复旦大学：《数学分析》第六章（6.2）换元积分法和分部积分法习题

习题6.2换元积分法和分部积分法 1.求下列不定积分 du (2)「 dx e (5)∫(2x+3)dx; dx +5x (7)sin5xdx; (8)」 tan x sec2xtx; (9)sin 5x cos 3xdx ()cos25xdx sIn +4x+5) =2 d x sIn- x (arcsin x x2-2x+2 an v1+x d x (0)[sInx cosx 解(1)(d-1(4(4x-3))4x-3+C (2)J-a d(√2x)1 arcsin(√2x)+C (3)「 d e_Inl C 12e2+1 (4)Je3n2 dr=Je3x2d(3x+2)

习 题 6.2 换元积分法和分部积分法 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx 4 3 x − ∫ ; ⑵ dx 1 2x 2 − ∫ ; ⑶ dx x x e e − − ∫ ; ⑷ e3 2 x dx + ∫ ; ⑸ ( ) 2 3 x x 2 ∫ + dx ; ⑹ 1 2 5 2 + ∫ x dx ; ⑺ sin5 ∫ xdx ; ⑻ ∫ x xdx 10 2 tan sec ; ⑼ ∫sin 5x x cos3 dx ; ⑽ cos2 ∫ 5xdx ; ⑾ ( ) ( ) 2 4 4 5 2 2 x dx x x + + + ∫ ; ⑿ sin x x ∫ dx ; ⒀ x dx x 2 4 3 1 2 − ∫ ; ⒁ ∫ − dx 1 sin x 1 ; ⒂ sin cos sin cos x x x x dx + − ∫ 3 ; ⒃ dx (arcsin x x )2 2 1− ∫ ; ⒄ dx x x 2 − 2 2 + ∫ ; ⒅ 1 9 4 2 − − ∫ x x dx ; ⒆ ∫ + + dx x x x 2 2 1 tan 1 ; ⒇ sin cos sin x x x dx 1 4 + ∫ . 解 （1） dx 4 3 x − ∫ = 1 (4 3) 1 ln 4 3 4 4 3 4 d x x C x − = − + − ∫ 。 （2） dx 1 2x 2 − ∫ = 2 1 ( 2 ) 1 arcsin( 2 ) 2 2 1 2 d x x C x = + − ∫ 。 （3） dx x x e − e− ∫ = 2 e 1 e 1 ln e 1 2 e 1 x x x x d C − = + − + ∫ 。 （4）∫ e3 2 x+ dx = 1 1 3 2 3 2 e (3 2) e 3 3 x x d x C + + + = + ∫ 。 172

(5)(2+3)d=(2+262+32)d 2 In 2 In 6 2 In 3 (6)∫ arctan,-=x+C 2+5x 10 (7)]sins xdr=(-cos'x)'sin xdr=-(-2cos'x+cosx)d cosx (8) dx (10)cos25xdr=/(1+ cos 10x)dx-2 10 10x+C,>cos2x+C (9)J 5x cos 3xdx=(sin 8x+ sin 2x)dr=-1 cos8x (11x+44=x+3= x2+4x+5 (12)5dx=]sin dvx==2 cos vx+C (13) (1-2x3)+C (14) X Z d t( C。 (15) sin x+ cosx d x d (sin x-cos x) )3+C SInx- cos x SInx- cos x (16) d arcsin x (arcsin x)1-x2 J(arcsin x) arcsinx (17) =[d(x-1) 1+(x-1)2 = arctan(x-1)+C。 (18)∫ d(2x) 21 arcsin -x+ (19)tan 1+xdx=t tan√1+x2d√1+x2=- In cost1+x2+C

