习题9.3正项级数 讨论下列正项级数的敛散性 4 n=n+1 in+3n ∑n Inn (5)∑ (8)∑(n-1) 00∑ D∑n2 2"n 03∑(√n2+1-n2-1) 40∑(2n-y 5∑ln 6∑(-ln n (a>0) m(1+a)(1+a2)…(1+a") 解(1)因为4~4(m→∞),由于∑收敛,所以∑4n收敛 (2)因为 2(n→∞),由于∑2发散,所以 发散 (3)因为>1,由于∑发散,所以 发散。 (4)因为当n≥4有1<,由于∑↓收敛,所以∑收敛 n (5)因为<一,由于收敛,所以∑收敛 n (6) 2sin' (n→∞) 由于立石收,所以∑(-收数
习 题 9. 3 正项级数 1. 讨论下列正项级数的敛散性： ⑴ ∑ ∞ =1 +4 1 4 n n n ; ⑵ ∑ ∞ =1 +3 2 3 2 n n n n ; ⑶ ∑ ∞ =2 2 ln 1 n n ; ⑷ ∑ ∞ =1 ! 1 n n ; ⑸ ∑ ∞ =1 2 ln n n n ; ⑹ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 cos n n π ; ⑺ ∑ ∞ =1 1 n n n ; ⑻ ( 1) 1 ∑ − ∞ n= n n ; ⑼ ∑ ∞ =1 2 n 2n n ; ⑽ ∑ ∞ = + + − 1 2 1 2 [2 ( 1) ] n n n n ; ⑾ ∑ ∞ = − 1 2 e n n n ; ⑿ ∑ ∞ =1 2 ! n n n n n ; ⒀ ∑ ∞ = + − − 1 2 2 ( 1 1) n n n ; ⒁ ∑ ∞ = − + − − 1 2 2 (2 1 1) n n n n ; ⒂ ∑ ∞ = − + 2 2 2 1 1 ln n n n ; ⒃ ( ln cos ) 3 ∑ ∞ = − n n π ; ⒄ ∑ ∞ =1 + + + 2 n (1 )(1 ) (1 ) n n a a a a " (a＞0)。 解（1）因为 1 4 4 n + n ～ 3 4 n (n → ∞)，由于 ∑ ∞ =1 3 4 n n 收敛，所以∑ ∞ =1 +4 1 4 n n n 收敛。 （2）因为 n n n 3 2 3 2 + ～ n 2 (n → ∞)，由于∑ ∞ =1 2 n n 发散，所以∑ ∞ =1 +3 2 3 2 n n n n 发散。 （3）因为 n n 1 ln 1 2 > ，由于 ∑ ∞ =1 1 n n 发散，所以∑ ∞ =2 2 ln 1 n n 发散。 （4）因为当n ≥ 4有 2 1 ! 1 n n < ，由于 ∑ ∞ =1 2 1 n n 收敛，所以∑ ∞ =1 ! 1 n n 收敛。 （5）因为 n n n ln n 1 2 < ，由于 ∑ ∞ =1 1 n n n 收敛，所以∑ ∞ =1 2 ln n n n 收敛。 （6） n 2n 1 cos 2sin π 2 π − = ～ 2 2 2n π (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 2 2 n 2n π 收敛，所以∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 cos n n π 收敛。 1
(7)由于im=1≠0,所以∑—发散 n→n (8)因为当n≥3有 (n→)∞), 由于∑发散,所以∑(-1发散。 n=I n (9)设xn=,则 由 D'Alembert判别法,∑。收敛。 (10)设x=2+(-1),则 由 Cauch判别法,S旦+(-)收敛 (11)设xn=n2e-n,则 <1, 由 D'Alembe判别法,∑ne"收敛 (12)设x 则 由 D'Alembert判别法,∑2m收敛
（7）由于 1 0 1 lim = ≠ →∞ n n n ，所以∑ ∞ =1 1 n n n 发散。 （8）因为当n ≥ 3有 1 1 1 − > − n n n e ～ n 1 (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 1 n n 发散，所以 ( 1) 1 ∑ − ∞ n= n n 发散。 （9）设 n n n x 2 2 = ，则 n n n x x 1 lim + →∞ 1 2 1 = < ， 由 D’Alembert 判别法，∑ ∞ =1 2 n 2n n 收敛。 （10）设 2 1 2 [2 ( 1) ] + + − = n n n n x ，则 n n n x →∞ lim 1 4 3 = < ， 由 Cauchy 判别法，∑ ∞ = + + − 1 2 1 2 [2 ( 1) ] n n n n 收敛。 （11）设 xn = n 2 e−n ，则 n n n x x 1 lim + →∞ 1 1 = < e ， 由 D’Alembert 判别法，∑ 收敛。 ∞ = − 1 2 e n n n （12）设 n n n n n x 2 ! = ，则 n n n x x 1 lim + →∞ 1 2 = < e ， 由 D’Alembert 判别法，∑ ∞ =1 2 ! n n n n n 收敛。 2
