复旦大学：《数学分析》第七章 定积分（7.4）习题

习题7.4 1.求下列曲线所围的图形面积: (1) (2)y2=4(x+1),y2=4(1-x); y=x,y=x+sin2x, x=0, x=T (4)y=e, y=e-r (5)y=|lnx|,y=0,x=01,x=10; (6)叶形线 0<t )星形线{x=a ≤2π y=asin (8)阿基米德螺线r=a0,0=0,6=2 (9)对数螺线r=ae",θ=0,0=2π (10)蚌线r=acos+b(b≥a>0); (11)r=3cos0,r=1+cos0 ≤O≤); (12)双纽线r2=a2cos20 (13)四叶玫瑰线r=acos20。 (14) Descartes叶形线x3+y3=3axy (15)x4+y4=a2(x2+y2) 解(1)面积A=(x-)x=(-x2-hx 面积421(-2-1+=2-2地= (3)面积4=sm=(-02)h=2

习 题 7.4 ⒈ 求下列曲线所围的图形面积： ⑴ y x = 1 ， y = x ， x = 2； ⑵ y 2 = 4( ) x +1 ， y x 2 = 4 1( ) − ； ⑶ y = x ， y x = + sin2 x ， x = 0， x = π； ⑷ y = ex ， y = e− x， x = 1； ⑸ y x = |ln |， y = 0， x = 01. ，x = 10 ； ⑹ 叶形线 ； x t t y t t t = − = − ≤ ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2 2 0 2 2 2 3 , , ⑺ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π (8) 阿基米德螺线r a = θ, θ = 0, θ = 2π ； (9) 对数螺线r a = e , θ θ = 0, θ = 2π ； (10) 蚌线r a = cosθ + b （b a ≥ > 0）； (11) r = 3cosθ ，r = +1 cosθ ( 3 3 π θ π − ≤ ≤ )； (12) 双纽线r 2 = a 2 cos 2θ ； (13) 四叶玫瑰线r a = cos 2θ。 (14) Descartes 叶形线 x y ax 3 3 + = 3 y ； (15) x y a x y 4 4 2 2 2 + = ( ) + . 解（1）面积 ln 2 2 3 ln ) 2 1 ) ( 1 ( 1 2 2 2 1 = − = − = − ∫ dx x x x A x 。 （2）面积 3 16 ) 2 1) 2 (2 4 ) ( 4 2 (1 2 0 2 2 0 2 2 = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − ∫ ∫ dy y dy y y A 。 （3）面积 2 (1 cos 2 ) 2 1 sin 0 0 π 2 π π = = − = ∫ ∫ A xdx x dx 。 231

(4)面积A=e2-e)=e+ 5)面积A==mx-1x=xnx= (6)面积A=「(2-2)(2-2h=2(2-3x2+)d=29 (7)面积A=4[2acos3t·3asin2 t cos tdt=12a2[(cos+t-cos)t =12a (8)面积A=1C2a2dO (9)面积A=1ae2m=(-1)2 (10)面积A=12 (acos+b) 2(a cos20+2abcos 0+b2)de a- r2x 1+ cos 20 d 0+bz=-za2 +b2 (11)面积 12l 3cos0)--(1+cos 0)2]d0 32(3+4cos26-2cos6)d0=x (12)面积A=4.1acos2aO=a2。 (13)面积A=82ac2=2a(+c040=2m2 (14)解一:令y=ax,则x ,t:0→+0。 于是面积 1+/(1+)d=(-2)y2 令u=p3,则 232

（4）面积 2 1 ( ) 1 0 = − = + − ∫ − e A e e dx e x x 。 （5）面积 0.1 1 1 10 1 0.1 10 1 10 0.1 = ln = ln − ln = (ln −1) − (ln −1) ∫ ∫ ∫ A x dx xdx xdx x x x x 10 81 ln10 10 99 = − 。 （6）面积 15 8 (2 )(2 2 ) 2 (2 3 ) 2 0 2 3 4 2 0 2 3 = − − = − + = ∫ ∫ A t t t dt t t t dt 。 （7）面积 ∫ ∫ = ⋅ = − 2 0 2 4 6 2 0 3 2 4 cos 3 sin cos 12 (cos cos ) π π A a t a t tdt a t t dt 2 2 8 3 96 15 16 3 12a π π ⎟ = πa ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 。 （8）面积 3 2 2 0 2 2 3 4 2 1 A a θ dθ π a π = = ∫ 。 （9）面积 = = ∫ π θ θ 2 0 2 2 2 1 A a e d 4 1 ( ) 4 2 e −1 a π 。 （10）面积 ∫ ∫ = + = + + π π θ θ θ θ θ 2 0 2 2 2 2 0 2 ( cos 2 cos ) 2 1 ( cos ) 2 1 A a b d a ab b d + = + = ∫ θ π π θ 2 2 0 2 2 1 cos 2 2 d b a 2 2 2 1 πa + πb 。 （11）面积 ∫ ∫ − − = − + = + − 3 3 3 3 2 2 (3 4cos 2 2cos ) 2 1 [(3cos ) (1 cos ) ] 2 1 π π π A π θ θ dθ θ θ dθ = π 。 （12）面积 2 4 0 2 cos 2 2 1 A = 4 ⋅ a d = a ∫ π θ θ 。 （13）面积 2 4 0 2 4 0 2 2 2 1 cos 2 2 (1 cos 4 ) 2 1 A 8 a θdθ a θ dθ πa π π = ⋅ = + = ∫ ∫ 。 （14）解一：令 y = tx，则 3 1 3 t at x + = ， 3 2 1 3 t at y + = ，t : 0 → +∞。 于是面积 A = ∫ +∞ ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 + + 3 3 2 1 3 1 3 dt t at t at = ∫ +∞ + − 0 3 3 3 2 2 (1 ) (1 2 ) 9 dt t t t a ， 令u = t 3 ，则 232

