均勻分布的隨机数,令5=F(7)=1-en 解此方程讣到
直接抽样法又称为反函数法。设连续型随机变量η 的分布 密度函数为 f (x) ，在数学上它的分布函数应当为 F( ) x f ( ) x dx . x ∫−∞ = 得到的η = F −1 (ξ )即为满足分布密度函数 f (x)的一个抽样值。 证明： 该子样中η ≤ x 的概率为： { } { } ( ) { } ( ) ( ) p x p F x p F x dx dx F(x) F x ≤ = ≤ = ≤ = ⋅ + ⋅ = ∫−∞ ∫ − 0 0 1 η ξ ξ 0 1 . 优点是使用简单，应用范围较广。 缺点：在分布函数 F(x)不能从分布密度函数 f (x)解析求出 时，或者求出的函数形式抽样太复杂的情况下，就不能采用这 种方法。 例 对指数分布的直接抽样。 解 指数分布的问题可用于描述粒子运动的自由程，粒 子衰变寿命或射线与物质作用长度等许多物理问题。它的分布 密度函数为 ( ) > > = − 0, . , 0, 0 其它 λ λ λ e x f x x 它的分布函数为 ( ) ( ) . x x t x F x f t dt e dt e λ λ λ − − −∞ = = = − ∫ ∫ 1 0 设ξ 是[0，1]区间上的均匀分布的随机数，令 ( ) λη ξ η − = F =1 − e ， 解此方程得到
注意到1-5和ξ同样服从[0,1]区间的均勻分布,故有 In 5 例对如下的分布密度函教抽祥 f(x)=|y-1) x≤x,y>1. xo 解(2.3.9)式的分布度函数的对应分布函数为 F(x)=f(x)dx/f(x)dx=1 在[0,1区间上的隨杋抽取均訇分布的隨机数5,令 5=F()=1-(,解此方翟,牛考虎到1-5和5都是[D,1 区间的均勺分布的伪随机教,恐到 77=x0 变换抽法 基本思:将一个比复杂的分布的抽样,变换为已经 知熴的、比较简阜的分布的抽样 例如,要对足分布密度函数f(x)的隨机变量门抽禅。 果要对它选行直换抽祥是比較困难的。 如果存在另一个随机变量δ,它的分布密度函教为叭(), 其抽禅方法已经非擺。并且也比校简单.我们可以设法寻找一 个過的变换关系x=g()。如鼎g(U)的凤函数夺在,记为
( ξ ) λ η = − ln 1 − 1 . 注意到1−ξ 和ξ 同样服从[0，1]区间的均匀分布，故有 ξ λ η ln 1 = − . 例 对如下的分布密度函数抽样 γ γ γ − − − = x x f x 1 0 1 ( ) ， , 1 x0 ≤ x γ > . 解 （2.3.9）式的分布密度函数的对应分布函数为 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 0 − +∞ = = − ∫ ∫ γ x x F x f x dx f x dx x x x . 在 [0 ， 1] 区间上的随机抽取均匀分布的随机数 ξ ， 令 ( ) 1 0 1 − = = − γ ξ η x x F ，解此方程，并考虑到到1−ξ 和ξ 都是[0，1] 区间的均匀分布的伪随机数，得到 1 ( 1) 0 − − = γ η x ξ . 二、 变换抽样法 基本思想： 将一个比较复杂的分布的抽样，变换为已经 知道的、比较简单的分布的抽样。 例如,要对满足分布密度函数 f (x)的随机变量η 抽样。如 果要对它进行直接抽样是比较困难的。 如果存在另一个随机变量δ ，它的分布密度函数为φ(y)， 其抽样方法已经掌握，并且也比较简单. 我们可以设法寻找一 个适当的变换关系 x = g(y) 。如果 g(y)的反函数存在，记为
g(x)=h(x),并且该反函数具有一阶连续导数。 叔据概率论的知识,这时X足的分布蜜度函教为 (h(x)h(x)。如果函数g()选得合适,使得满足 f(x)=((x)h(x) 抽样步骤:首先对分布密度函数叭)抽样得到值δ,然后 过变换η=g(δ)到足分布鲁度函数∫(x)的抽样值。 实际上,直接抽桦法是叭()为在[0,1区间上的均訇分布 鲁度函數的特殊情况下,g()=F()时的变换抽样。因而它是变 换抽样的特殊情况。 二维儕况下的变换抽祥法与一维的情况完全是类似的。假 如我们要对滴足联合分布密度函数f(xy)的随机变量n0选行 抽桦。如是我们已经掌掘了满足联合分布度函数g{uy)的隨机 变量nδ的抽样方法,则可以寻一个适当的变换 y=g2{l,1 81,82函数的反函数存在,记为 u=h,(x, y) 该变换满足如下条件: g(h,(x,y),h2(x,D) J=f(x, y) 川表示函数变换的雅可比( Jacob)行列式
g ( ) x = h(x) −1 ( ) ( ) ( ，并且该反函数具有一阶连续导数。 φ h x ⋅ h′ x η η′,δ ′ 1 2 g , g J 根据概率论的知识，这时 x 满足的分布密度函数为 ) 。如果函数 g(y)选得合适，使得满足： f ( ) x = φ( ) h( ) x ⋅ h′(x) . 抽样步骤：首先对分布密度函数φ(y)抽样得到值δ ，然后 通过变换 = g(δ )得到满足分布密度函数 f (x)的抽样值。 实际上，直接抽样法是φ(y)为在[0，1]区间上的均匀分布 密度函数的特殊情况下， (y) F (y) −1 g = 时的变换抽样。因而它是变 换抽样的特殊情况。 二维情况下的变换抽样法与一维的情况完全是类似的。假 如我们要对满足联合分布密度函数 f (x, y)的随机变量η,δ v) 进行 抽样。如果我们已经掌握了满足联合分布密度函数 的随机 变量 g(u, 的抽样方法，则可以寻找一个适当的变换 x = g1 (u, v)， ) ) y = g2 (u, v , 函数的反函数存在，记为 u = h1 (x, y ， v = h2 ( ) x, y . 该变换满足如下条件： ( ( , ), ( , )) ( , ) 1 2 g h x y h x y ⋅ J = f x y . 表示函数变换的雅可比(Jacobi)行列式： y v x v y u x u J ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =