§5微积分实际应用举例 微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积S的步骤:对区间[a,b作划分 a=x0<x1<x2<…<xn=b, 然后在小区间[x1,x中任取点5,并记Ax1=x,-x1,这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值AS≈f()Ax,。最后,将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加,再取极限,就得到 S=im∑/(5)Ax=[/(x)
微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积S 的步骤：对区间[, ] a b 作划分 ax x x x b = 012 < < <"< n = ， 然后在小区间 ],[ 1 ii xx − 中任取点ξ i ，并记Δ = − iii −1 xxx ，这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值 i ii Δ ≈ ξ )( ΔxfS 。最后，将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加，再取极限，就得到 ∑ = → = Δ n i ii xfS 1 0 ξ )(limλ ∫ = ba )( dxxf 。 §5 微积分实际应用举例
对于上述步骤,我们可以换一个角度来看:将分点x1和x分别 记为x和x+Ax,将区间区x,x+A]上的小曲边梯形的面积记为AS,并 取5=x,于是就有AS≈f(x)Ax。然后令Ax→0,这相当于对自变量作 微分,这样Ax变成,AS变成dS,于是上面的近似等式就变为微分 形式下的严格等式S=∫(x)dx。最后,把对小曲边梯形面积的近似值 进行相加,再取极限的过程视作对微分形式dS=f(x)x在区间a,b]上 求定积分,就得到 S=I f(x)dx
对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点 xi−1和 xi分别 记为 x 和 x + Δx ，将区间 + Δxxx ],[ 上的小曲边梯形的面积记为 Δ S ，并 取 x ξ i = ，于是就有 Δ ≈ )( ΔxxfS 。然后令 Δx → 0，这相当于对自变量作 微分，这样 Δx 变成dx ，Δ S 变成dS ，于是上面的近似等式就变为微分 形式下的严格等式dS f x dx = ( ) 。最后，把对小曲边梯形面积的近似值 进行相加，再取极限的过程视作对微分形式 = )( dxxfdS 在区间[, ] a b 上 求定积分，就得到 ∫ = b a )( dxxfS
根据上面的理解,在解决实际问题时,我们可以简捷地按照以下 的步骤 自变量 转为 直接 分割 x+△1->A≈f(x)Ax-做>S=f(x)bx->s=(x) 来直接求解。 了解了方法的实质以后,上述过程还可以进一步简化:即一开始 就将小区间形式地取为[x,x+](d称为x的微元),然后根据实际 题得出微分形式dS=f(x)hx(dS称为S的微元),再在区间[ab上求积 分。也就是 d→→4=/(x一→S=J(x 这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非 常方便,在解决实际问题中应用得极为广泛,如§4中计算曲线的弧 长、几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导 出,下面我们举一些其它类型的例子
根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以简捷地按照以下 的步骤 ⎯⎯ → xxx ],[ ⎯Δ+⎯ ⎯→ )( Δ≈Δ⎯ xxfS 规律 科学 分割 自变量 ∫ ⎯⎯→ ⎯=⎯ ⎯→ =⎯ b a )( )( dxxfSdxxfdS 积分 直接 微分 转为 来直接求解。 了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步简化：即一开始 就将小区间形式地取为 + dxxx ],[ （dx称为 x 的微元），然后根据实际问 题得出微分形式 = )( dxxfdS （dS 称为 S 的微元），再在区间 ba ],[ 上求积 分。也就是 ∫ ⎯⎯→ ⎯= ⎯→ = b a )( )( dxxfSdxxfdSdx 。 这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非 常方便，在解决实际问题中应用得极为广泛，如§ 4 中计算曲线的弧 长、几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导 出，下面我们举一些其它类型的例子
由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为l的直线段上分布着 某种物理量(如质量、热量、电荷量等等),将其平放在x轴的正半 轴上,使它的一头与原点重合,若它在x处的密度(称为线密度)可 由某个连续的分布函数p(x)表示(x∈0,),由微元法,它在[x,x+上 的物理量dO为 d@=p(x ) dx 对等式两边在[01上积分,就得到由分布函数求总量的公式 0=p(x)dx
由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为l 的直线段上分布着 某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在 x轴的正半 轴上，使它的一头与原点重合，若它在 x处的密度（称为线密度）可 由某个连续的分布函数ρ( ) x 表示( x l ∈[, ] 0 )，由微元法，它在 + dxxx ],[ 上 的物理量dQ 为 dQ x dx = ρ( ) ， 对等式两边在[, ] 0 l 上积分，就得到由分布函数求总量的公式 Q x dx l = ∫ ρ( ) 0
例7.5.1如图7.5.1的一根 金属棒,其密度分布为 p(x)=2x2+3x+6(kg/m), 求这根金属棒的质量M 解M=[(2x2+3x+6dx 图7.5.1 x3+x2+6x=234(kg)
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)( 2 ρ xxx ++= ， 求这根金属棒的质量 M 。 解 ∫ ++= 6 0 2 )632( dxxxM )kg(2346 2 3 3 2 6 0 3 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= xxx 。 0 6 x 图 7.5.1