习题9.4任意项级数 1.讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛) (0∑py n 6∑-yn (6)∑ n CoS (7)∑(-1)14”sin2nx in(n+D) cos(n-D) (8 n 9)∑(-1) (3n-2)3n+2) (1D 解(1)设级数1-1+1-1+1-…的部分和数列为Sn},则 S FI k=12k-1k=1(2k)! 由于级数∑收敛 发散,所以limS2n=+∞,因此级数 2 发散 2)级数∑((x≠-m)当n充分大(即n+x>0)时是交错级 数,且{}单调减少趋于零,所以∑”(x≠-n)收敛:又由 于m+x1(→叫,∑发散,所以级数∑(1(x≠-n)条件 收敛
习 题 9.4 任意项级数 1. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛) ⑴ 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + − 5 1 …; ⑵ ∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x≠− n）； ⑶ ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x ; ⑷ ∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n n ; ⑸ ∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n ; ⑹ ∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − 1 2 1 4 sin ( 1) n n n n n x ; ⑻ ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x ; ⑼ n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) ; ⑽ ∑ ∞ = + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 1 (3 2)(3 2) 1 ln 2 ( 1) n n n n n ; ⑾ ∑ ∞ =2 n ln p q n n n x ; ⑿ ∑ ∞ = + + − 1 1 1 ( 1) n n n a a n ( a > 0 ). 解（1）设级数 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + − 5 1 …的部分和数列为{Sn }，则 ∑ ∑ = = − − = n k n k n k k S 1 1 2 (2 )! 1 2 1 1 ， 由于级数 ∑ ∞ =1 (2 )! 1 n n 收敛， ∑ ∞ =1 2 −1 1 n n 发散，所以 = +∞ →∞ n n S2 lim ，因此级数 1- 2! 1 + 3 1 - 4! 1 + − 5 1 …发散。 （2）级数∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x≠− n）当n充分大（即n + x > 0）时是交错级 数，且 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n + x 1 单调减少趋于零，所以∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ x≠− n）收敛；又由 于 n x n + − +1 ( 1) ～ n 1 (n → ∞), ∑ ∞ =1 1 n n 发散，所以级数∑ ∞ = + + − 1 1 ( 1) n n n x （ ≠ ）条件 收敛。 x − n 1
(3)当x=0时又(-1)sin的一般项都为零,所以级数绝对收敛 设x≠0,∑(-1)sin当n充分大(即n>型)时是交错级数,且 sin单调减少趋于零,所以∑(-sin2收敛;又由于(-1ysm 发散,所以级数∑-ysn2条件收敛 (4)lmy5=1,因此m不存在,所以∑发散。 n (5)∑-y是交错级数,当n≥28,单调减少趋于零,所以 级数∑(-y收敛:又由于∑”发散,所以级数∑-1yn条 件收敛。 (6)设∑csm的部分和数列为},则 n 23k-1√3k 由于y(-1 ∑(-)和∑(都是Lez级数,即都是收敛 2√3n-2m12√3n-1 的,所以imSn存在且有限。容易证明 lim Soni= lim Son+2=lim S6n+3= lim S6n+4=lim S6n+s = lim Son, n→ →)O n→)① n→① 由此可知级数∑=cos"收敛。 由于1c0≥n,∑,发散,所以级数∑1c0厘条件收 敛
（3）当 x = 0时∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 的一般项都为零，所以级数绝对收敛。 设 x ≠ 0，∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 当n充分大（即 π x n 2 > ）时是交错级数，且 n x sin 单调减少趋于零，所以∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 收敛；又由于 n n x ( 1) sin +1 − ～ n x (n → ∞)，∑ ∞ n=1 n x 发散，所以级数∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) sin n n n x 条件收敛。 （4） lim = 1 →∞ n n n ，因此 n n n n 1 ( 1) lim + →∞ − 不存在，所以∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n n 发散。 （5）∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n 是交错级数，当n ≥ 8， n n 2 ln 单调减少趋于零，所以 级数∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n 收敛；又由于 ∑ ∞ =2 2 ln n n n 发散，所以级数∑ ∞ = − 2 2 ln ( 1) n n n n 条 件收敛。 （6）设∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n 的部分和数列为{Sn }，则 S6n = ∑ = − − − n k k k 2 1 1 2 3 2 ( 1) ∑ = − − + n k k k 2 1 2 3 1 ( 1) ∑ = − + n k k k 2 1 3 ( 1) ， 由于 ∑ ∞ = − − − 1 1 2 3 2 ( 1) n n n ， ∑ ∞ = − − 1 2 3 1 ( 1) n n n 和 ∑ ∞ = − 1 3 ( 1) n n n 都是 Leibniz 级数，即都是收敛 的，所以 n存在且有限。容易证明 n S6 lim →∞ 6 1 lim + →∞ n n S 6 2 lim + →∞ = n n S 6 3 lim + →∞ = n n S 6 4 lim + →∞ = n n S 6 5 lim + →∞ = n n S n n S6 lim →∞ = ， 由此可知级数∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n 收敛。 由于 n n n 2 1 3 cos 1 ≥ π ， ∑ ∞ =1 2 1 n n 发散，所以级数∑ ∞ = π 1 3 cos 1 n n n 条件收 敛。 2
(7)当x6(kx-,kx+2)时,由于-14m=14m2xy, 0≤4sm2x<1,1(4sin2xy收敛,所以级数∑-1y4“sm绝对收敛。 当x=kx士时,sim2x=1,所以∑-1y4sx=∑(是条 件收敛级数。 在其他情况下,由于k4”smx4sn2x),4 sin x>I,级 数的一般项趋于无穷大,所以级数发散。 (8)当x=时,级数的一般项都为零,所以级数∑m(+1)x=)x 绝对收敛。 设x≠。当p>1时,由于mn+xcon-s1,所以级数 ∑sm+1cos-)绝对收敛 当0<p≤1时,由于 sin(n+I)xcos(n-D)x sin 2nx sin 2x 由 Dirichlet判别法,∑2收敛,而∑2x发散,所以级数 n= 2np sin(n+1)xcos(n-1)x 发散 当p≤0时,由于级数的一般项不趋于零,所以级数 SI+rcon-1)x发散
（7）当 ) 6 , 6 ( π π π x ∈ kπ − k + 时，由于 n n n n x n n x (4sin ) 4 sin 1 ( 1) 2 2 1 − = + ， 0 4sin 1 2 ≤ x < ，∑ ∞ =1 2 (4sin ) 1 n n x n 收敛，所以级数 ∑ ∞ = + − 1 2 1 4 sin ( 1) n n n n n x 绝对收敛。 当 6 π x = kπ ± 时， 4 1 sin 2 x = ，所以 ∑ ∞ = + − 1 2 1 4 sin ( 1) n n n n n x ∑ ∞ = + − = 1 1 ( 1) n n n 是条 件收敛级数。 在其他情况下，由于 n n n n x n n x (4sin ) 4 sin 1 ( 1) 2 2 1 − = + ， ，级 数的一般项趋于无穷大，所以级数发散。 4sin 1 2 x > （8）当 2 kπ x = 时，级数的一般项都为零，所以级数∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x 绝对收敛。 设 2 kπ x ≠ 。当 p > 1时，由于 p p n n sin(n 1)x cos(n 1)x 1 ≤ + − ，所以级数 ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x 绝对收敛。 当0 < p ≤ 1时，由于 = + − p n sin(n 1)x cos(n 1)x p p n x n nx 2 sin 2 2 sin 2 + ， 由 Dirichlet 判别法，∑ ∞ =1 2 sin 2 n p n nx 收敛，而 ∑ ∞ =1 2 sin 2 n p n x 发散，所以级数 ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x 发散。 当 p ≤ 0时，由于级数的一般项不趋于零，所以级数 ∑ ∞ = + − 1 sin( 1) cos( 1) n p n n x n x 发散。 3
(9)设x=(-01n2x,则m小=1,所以 当<2时,∑(-1x绝对收敛 当>2时,∑(-1)nx发散; 当|=2时,级数的一般项不趋于零,所以∑(-1"x也发散 ln|2+ (10)设un= 由于{un}单调减少趋于零,所以∑(-1yun (3n-2)(3n+2) 是 Leibniz级数,因此收敛 因为~B(m→对,奶2发散,所以级数∑条件收敛 (11)设x,=-。一,则imyn=A,所以 当<1时,级数∑_x。绝对收敛 当>1时,级数∑x。发散 当x=1时,∑ 因此当p>1或p=1,g>1时级数 nP In9 n (绝对)收敛,在其他情况下级数发散; 时,∑n =),因此当p>1或p=19>1时级 PInn Bnp Inn 数绝对收敛,当p=1,q≤1或0<p<1或p=0,q>0时级数条件收敛,在 其他情况下级数发散。 (12)设x=(-1)a