(13) n→0) 由于∑发散,所以∑(√m2+1-√m2-1发散。 1)2n=+-3m=12-+a 2n+√n2+1+√n2-1 2n+Vm2+1+Vm2-1m2+V(n2+1)n2-1)4n n→∞), 由于∑收敛,所以∑2n-=Vm2+1-m-收敛 (15)n 2 由于∑2收敛,所以∑n”收敛。 (16)-IncosI=-In1-1-cos--In1-2sin2T 由于∑收敛,所以∑(- - In cos)收敛 (17)设xn= 则 (1+a)(+a2)…(1+a" <a< a=1 0a>1 由 D'Alembert判别法, (a>0)收敛。 (1+a)(1+a2)…(1+a") 2.利用级数收敛的必要条件,证明: (1)1in=0 (2)lim(2n) n→2)时0。 证(1)设x,=m”,则m5=m(-1(1+1)|=0,由 D'Alembert →xnmn+1(n
（13） 1 1 2 2 n + − n − 1 1 2 2 2 + + − = n n ～ n 1 (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 1 n n 发散，所以∑ ∞ = + − − 1 2 2 ( 1 1) n n n 发散。 （14）2 − +1 − −1 = 2 2 n n n ( ) 2 1 1 2 ( 1)( 1) 2 2 2 2 2 + + + − − + − n n n n n n ( 1)( 1) 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 + + − ⋅ + + + − = n n n n n n ～ 3 4 1 n (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 3 4 1 n n 收敛，所以∑ ∞ = − + − − 1 2 2 (2 1 1) n n n n 收敛。 （15） ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + − + 1 2 ln 1 1 1 ln 2 2 2 n n n ～ 2 2 n (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 2 2 n n 收敛，所以∑ ∞ = − + 2 2 2 1 1 ln n n n 收敛。 （16） ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − − n n π π ln cos ln 1 1 cos ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − 2n ln 1 2sin 2 π ～ 2 2 2n π (n → ∞)， 由于 ∑ ∞ =1 2 2 n 2n π 收敛，所以 ( ln cos ) 3 ∑ ∞ = − n n π 收敛。 （17）设 (1 )(1 ) (1 ) 2 n n n a a a a x + + + = " ，则 n n n x x 1 lim + →∞ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > = < < = 0 1 1 2 1 0 1 a a a a ， 由 D’Alembert 判别法，∑ ∞ =1 + + + 2 n (1 )(1 ) (1 ) n n a a a a " (a＞0)收敛。 2. 利用级数收敛的必要条件，证明： (1) lim n→∞ 2 (n!) nn = 0； (2) lim n→∞ ( 1) 2 (2 )! n n+ n = 0。 证 （1）设 2 (n!) n x n n = ，则 n n n x x 1 lim + →∞ 0 1 1 1 1 lim = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = →∞ n n n n ，由 D’Alembert 3
判别法,∑xn收敛,所以imxn=团 (2)设x=(2m,则lmxm=1im2n+12m+2=0,由 D'Alembert 2m(n+) 1→0 1→ 22(n+) 判别法,∑x,收敛,所以mxn=lm2m)=0 3.利用 Raabe判别法判断下列级数的敛散性: (a>0) (2) 解(1)设 则 (a+1)(a+2)…( lim 由Rabe判别法 当a>1时,级数收敛,当0<a<1时,级数发散; 级数发散 )设 lim ln3>1 由Rabe判别法,级数收敛。 (3)设 则 li ln2<1 由Rabe判别法,级数发散 4.讨论下列级数的敛散性 x
