2、正弦量的有效值 对于正弦电流,设i(t)= I sing(ot+g,) I=1÷ Im sin(ot+,)dl [1-cos 2(at lat 2T 2T 0 2 0.707, 2 同理 2m=0.707Um
11 2、正弦量的有效值 ( ) sin( ) m i 对于正弦电流，设 i t = I t + I I m m m m T T i m T T m i I I t T I t dt T I I t dt 0.707 2 2 2 [1 cos 2( )] 2 ( ) 2 0 2 0 2 0 2 2 1 sin = = = = = − + = + 同理 U Um 707Um 0. 2 1 = =
42正弦量的相量表示法 42.1复数的运算规律 复数的加减运算规律。两个复数相加(或相减)时, 将实部与实部相加(或相减),虚部与虚部相加(或相 减)。如: A1=a1+jb1=n1∠1 A,=a,+ ib ∠ 相加、减的结果为: A1±A2=(a1+jb1)±(a2+jb2)=(a1+a2)+j(b1+b2) 复数乘除运算规律:两个复数相乘,将模相乘,辐 角相加;两个复数相除,将模相除,辐角相减 如
12 4.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法 4.2.1 复数的运算规律 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 = + = = + = A a jb r A a jb r 复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减）时， 将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相 减）。如： 相加、减的结果为： A1±A2 =（a1+jb1）±(a2+jb2 )=(a1±a2 )+j(b1±b2 ) 复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐 角相加；两个复数相除，将模相除，辐角相减。 如：
=h1e×r,e ==(+0)=F2∠01+02 Jp2 ∠919 2 因为通常规定:逆时针的辐角为正,顺时针的辐 角为负,则复数相乘相当于逆时针旋转矢量;复 数相除相当于顺时针旋转矢量。 特别地,复数e的模为1,辐角为卯。把一个复 数乘以e就相当于把此复数对应的矢量反时针方向 旋转卯角。 13
13 1 2 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = = = + + A A r e r e rr e rr j j j 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 = = − r r r e r e j j A A 因为通常规定：逆时针的辐角为正，顺时针的辐 角为负，则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复 数相除相当于顺时针旋转矢量。 特别地，复数 的模为1，辐角为 。把一个复 数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向 旋转 角。 j e j e j e j e
4.22正弦量的相量表示 设有一复数A()=4l j(at+o) 它和一般的复数不同,它不仅是复数,而且 辐角还是时间的函数,称为复指数函数。因为 由于A()=4e+y=4le=Ae A()=4e1)=|4cos(om+q)+4sin(+) 可见A(1)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复 数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。 u(t)=2U Sin(ot +,)=I[2Ue(o+pu) ot e =lU√2em=Umem 14
14 4.2.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 设有一复数 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且 辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为 ( ) ( ) + = j t A t Ae j t j j t j t A t Ae Ae e Ae = = = ( + ) 由于 ( ) ( ) cos( ) sin( ) ( ) = = + + + + A t Ae A t j A t j t 可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复 数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。 = = = = + = + j t m m j t m j j t m j t t u m I U e I U e I U e e u t U t I U e u u . . ( ) 2 2 ( ) 2 sin( ) [ 2 ]
式中U=Ue或Um=√2U 同理=le/或lm=√2I 把这个复数U和Um分别称为正弦量的有效值相 量和振幅相量。特别应该注意,相量与正弦量之间只 具有对应关系,而不是相等的关系 例已知1=141sin(ot60°)V,u2=70.7sin(ot459)V。 求:(1)求相量U和U2;(2)求两电压之和的瞬时值ut) (3)画出相量图 解(1)=1412∠x=100460°=1006=(50+1861 70.7 ∠-=502-45°=50e43=(35.35-j3535) 15
15 式中 同理 . . . U Ue U m 2U j u = 或 = . . . I Ie I m 2 I j i = 或 = 把这个复数 分别称为正弦量的有效值相 量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只 具有对应关系，而不是相等的关系。 U U m . . 和 例 已知 u1 =141sin(ωt+60o )V ，u 2 =70.7sin(ωt-45o )V 。 求：⑴ 求相量 ；(2) 求两电压之和的瞬时值 u(t) （3） 画出相量图 。 和 2 . U1 U U e j V U e j V j j 50 45 50 (35.35 35.35) 2 4 70.7 100 60 100 (50 86.6) 2 3 141 4 5 2 6 0 1 = − = − = = − = + − • • ＝ ＝ ＝ 解（1）