习题7.3 设函数f(x)连续,求下列函数F(x)的导数: (1)F(x)=.f(m)d; (2)F(x)=f( (3)F(x)= dt 解(1)F(x)=-(0M,所以F()=-f(x) (2)F'(x)=f(In x).(Inx)'=-f(In x) (3)F(x)= SIn x= 2 tdt 4+(x- sin cosr)2° 2.求下列极限 cost dt lim (arc tan v)c (4)lim x→+ 解(1) lim o cost2t = lim cos x2=1。 (2)lim 2 -lim--casx(sin x (arc tan v)dv (3)lim (arctan x) lim (arctan x) 1+x edu (4)1im lim =Im
习 题 7.3 ⒈ 设函数 f (x)连续，求下列函数F x( )的导数： ⑴ F x( ) = ∫ b x f (t)dt ; ⑵ F x( ) = ∫ x a f t dt ln ( ) ; ⑶ F x( ) = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + x tdt a dt t 0 2 sin 2 1 1 . 解（1） F x( ) = − ∫ ，所以 x b f (t)dt F′(x) = − f (x)。 （2）F′(x) = (ln ) 1 (ln ) (ln ) f x x f x ⋅ x ′ = 。 （3）F′(x) = x tdt x 2 2 0 2 sin 1 sin 1 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ 2 2 4 ( sin cos ) 4sin x x x x + − = 。 ⒉ 求下列极限： ⑴ x t dt x x ∫ → 0 2 0 cos lim ; ⑵ ∫ → − 1 cos 2 0 2 e lim x x w dw x ; ⑶ 2 0 2 1 (arc tan ) lim x v dv x x + ∫ →+∞ ; ⑷ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ x u x u x e du e du 0 2 2 0 2 2 lim 。 解（1） x t dt x x ∫ → 0 2 0 cos lim =limx→0 cos x 2 = 1。 （2） e e x x dw x x x x x w 2 ( sin ) 2 lim e lim 2 1 2 0 cos cos 2 0 = − − = → − → − ∫ 。 （3） 4 lim (arctan ) 1 (arctan ) lim 1 (arc tan ) lim 2 2 2 2 2 0 2 π = = + = + →+∞ →+∞ →+∞ ∫ x x x x x v dv x x x x 。 （4） 0 2 2 lim 2 lim lim 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ →+∞ →+∞ ∫ ∫ ∫ x x x x x x u x x u x u x xe e e e e du e du e du 。 216
∫。1f()dt 3.设f(x)是+∞)上的连续函数且恒有r(x)>0,证明s(x)=Jf()d 是定义在[0,+∞)上的单调增加函数 证因为 (x(x0d00x-00y ≥0, (odt 所以g(x)= f(1) 11b是定义在[0,+∞)上的单调增加函数。 4.求函数f(x)=(-)(-2y3d的极值。 解f(x)=(x-1(x-2)2,令f(x)=0,得到x=1,2。因为当x<1时, f(x)<0,当1<x<2或x>2时,f(x)>0,所以x=1是极小值点,x=2 不是极值点。由 f()-(-2)+(-2y)Mh=-1, 可知f(x)在x=1处有极小值f(1) 5利用中值定理求下列极限: (1) lir dt (2) d(p∈N) n→ 解(1)由积分第一中值定理, lim/" +r d= boxer=lim =0(0≤5≤1) 1+5n+1 (2)由积分第一中值定理,3∈mm+n,使得『x=厘mpP 所以 +p sinx lim dt=0。 217
⒊ 设 f (x)是[ , 0 + ∞)上的连续函数且恒有 f x( ) > 0，证明 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞)上的单调增加函数。 证 因为 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 0 ≥ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ′ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x x f t dt f x x t f t dt f t dt f x x f t dt tf t dt g x ， 所以 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞)上的单调增加函数。 4. 求函数 的极值。 ∫ = − − x f x t t dt 0 2 ( ) ( 1)( 2) 解 f ′(x) = (x −1)(x − 2) 2 ，令 f ′(x) = 0，得到 x = 1, 2。因为当 x < 1时， f ′(x) < 0，当1 < x < 2或 x > 2时， f ′(x) > 0，所以 x = 1是极小值点，x = 2 不是极值点。由 12 17 (1) [( 2) ( 2) ] 1 0 3 2 = − + − = − ∫ f t t dt , 可知 f (x)在 x = 1处有极小值 12 17 f (1) = − 。 5 利用中值定理求下列极限： ⑴ lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 ; ⑵ lim sin n n n p x x dt →∞ + ∫ ( p ∈ N ) 。 解（1）由积分第一中值定理， lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 = 1 0 1 1 1 lim lim 0 (0 1) 1 1 1 n n n x dx n ξ →∞ ξ ξ →∞ = ⋅ = ≤ ≤ + + + ∫ 。 （2）由积分第一中值定理，∃ξ ∈[n, n + p]，使得 n p dx p x n p x n = ≤ ∫ + ξ sin sinξ ， 所以 0 sin lim = ∫ + →∞ n p n n dt x x 。 217