（9）设 n n n n x n x 2 ( 1) 2 +1 = − ，则 2 lim x x n n n = →∞ ，所以 当 x < 2时， n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) 绝对收敛； 当 x > 2时， n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) 发散； 当 x = 2时，级数的一般项不趋于零，所以 n n n n x n ∑ ∞ = + − 1 2 1 2 ( 1) 也发散。 （10）设 1 ln 2 (3 2)(3 2) n n u n n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ = − + 。由于{un}单调减少趋于零，所以 1 1 ( 1) n n n u ∞ + = ∑ − 是 Leibniz 级数，因此收敛。 因为un～ 3n ln 2 (n → ∞)，∑ ∞ =1 3 ln 2 n n 发散，所以级数 1 条件收敛。 1 ( 1) n n n u ∞ + = ∑ − （11）设 n n x x p q n n ln = ，则 x x n n n = →∞ lim ，所以 当 x < 1时，级数∑ ∞ =2 n ln p q n n n x 绝对收敛； 当 x > 1时，级数∑ ∞ =2 n ln p q n n n x 发散； 当 x = 1时，∑ ∞ =2 n ln p q n n n x ∑ ∞ = = 2 ln 1 n p q n n ，因此当 p > 1或 p = 1, q > 1时级数 （绝对）收敛，在其他情况下级数发散； 当 x = −1时，∑ ∞ =2 n ln p q n n n x ∑ ∞ = − = 2 ln ( 1) n p q n n n ，因此当 或 时级 数绝对收敛，当 或 p > 1 p = 1, q > 1 p = 1, q ≤ 1 0 < p < 1或 p = 0, q > 0时级数条件收敛，在 其他情况下级数发散。 （12）设 n n n a a n x + − = + 1 ( 1) 1 。 4
1时,lmy-=1<1,所以级数∑ 绝对收敛 当a=1时,∑(",a=∑y,级数条件收敛 n+1 当0<a<1时,由于∑ 收敛, 单调有界,由Abel判 别法级数∑(“收敛,但由于~2(m→∞),∑发散,所 naI n 1+a 以级数条件收敛。 2.利用 Cauchy收敛原理证明下述级数发散: 56 证(1)设级数的一般项为xn,则 由于n可以取任意大,由 Cauchy收敛原理可知级数发散 (2)设级数的一般项为xn,则 x …+x6n> 由于n可以取任意大,由 Cauchy收敛原理可知级数发散 3.设正项级数∑xn收敛,{x}单调减少,利用 Cauchy收敛原理证 明: lim nx=0 证由∑xn收敛,对任意给定的6>0,存在正整数N>0,对一切 成立 0<xn+1+xn+2+…+xm< 取N=2(N+1),则当n>N时,有"|>N,于是成立 0 …+X.<
当a > 1时， 1 1 lim = < →∞ a x n n n ，所以级数∑ ∞ = + + − 1 1 1 ( 1) n n n a a n 绝对收敛； 当a = 1时，∑ ∞ = + + − 1 1 1 ( 1) n n n a a n ∑ ∞ = + − = 1 1 2 ( 1) n n n ，级数条件收敛； 当0 < a < 1时，由于∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n 收敛， ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + n a a 1 单调有界，由 Abel 判 别法，级数∑ ∞ = + + − 1 1 1 ( 1) n n n a a n 收敛，但由于 n x ～ n a (n → ∞)，∑ ∞ n=1 n a 发散，所 以级数条件收敛。 2. 利用 Cauchy 收敛原理证明下述级数发散： ⑴ 1+ 2 1 - 3 1 + 4 1 + 5 1 - 6 1 + 7 1 + 8 1 - 9 1 +… ; ⑵ 1 - 2 1 + 3 1 + 4 1 - 5 1 + 6 1 + 7 1 - 8 1 + 9 1 +… 。 证 （ 1） 设级数的一般项为 xn，则 n n n x x x 3 +1 + 3 +2 +"+ 6 6 2 1 3 4 1 3 1 1 − + + + + + > n n n " 6 1 6 2 > − > n n ， 由于n可以取任意大，由 Cauchy 收敛原理可知级数发散。 （ 2） 设级数的一般项为 xn，则 n n n x x x 3 +1 + 3 +2 +"+ 6 n n 6n 1 3 6 1 3 3 1 + + + + + > " 6 1 6 > = n n ， 由于n可以取任意大，由 Cauchy 收敛原理可知级数发散。 3. 设正项级数 收敛，｛ ｝单调减少，利用 Cauchy 收敛原理证 明： = 0。 ∑ ∞ n=1 n x n x n n nx →∞ lim 证 由 ∑ 收敛，对任意给定的 ∞ n=1 n x ε > 0，存在正整数 ，对一切 ，成立 N'> 0 m > n > N' 2 0 1 2 ε < xn+ + xn+ +"+ xm < 。 取 N = 2(N'+1)，则当n > N 时，有 ' 2 N n >⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ，于是成立 2 2 0 1 2 2 ε < < + + + < +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ n ⎡ n n n x x x x n " ， 5