a= 3a (1-2l rla 2ay"a 3 ou 解二:将x=rcos0,y=rsin代入x3+y3=3ay中,得到 basin ee 6∈[0,=] in 0+cos 0 于是面积 in-0cos 0 tan- A d tan 6 sin+ cos0) 2J6(tan3O+1)2 2 tan 0+1 (15)将x=rcos,y=rsin0代入x++y+=a2(x2+y2)中,得到 n40+cos 40 于是面积 d lo sin 40+cos 0 令 O,则 t2+1 A=2a d=2a2「 d(t-t") =√2a2 arctan t4+1 (-1-)2+2 2.求由抛物线y2=4ax与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。 解选取焦点(a0)为极点,x轴为极轴,建立极坐标。则由 x=rcos+a,y=rsin代入抛物线的方程y2=4ax中,可得抛物线的极 坐标方程为 2a。 设过焦点的弦的极角为a,则它与抛物线所围的面积为 A(a) 2 233

A = 2 0 2 3 2 0 3 2 2 3 (1 ) 3 (1 ) 2 3 (1 ) (1 2 ) 3 du a u u du a u u a = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = + − ∫ ∫ +∞ +∞ 。 解二： 将 x = r cosθ , y = rsinθ 代入 x y ax 3 3 + = 3 y 中，得到 θ θ θ θ 3 3 sin cos 3 sin cos + = a r ， ] 2 [0, π θ ∈ ， 于是面积 ∫ ∫ + = + = 2 0 3 2 2 2 2 0 3 3 2 2 2 2 tan (tan 1) tan 2 9 (sin cos ) sin cos 2 9 π π θ θ θ θ θ θ θ θ d a d a A 2 0 2 3 2 2 3 tan 1 1 2 3 a a = + = − ⋅ π θ 。 （15）将 x = r cosθ , y = rsinθ 代入 x y a x y 4 4 2 2 2 + = ( + )中，得到 θ θ 4 4 2 2 sin + cos = a r ， 于是面积 ∫ ∫ + + = + = ⋅ 2 0 4 2 2 2 0 4 4 2 tan tan 1 tan 1 2 2 sin cos 1 4 π π θ θ θ θ θ θ d a d a A ， 令t = tanθ ，则 ∫ ∫ +∞ − − +∞ − + − = + + = 0 1 2 1 2 0 4 2 2 ( ) 2 ( ) 2 1 1 2 t t d t t dt a t t A a 2 0 1 2 2 2 2 arctan a t t a = π − = +∞ − 。 ⒉ 求由抛物线 y 2 = 4ax与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。 解 选取焦点(a,0)为极点, x轴为极轴，建立极坐标。 则由 x = r cosθ + a, y = rsinθ 代入抛物线的方程 y a 2 = 4 x 中，可得抛物线的极 坐标方程为 1 cosθ 2 − = a r 。 设过焦点的弦的极角为α ，则它与抛物线所围的面积为 ∫ + − = α π α θ θ α d a A 2 2 (1 cos ) 4 2 1 ( ) 。 233

由 (a)=2a2 8a- cosa ( cos a)-(I-cosa) sin a 令A(a)=0,得到a=x。由于当a<z时,A(a)<0;当a>x时, A(a)>0,所以4(a)在a=x取到极小值,也就是最小值x): AG- (1 6、,610 3.求下列曲线的弧长: (1)y=x32,0≤x≤4 y 42 (3)y= In cos x,0≤x≤a<; (4)星形线 0≤t≤2π; y=asin (5)圆的渐开线 x=a(cost+tsin t) y=a(sint-t cost) (6)心脏线r=a(1-cos),0≤0≤2π (7)阿基米德螺线r=ae,0≤θ≤2π; 0≤6≤3 解(1)L 0-8 (2)L= )dy= (+y )dy= 2 (3)L=Vi+tan xdxJ sec xdr=In(tan a+ seca) (4)L=4[ 3asint cos tdx=6a (5)由x(t)= at cost,y()= at sin t,可得