6.求下列定积分 d (2) 2(x-1)(x (3)「(2+3)at (5)∫ (x +l)d arcsinxax x2+2x+5)2 x tan xax 3 cos- x (10 sin(In x)dx (11)x arc tan xd (12「x2(x=d (13)「 dx d dh (15) (16 7 (19) d x 2 解(1)∫x(2-x)d=4 57105 l)(x2-x+1) x (3)「(2+3)ax=(4+2.62+9157040 In 4 In6 In 3 4)「 (-4xyd(-4)=-(-4x)y (5) x )2-[(x+1)2+42x2+2x+5)16 (6)5 arcsin xdx=xaresinzb-5o 2-dr=3-1 218
6. 求下列定积分： ⑴ x x dx ∫ − 1 0 2 2 2 (2 ) ; ⑵ ∫ 2 − − + 1 2 2 2 ( 1)( 1) dx x x x x ; ⑶ ∫ + 2 0 2 (2 3 ) dx x x ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 10 x(1 4x ) dx ; (5) ∫− + + 1 + 1 2 2 ( 2 5) ( 1) x x x dx ; (6) ∫ 1 0 arcsin xdx ; (7) x x dx cos2 4 4 −∫ π π ; (8) ∫ 4 0 2 tan π x xdx ; (9) e sin x x dx 2 0 2 π ∫ ; (10) sin(ln ) e x dx 1 ∫ ; (11) ∫ 1 0 2 x arc tan xdx ; (12) ∫ + − e 1 1 2 x ln(x 1)dx 。 (13) ∫ − ln 2 0 3 2 x e dx x ; (14) ∫ + 1 0 2 1 e dx x ; (15) ∫ + 1 0 2 1 e x dx ; (16) ∫− − 2 1 2 1 2 3 (1 x ) dx ; (17) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 − 0 4 1 1 dx x x ; (18) ∫ + 1 + 0 4 2 1 1 dx x x ; (19) ∫ + 2 1 2 x 1 x dx ; (20) ∫ − 1 0 2 dx x x x ; 解 （1） 1 1 2 2 2 2 4 6 0 0 441 71 (2 ) (4 4 ) 3 5 7 105 x x − = dx x − x + x dx = − + = ∫ ∫ 。 （2） 2 2 2 2 2 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 ( 1 ) ln 2 2 2 2 x x x x dx dx x x x − − + 2 = − + − = − ∫ ∫ 。 （3） 2 2 2 0 0 15 70 40 (2 3 ) (4 2 6 9 ) ln 4 ln 6 ln 3 x x x x x + = dx + ⋅ + dx = + + ∫ ∫ 。 （4） 1 2 1 1 2 10 2 2 10 2 2 11 2 0 0 0 1 1 (1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) 8 88 x x − = dx − − x d − x = − − x = ∫ ∫ 1 88 。 （5） 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( 2 5) 2 [( 1) 4] 2( 2 5) 1 x dx d x x x x x x − − − + + = = − + + + + + + ∫ ∫ 6 = 。 （6） 1 1 1 0 0 0 2 arcsin arcsin 1 1 2 x xdx x x dx x π = = − − ∫ ∫ − 。 218
(7)∫=0。(奇函数在对称区间上的积分为零) (8)Sx tan'xdx=Sa ec'xdx-So xdr= tan x o-S tan xdr-So 丌 (9) n2 xdx e(1-cos2x)dx,由 e cos 2xdx :9 e' sin 2xdx=-ef-1+2e sin 2x=-4e' cos 2xdx 得到「ccos2xdk 所以 xdx=(e2-1) (10)∫snk= x sin(In x))∫ox)k e(sin 1-cos 1)+1- sin(In x)dx 所以 L, sin(In x)arse (sin 1-cos1) (11)x2 arctan xdx=-xarctanxl- d rn )dx 12 ln2-1 (12)Jxmx-=3xm(x--x2+x+1+1)h (x3-l)ln(x-1) 3 所以 ∫"x-)h=3( x-1)In(x- (13) 2e 1r√m2 In 2 1 Vin 1-ln2 4 219
