第十章函数项级数 §1函数项级数的一致收敛性 点态收敛 设n(x)(n=1,2,3,…)是具有公共定义域E的一列函数,这无 穷个函数的“和” l1(x)+l2(x)+…+ln(x) 称为函数项级数,记为∑un(x)
点态收敛 设 un (x)（n = 1,2,3,…）是具有公共定义域 E 的一列函数，这无 穷个函数的“和” 1 + 2 +"+ n xuxuxu )()()( +" 称为函数项级数，记为∑ ∞ =1 )( n n xu 。 第十章 函数项级数 §1 函数项级数的一致收敛性
定义10.1.1设ln(x)(n=1,2,3,…)在E上定义。对于任意固 定的x0∈E,若数项级数∑vn(x)收敛,则称函数项级数∑n(x)在点x 收敛,或称x是∑u1(x)的收敛点。 函数项级数∑n()的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数 ∑n(x)的收敛域。 n=1
定义 10.1.1 设 un (x) （n = 1,2,3,…）在 E 上定义。对于任意固 定的 0 x ∈E，若数项级数∑ ∞ =1 0 )( n n xu 收敛，则称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 在点 0 x 收敛，或称 0 x 是∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛点。 函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数 ∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛域
设∑un(x)的收敛域为D<E,则∑un(x)就定义了集合D上的一个 函数 S(x)=∑un(x),x∈D。 S(x)称为∑n(x)的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的, 因此称∑n1(x)在D上点态收敛于S(x)
设∑ ∞ =1 )( n n xu 的收敛域为 D⊂ E，则∑ ∞ =1 )( n n xu 就定义了集合 D 上的一个 函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu ， x∈D 。 S(x)称为∑ ∞ =1 )( n n xu 的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的， 因此称∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上点态收敛于 S(x)
例10.1.1利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy 判别法, D'Alembert判别法等)和定义10.1.1,可知下述结论 ∑x"的收敛域是(-1),和函数为S(x)21-r
例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ，和函数为 S(x) = x x 1− ；
例10.1.1利用我们目前所掌握的知识(如级数收敛的 Cauchy 判别法, D'Alembert判别法等)和定义10.1.1,可知下述结论 ∑x"的收敛域是(-1),和函数为S(x)21-r ∑。的收敛域为1) ∑—的收敛域1] n=I n
∑ ∞ n=1 n n x 的收敛域为 − )1,1[ ； ∑ ∞ =1 2 n n n x 的收敛域 − ]1,1[ ； 例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy 判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论： ∑ ∞ n=1 n x 的收敛域是 − )1,1( ，和函数为 S(x) = x x 1− ；