判别法， ∑ 收敛，所以 ∞ n=1 n x lim n→∞ xn = lim n→∞ 2 (n!) nn = 0。 （2）设 ( 1) 2 (2 )! + = n n n n x ，则 n n n x x 1 lim + →∞ 0 2 (2 1)(2 2) lim 2( 1) = + + = + →∞ n n n n ，由 D’Alembert 判别法， ∑ 收敛，所以 ∞ n=1 n x lim n→∞ xn = lim n→∞ ( 1) 2 (2 )! n n+ n = 0。 3. 利用 Raabe 判别法判断下列级数的敛散性： (1) ∑ ∞ =1 ( +1)( + 2) ( + ) ! n a a a n n " (a＞0)； (2) ∑ ∞ =1 ln 3 1 n n ； (3) n n 1 2 1 1 1 2 1 + + + ∞ = ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ " 。 解 (1) 设 ( 1)( 2) ( ) ! a a a n n xn + + + = " ，则 a x x n n n n =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ lim 1 1 , 由 Raabe 判别法， 当a > 1时, 级数收敛，当0 < a < 1时, 级数发散； 当a = 1， 1 1 + = n xn ，级数发散。 (2) 设 n n x ln 3 1 = ，则 lim 1 ln3 1 1 = > ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ n n n x x n , 由 Raabe 判别法，级数收敛。 (3) 设 n n x 1 2 1 1 2 1 + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = " ，则 lim 1 ln 2 1 1 = < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ n n n x x n , 由 Raabe 判别法，级数发散。 4. 讨论下列级数的敛散性： (1) ∑∫ ∞ =1 − 1 0 d n 1 n x x x ； (2) ∑∫ ∞ = π π 1 2 2 2 d sin n n n x x x ； 4
In(1+x)dx 解(1)当n≥2,有 -dx 2xdx 由于∑n收敛,所以∑后1口x dx收敛。 d x> xdx 由于∑发散,所以mx2dx发散 Xax=- 由于∑1收敛,所以∑m(+x)dx收敛。 5.利用不等式1<[X<1,证明: n n +--Inn 23 存在(此极限为 Euler常数γ—见例248) 证设xn=1+2+3n lnn,则 I d -In(n+1)+Inn dx rdx Idx ndx n+idx x 所以数列{xn}单调减少有下界,因此收敛 6.设∑xn与∑y是两个正项级数,若im=0或+∞,请问这两个 级数的敛散性关系如何? 解若imy=0,则当n充分大时有xn<n,所以当∑y收敛时∑x必 Vn 定收敛,当∑xn发散时∑y必定发散
(3) ∑∫ ∞ = + 1 1 0 ln(1 ) d n n x x。 解 (1) 当n ≥ 2，有 ∫ − n dx x x 1 0 1 n n n xdx 1 2 1 0 < ∫ < ， 由于 ∑ ∞ =1 1 n n n 收敛，所以∑∫ ∞ =1 − 1 0 d n 1 n x x x 收敛。 (2) ∫ π π n n dx x 2 x 2 2 sin > ∫ π π π n n xdx n 2 2 2 2 sin 4 1 8nπ 1 = ， 由于 ∑ ∞ =1 8 1 n nπ 发散，所以 ∑∫ ∞ =1 2 2 2 d sin n n n x x π x π 发散。 (3) ∫ n + x dx < 1 0 ln(1 ) 2 1 0 2 1 n n xdx ∫ = ， 由于 ∑ ∞ =1 2 2 1 n n 收敛，所以∑∫ ∞ = + 1 1 0 ln(1 ) d n n x x收敛。 5. 利用不等式 1 1 n + ＜∫ n+1 d n x x ＜ n 1 ，证明： lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + − n n ln 1 3 1 2 1 1 " 存在(此极限为 Euler 常数γ — 见例 2.4.8)。 证 设 n n xn ln 1 3 1 2 1 = 1+ + +"+ − ，则 n n n x x n n ln( 1) ln 1 1 1 − + + + + − = − + = 1 1 n ∫ n+1 d n x x < 0， xn > ∫ + 2 1 d x x ∫ +"+ 3 2 d x x ∫ n+1 d n x x − ∫ n x x 1 d ∫ + = n 1 d n x x > 0， 所以数列{xn }单调减少有下界，因此收敛。 6. 设∑ 与 是两个正项级数，若 ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n y lim n→∞ n n y x = 0 或+∞，请问这两个 级数的敛散性关系如何? 解 若lim n→∞ n n y x =0，则当n充分大时有 n n x < y ，所以当 收敛时 必 定收敛，当 发散时 必定发散； ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n x ∑ ∞ n=1 n y 5