（7） 4 4 2 0 cos x dx x π π − = ∫ 。（奇函数在对称区间上的积分为零） （8） 4 4 4 4 4 2 2 0 0 0 0 0 tan sec tan tan 4 0 x xdx x xdx xdx x x xdx xdx π π π π π = − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ π ∫ 2 1 ln 2 4 2 32 π π = − − 。 （9） 2 2 2 0 0 1 e sin (1 cos 2 ) 2 x x xdx e x dx π π = − ∫ ∫ ，由 2 2 2 0 0 0 cos 2 cos 2 2 sin 2 x x x e xdx e x e xdx π π π = + ∫ ∫ 2 2 2 0 0 1 2 sin 2 4 cos 2 x x e e x eπ π π = − − + − ∫ xdx， 得到 2 2 0 1 cos 2 5 x e e xdx π π + = − ∫ ，所以 2 2 2 2 2 0 1 1 3 e sin ( 1) 2 10 x e e xdx e π π π π 2 5 + − = − + = ∫ 。 （10） e 1 1 1 sin(ln ) sin(ln ) cos(ln ) e e x dx = x x − x dx ∫ ∫ , e 1 = − e x (sin1 cos1) +1− sin(ln ) ∫ dx 所以 e 1 1 sin(ln ) (sin1 cos1) 2 2 e x dx = − ∫ + 。 （11） 3 1 1 2 3 1 0 2 2 0 0 1 1 1 arctan arctan ( ) 3 3 1 12 3 1 x x 1 0 x xdx x x dx x dx x x π = − = − − + + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 ln 2 1 ( ln 2) 12 3 2 2 12 6 π π − = − − = + 。 （12） 2 3 1 1 2 1 ln( 1) ln( 1) ( 1 ) 3 3 1 x x dx x x x x dx x − = − − + + + − ∫ ∫ 1 1 3 3 1 1 ( 1)ln( 1) 3 3 3 2 2 x x x x x ⎛ ⎞ = − − − ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ c , 所以 e 1 2 3 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 ln( 1) ( 1)ln( 1) 3 3 3 2 e e x x dx x x x x x + + ⎛ ⎞ + − = − − − ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ∫ 2 3 2 1 9 2 = + e e 。 （13） ln 2 2 2 ln 2 3 2 ln 2 0 0 0 1 1 e e 2 2 x x 2 x 2 x dx x e dx − − = − + ∫ ∫ − 2 ln 2 0 ln 2 1 1 ln 2 4 2 4 x e− − = − − = 。 219
(14)令t=√x+1,则x=t2-1,于是 √2 (15) dx √1 evrs-In(e+V1+e-2r) =In e( +v2) n(√1+e2-1)+ln(√2+1)-1。 (16)令 2 tan t x2) (17)令t 2dt dx 于是 dx ∫a2h=212+21+3 (1-1)2 =2|13+t2+3+4n(1-1)+ 8In 2 注:本题也可令t=x+1,得到 dx 2(t-2 x+1 nd=1-8ln2。 (18) d x d(x 2x (19 v 2 dx v2 d x√/1+x2 dx 2x-x2 dx (2-
（14）令 2 t x = +1，则x = t −1，于是 1 2 2 2 1 2 2 2 2t 0 1 1 1 e 2 x t t dx e tdt te e dt + = = − ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 2 ( 2 ) 2 2 = − e e − 。 （15） 1 1 2 1 0 0 2 2 0 (1 2) ln( 1 e ) ln 1 e 1 e 1 1 e x x x x x dx de e e − − − − + = − = − + + = 2 + + + ∫ ∫ + ln( 1 1) ln( 2 1) 1 2 = + e − + + − 。 （16） 令 x = sin t，则 1 2 6 6 1 0 2 6 2 2 3 2 2 tan 3 (1 ) cos 3 dx dt t x t π π π − − = = = − ∫ ∫ 。 （17）令 1 1 x t x − = + ，则 2 1 , 1 (1 t x dx t t 2 ) + dt = = − − ，于是 4 4 1 0 2 0 1 1 2 1 (1 ) x t dx dt x t − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + − ∫ ∫ 0 2 2 1 4 1 2 2 3 1 (1 ) t t d t t − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + − + ⎝ ⎠ − − ∫ t 0 1 1 1 3 2 2 3 4ln(1 ) 3 1 t t t t t − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + + − + = − ⎝ ⎠ − 17 8ln 2 3 。 注：本题也可令t = x +1，得到 8ln 2 3 ( 2) 17 1 1 2 1 4 4 1 0 4 = − − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∫ ∫ dt t t dx x x 。 （18） 2 1 2 1 1 1 0 0 4 1 2 0 1 ( ) 1 1 arctan 1 ( ) 2 2 2 x d x x x dx x x x x 2 4 π − − + − − = = + − + ∫ ∫ = 。 （19） 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 ln( 1 ) ln 1 1 1 3 dx dx x x x x x − − − − + = − = − + + = + + + ∫ ∫ 。 （20） 2 1 1 0 0 2 2 2 x x x dx dx x x x = − − ∫ ∫ 2 2 1 1 1 0 0 2 2 0 2 (2 ) 2 2 2 x x d x x dx dx 2 x x x x 2x − − = − − + − − ∫ ∫ ∫ − x 0 1 2 2 1 1 0 0 2 1 2 2 2 1 ( 1) dx t dt x x x − = − − − − + − − ∫ ∫ 220