由 α α α α α 4 2 2 2 2 sin 8 cos (1 cos ) 1 (1 cos ) 1 '( ) 2 a A a = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + = ， 令 A'(α) = 0 ，得到 2 π α = 。由于当 2 π α < 时， A'(α) < 0；当 2 π α > 时， A'(α) > 0 ，所以 A(α)在 2 π α = 取到极小值，也就是最小值 ) 2 ( π A ： ) 2 ( π A 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 10 2 ) cot 2 (1 cot (1 cos ) 1 2a d = −a + d = a − = ∫ ∫ π π π π θ θ θ θ 。 ⒊ 求下列曲线的弧长： ⑴ y x = ，0 4 3 2/ ≤ x ≤ ； ⑵ x y y = − 2 4 2 ln ，1 ≤ y ≤ e； ⑶ y x = ln cos ，0 2 ≤ ≤ x a < π ； ⑷ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π ⑸ 圆的渐开线 ； x a t t t y a t t t t = + = − ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ (cos sin ), (sin cos ), 0 2π ⑹ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，0 2 ≤ θ ≤ π； ⑺ 阿基米德螺线r a = θ, 0 2 ≤ θ ≤ π； ⑻ 3 sin3 θ r = a ，0 ≤ θ ≤ 3π 。 解（1） = + = ∫ 4 0 4 9 L 1 xdx 27 80 10 − 8 。 （2） 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 4 2 e e e L y y dy y y dy − − 1 4 + = + − = + = ∫ ∫ 。 （3） 2 0 0 1 tan sec ln(tan sec ) a a L x = + dx = xdx = a + ∫ ∫ a 。 （4） 2 0 L 4 3a t sin costdx 6 π = = ∫ a。 （5）由 x′( )t a = t cost, y′( )t = atsin t ，可得 234

L (6)L=「√r2+r"2do=[-2asin9d=8a。 (7)L= rde= a +1d=m1+4x2+ln2x+V1+4x2) (8)L=√2+r2d0=「asin2dO=2ra 4.在旋轮线的第一拱上,求分该拱的长度为1:3的点的坐标。 解设所求点所对应的参数为a,则 L,= va 1-cos)2+a2sin2tdt=4a(l-cos " L2=D(1-9+asm=4+02y, 由L2=3L,得c0=1,即a=2x,所以该点的坐标为(2x-33)。 5.求下列几何体的体积: (1)正椭圆台:上底是长半轴为a、短半轴为b的椭圆,下底是 长半轴为A、短半轴为B的椭圆(A>a,B>b),高为h; (2)椭球体 (3)直圆柱面x2+y2=a2和x2+z2=a2所围的几何体; (4)球面x2+y2+2=a2和直圆柱面x2+y2=ax所围的几何体 解(1)F=z(a+n2x(b+ x=的 B-b (2AB+2ab+Ab+aB) h (2)=m加1- (3)用平行于0y平面的平面去截这立体的第一卦限的部分,截 面为正方形,于是 (a -x dx==a 4)用平行于0y平面的平面去截这立体,则截面积为 235

2 2 0 L atdt 2 π = = π a ∫ 。 （6） 2 2 2 2 0 0 2 sin 8 2 L r r d a d a π π θ = + ′ θ θ = = ∫ ∫ 。 （7） 2 2 2 2 2 0 0 L r r d a 1d π π = + ′ θ = θ θ + = ∫ ∫ ( ) 2 2 ln 2 1 4 2 π 1+ 4π + π + + π a a 。 （8） 3 3 2 2 2 0 0 3 sin 3 2 L r r d a d a π π θ = + ′ θ = θ = π ∫ ∫ 。 ⒋ 在旋轮线的第一拱上，求分该拱的长度为 1:3 的点的坐标。 解 设所求点所对应的参数为α ，则 ) 2 (1 cos ) sin 4 (1 cos 0 2 2 2 2 1 α α = − + = − ∫ L a t a tdt a ， ) 2 (1 cos ) sin 4 (1 cos 2 2 2 2 2 2 π α α = − + = + ∫ L a t a tdt a ， 由L2 = 3L1，得 2 1 2 cos = α ，即α π 3 2 = ，所以该点的坐标为 ) 2 3 ) , 2 3 3 2 (( a π − a 。 ⒌ 求下列几何体的体积： ⑴ 正椭圆台：上底是长半轴为 、短半轴为 的椭圆，下底是 长半轴为 a b A、短半轴为 B 的椭圆（ A a > , B > b），高为h； ⑵ 椭球体 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + + = 1； ⑶ 直圆柱面 x y 2 2 + = a2和 x z a 2 2 2 + = 所围的几何体； ⑷ 球面 x y 2 2 + + z 2 = a2和直圆柱面 x y ax 2 2 + = 所围的几何体。 解（1） 0 ( )( ) (2 2 6 h A a B b h V a x b x dx AB ab Ab a h h B) π π − − = + + = + + + ∫ 。 （2） dz abc c z V ab c c π π 3 4 (1 ) 2 2 = − = ∫− 。 （3）用平行于 平面的平面去截这立体的第一卦限的部分，截 面为正方形，于是 0yz 3 0 2 2 3 16 V 8 (a x )dx a a = − = ∫ 。 （4）用平行于0yz平面的平面去截这立体，则截面积为 235