（5）∫ ( ) 2 3 x x + 2 dx = 2 2 1 2 2 1 2 (2 2 6 3 ) 2 6 3 2ln 2 ln 6 2ln 3 x x x x x x + ⋅ + dx = + + +C ∫ 。 （6） 1 2 5 2 + ∫ x dx = 2 1 1 1 5 ( 5 ) arctan 5 1 2 5 0 2 d x x x = +C + ∫ 。 （7）∫sin5 xdx = ∫ ∫ (1− cos x) sin xdx = − (1− 2cos x + cos x)d cos x 2 2 2 4 2 1 3 5 cos cos cos 3 5 = − x + x x − +C 。 （8） = ∫ x xdx 10 2 tan sec 10 1 11 tan tan tan 11 xd x = x +C ∫ 。 （9）∫sin 5x x cos3 dx = 1 1 1 (sin 8 sin 2 ) cos8 cos 2 2 16 4 x + x dx = − x − x + C ∫ 。 （10）∫ cos2 5xdx = 1 1 (1 cos10 ) sin10 2 2 20 x + = x dx + x C ∫ + 。 （11） ( ) ( ) 2 4 4 5 2 2 x dx x x + + + ∫ = 2 2 2 2 ( 4 5) 1 ( 4 5) 4 5 d x x C x x x x + + = − + + + + + ∫ 。 （12） sin x x ∫ dx =2 sin xd x = − + 2cos x C ∫ 。 （13） x dx x 2 4 3 1 2 − ∫ = 3 3 3 4 4 3 1 (1 2 ) 2 (1 2 ) 6 9 1 2 d x x C x − − = − − − ∫ + 。 （14）∫ − dx 1 sin x 1 2 1 ( ) cot( ) 2 4 2 4 sin ( ) 2 4 x x d C x π π π = − = − − ∫ − + 。 （15） sin cos sin cos x x x x dx + − ∫ 3 = 2 3 3 (sin cos ) 3 (sin cos ) sin cos 2 d x x x x x x − = − +C − ∫ 。 （16） dx (arcsin x x )2 2 1− ∫ = 2 arcsin 1 (arcsin ) arcsin d x C x x = − + ∫ 。 （17） dx x x 2 − 2 2 + ∫ = 2 ( 1) arctan( 1) 1 ( 1) d x x C x − = − + + − ∫ 。 （18） 1 9 4 2 − − ∫ x x dx = 2 2 2 1 (2 ) 1 (9 4 2 8 9 4 9 4 d x d x ) x x − + − − ∫ ∫ 。 1 2 1 2 arcsin 9 4 2 3 4 = +x − x +C 。 （19）∫ + + dx x x x 2 2 1 tan 1 = 2 2 2 tan 1+ x d x 1+ = −ln cos 1+ x +C ∫ 。 173

(20)∫ sin x cos x d sinx 1+sinx 21+sin r 2 arctan(sin x)+C dx 求下列不定积分: xvI+x 1+Inx (3) x(1+x) x nx (5)∫(x-1)(x+2)d (6)∫x2(x+1ydx; (7) (8)∫ (9)∫ dx 04∫x2 d x d 解(1)∫ ln(√1 1)-x+C (2)当x>0时, d =In

（20） sin cos sin x x x dx 1 4 + ∫ = 2 2 4 1 sin 1 arctan(sin ) 2 1 sin 2 d x x C x = + + ∫ 。 ⒉ 求下列不定积分： ⑴ dx x 1 2 + ∫ e ; ⑵ dx x x 1 2 + ∫ ; ⑶ ∫ + dx x x x (1 ) arc tan ; ⑷ 1 2 + ∫ ln ( ln ) x x x dx . ⑸ ∫ ( ) x x − + 1 2 ( ) d 20 x ; ⑹ x x dx 2 n ( +1) ∫ ; ⑺ dx x x 4 2 1+ ∫ ; ⑻ x x dx 2 − 9 ∫ ; ⑼ dx ( ) 1 x 2 3 − ∫ ; ⑽ dx ( ) x a 2 2 + ∫ 3 ; ⑾ x a x a dx − + ∫ ; ⑿ x x a x dx 2 − ∫ ; ⒀ dx 1 2 + x ∫ ; ⒁ x x 2 3 ∫ 1− dx ; ⒂ dx x x 2 −1 ∫ ; ⒃ x a x dx 2 2 2 − ∫ ; ⒄ a x x dx 2 2 4 − ∫ ; ⒅ dx 1 1 x 2 + − ∫ ; ⒆ ∫ − dx x x 4 3 15 ( 1) ; ⒇ ∫ + dx x x n ( 1) 1 ; 解（1） dx x 1 2 + ∫ e = 2 2 ln( e 1) e 1 x x x x de e C − − − − − = − + + + ∫ + 2 ln( 1 1) x = + e − − x +C。 （2）当 x > 0时， dx x x 1 2 + ∫ = 1 2 2 2 2 1 1 ln 1 1 dx dx x C x x x x − − − + − = − = + + ∫ ∫ + ； 174

当x<0时,也有相同结果。 (3)∫ arc tan√x arctan d√x=2 arctan d arctan√x 1+Inx d(xIn x) d x (xIn x) xIn 5)∫(x-1x+2)ax=(x+2 (x+2)2-(x+2)2 (6)x(x+1)dk=x+1y2-2(x (x+1)"+C (7)当x>0时 dh x4√l+x 当x<0时,也有相同结果 注:本题也可令x=tant化简后解得。 (8)当x>0时 dx √x2-9+3 当x<0时,也有相同结果。 注:本题也可令x=3sect化简后解得。 (9)令x=sint,则

当 x < 0时，也有相同结果。 （3）∫ + dx x x x (1 ) arc tan arctan 2 2 arctan arctan 1 x d x xd x x = = + ∫ ∫ 2 = + arctan x C 。 （4） 1 2 + ∫ ln ( ln ) x x x dx = 2 ( ln ) 1 ( ln ) ln d x x C x x x x = − + ∫ 。 （5）∫ ( ) x x − + 1 2 ( )20 dx = 21 20 [(x + − 2) 3(x d + 2) ] x ∫ 1 1 22 21 ( 2) ( 2) 22 7 = +x − x C + + 。 （6）∫ x x 2 ( +1)n dx = ∫ + − + + + + + x x x dx n n n [( 1) 2( 1) ( 1) ] 2 1 1 2 3 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) 3 2 1 n n n 1 x x x n n n + + = + − + + + + + + C + + 。 （7）当 x > 0时， dx x x 4 2 1+ ∫ = ∫ ∫ − − − − + + − = − + 2 2 2 5 2 1 ( 1 1) 2 1 1 x x dx x x dx 3 2 2 2 3 1 (1 ) 1 3 x x C x x + + = − + + ； 当 x < 0时，也有相同结果。 注：本题也可令 x = tan t 化简后解得。 （8）当 x > 0时， x x dx 2 − 9 ∫ = ∫ ∫ ∫ − − − + − = − − 2 1 2 2 2 1 9 (3 ) 3 9 9 9 x d x x xdx dx x x x 2 3 x 9 3arcsin C x = − + + ； 当 x < 0时，也有相同结果。 注：本题也可令 x = 3sect 化简后解得。 （9）令 x = sint ，则 175

cos tdt =sec'tdt=tant +c= (10)令x= a tan t,则 sint+c= (x2+a2) (11 x-a (12) 2 d x dx=-√2ax-x2dh dx d(2ax-x 2ax-x 2ax-x x-a ax-x+-a arcsin x+3 2ax-x 2 arcsin x-a 注:本题答案也可写成-x+3√2ax-x2+2 arcsin,I+C (13)令t=√2x,则x=112,a=t,于是 2 1+√2 1+t 1-ln++c=√2x-lm(+√2x)+C (14)令t=1-x,则x=1-1,dx=-32d,于是 ∫x2-xax=」(1-)2rbh=-3(2-21+r) (15) marcos -+C x (16)令x= asin,则

dx ( ) 1 x 2 3 − ∫ = 2 3 2 cos sec tan cos 1 tdt x tdt t c C t x = = + = − ∫ ∫ + 。 （10）令 x = a tan t ，则 dx ( ) x a 2 2 + ∫ 3 = 2 2 2 2 2 cos 1 sin t x dt t c C a a a x a = + = + ∫ + 。 （11） x a x a dx − + ∫ = 2 2 2 2 2 2 ln x a dx x a a x x a C x a − = − − + − + − ∫ 。 （12） x x a x dx 2 − ∫ = ∫ ∫ ∫ − = − − + − dx ax x ax dx ax x dx ax x x 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ − + − − = − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) 2 ax x dx a ax x d ax x ax x dx a 2 2 3 2 2 arcsin 2 2 2 2 x a x a ax x a a ax x C a − − = − − + − − + 3 3 2 2 2 arcsin 2 2 x a x a ax x a C a + − = − − + + 。 注：本题答案也可写成 3 2 2 2 x a ax x + − − + 2 3 arcsin 2 x a C a + 。 （13）令t = x x = t , dx = tdt 2 1 2 ，则 2 ，于是 dx 1 2 + x ∫ = ln 1 2 ln(1 2 ) 1 tdt t t c x x t = − + + = − + + + ∫ C 。 （14）令t x x t dx t dt 3 3 2 = 1− ，则 = 1− , = −3 ，于是 x x d 2 3 ∫ 1− x = ∫ ∫ − 3 (1− t ) t dt = −3 (t − 2t + t )dt 3 2 3 3 6 9 4 7 10 3 3 3 3 6 3 (1 ) (1 ) (1 ) 4 7 10 = − − + x − − x − x +C 。 （15） dx x x 2 −1 ∫ = 1 2 2 2 1 arccos 1 1 dx dx C x x x x − − − = − = − − ∫ ∫ + 。 （16）令 x = asint ，则 x a x dx 2 2 2 − ∫ = ∫ ∫ = − t dt a a tdt (1 cos 2 ) 2 sin 2 2 2 176