复旦大学：《数学分析》第六章（6.3）习题

习题6.3 求下列不定积分 2x+3 (2 dx; (x-1)(x+1)2 (x2-1)(x2+1) +1)(x+2)2(x+3)3 (x2+4x+4)(x2+4x+5)2 (5 5x- ()J,x dx x2+1)(x2+x+1 03)∫ 2 dx 04∫ 1)2 x(1+x7) dh 60∫ dx 解(1) x+122(x-1(x+1)(x+1)2 设 Ax+b cx+D 则 (Ax+B)(x2+1)+(Cx+D)(x2-1) 于是

习 题 6.3 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 1 1 2 ； ⑵ 2 3 1 1 2 2 x x x dx + − + ∫ ( )( ) ； ⑶ x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 ； ⑷ dx ( ) x x (x x 2 2 + + 4 4 + + 4 5 ∫ )2 ； ⑸ 3 1 3 x dx + ∫ ； ⑹ dx x x 4 2 + +1 ∫ ； ⑺ x x x x dx 4 2 5 4 5 4 + + + + ∫ ； ⑻ x x x dx 3 3 1 5 6 + + − ∫ ； ⑼ x x dx 2 4 1− ∫ ； ⑽ dx x 4 +1 ∫ ； ⑾ dx ( ) x x( x 2 2 + + 1 1 + ∫ ) ； ⑿ x x x dx 2 3 1 1 + − ∫ ( ) ； ⒀ x x x dx 2 2 2 2 1 + + + ∫ ( ) ； ⒁ 1 1 7 7 − + ∫ x x x dx ( ) ； ⒂ x x x dx 9 10 5 2 ( ) + + 2 2 ∫ ； ⒃ x x dx n n 3 1 2 2 1 − + ∫ ( ) 。 解（1） dx ( ) x x − ( + ) ∫ 1 1 2 = dx x x x ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + 2 ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 2 1 = 1 1 1 ln 4 1 2( 1) x C x x − + + + + 。 （2）∫ − + + dx x x x ( 1)( 1) 2 3 2 2 设 ( 1)( 1) 2 3 2 2 − + + x x x = 1 2 − + x Ax B + 1 2 + + x Cx D ，则 ( )( 1) ( )( 1) 2 3 2 2 Ax + B x + + Cx + D x − ≡ x + ，于是 186

A+C=0 B+D=0 B-D=3 解得A=1.C 所以 tanx+c x+12 (3) dx (x+1)(x+2)2(x+3)3 设 (x+1)(x+2)2(x+3) E x+2(x+2)2x+3(x+3)2(x+3)3 A(x+2)(x+3)3+B(x+1)(x+2)x+3)3+C(x+1)(x+3) +D(x+1x+2)2(x+3)2+E(x+1)(x+2)2(x+3)+F(x+1)(x+2)2=x 令 得到 令 得到 令 得到F 再比较等式两边x3、x4的系数与常数项,得到 13A+12B+C+11D+E=0 108A+54B+27C+36D+12E+4F=0 于是解得A=-1,B=-5,C=2,D E 13F=3,即 (x+1)(x+2)2(x+3)3 2 x+ 所以 187

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = + = + = 3 2 0 0 B D A C B D A C ， 解得 2 3 , 2 3 A = 1,C = −1, B = D = − 。所以 ∫ − + + dx x x x ( 1)( 1) 2 3 2 2 = ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − dx x x dx x x x x 1 1 1 1 2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln arctan 2 1 4 1 2 x x x C x x − − = + − + + + 。 （3） x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 设 2 3 (x +1)(x + 2) (x + 3) x + + + + + + = 2 1 2 (x 2) C x B x A 2 3 3 ( 3) ( + 3) + + + + x F x E x D ，则 2 3 3 3 A(x + 2) (x + 3) + B(x +1)(x + 2)(x + 3) + C(x +1)(x + 3) + D x + x + x + + E x + x + x + + F x + x + ≡ x 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 3) ( 1)( 2) ( 3) ( 1)( 2) 。 令 x = −1，得到 1 8 A = − ；令 x = −2，得到C = 2；令 x = −3，得到 3 2 F = ； 再比较等式两边 5 x 、 4 x 的系数与常数项，得到 0 13 12 11 0 108 54 27 36 12 4 0 A B D A B C D E A B C D E F ⎧ + + = ⎪ ⎨ + + + + = ⎪ ⎩ + + + + + = 。 于是解得 2 3 , 4 13 , 8 41 , 5, 2, 8 1 A = − B = − C = D = E = F = ，即 2 3 (x +1)(x + 2) (x + 3) x 2 2 3 2( 3) 3 4( 3) 13 ( 2) 2 8( 3) 41 2 5 8( 1) 1 + + + + + + + + + − + = − x x x x x x 。 所以 187

x ax (x+1)(x+2)2(x+3)3 x+ 2 13 x+1)(x+ 4(x+3)4(x+3)2 (4) (x2+4x+4) (x2+4x+4)x2+4x+5)2(x2+4x+4)(x2+4x+5)(x2+4x+5)2 +4x+4 +4x (x2+4x+5) 所以 4x+4)(x2+4x+5 +2 [1+(x+2)2] x+2 arctan(x+2)+ x+22(x2+4x+5) (5)「 2 I rd(x 1),3rd In(x+1-In(x2-x+1)+v3 arctan 2x-1 (6)解一 d x 2(x2+x+1) (x+1)dx1r(x-1)h I( 1),1 I rd( )I dx 计+5-m02+0m2+c

x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 41 40 2 1 ( 3) 2 13 3 ln 8 ( 1)( 2) 2 4( 3) 4( 3) x C x x x x x + = − − − + + + + + + 。 （4）∫ + + + + 2 2 2 (x 4x 4)(x 4x 5) dx 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 5) 1 ( 4 4)( 4 5) 1 ( 4 4)( 4 5) 1 + + − + + + + = x + x + x + x + x x x x x x 2 2 2 2 ( 4 5) 1 4 5 1 4 4 1 + + − + + − + + = x x x x x x ， 所以 ∫ + + + + 2 2 2 (x 4x 4)(x 4x 5) dx = ∫ + + + − + − + − 2 2 [1 ( 2) ] ( 2) arctan( 2) 2 1 x d x x x 2 1 2 3 arctan( 2) 2 2( 4 5) 2 x x C x x x + = − − − + + + + + 。 （5） 3 1 3 x dx + ∫ = ∫ ∫ ∫ − + + − + − + ⎟ = + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + 2 1 3 1 ( 1) 2 1 ln 1 1 2 1 1 2 2 2 2 x x dx x x d x x dx x x x x x 1 2 2 ln 1 ln( 1) 3 arctan 2 3 x 1 x x x C − = + − − + + + 。 （6）解一： dx x x 4 2 + +1 ∫ = dx x x x x x x ∫ + + − + + − − ( 1)( 1) ( 1) ( 1) 2 1 2 2 3 3 = ∫ + + + 1 ( 1) 2 1 2 x x x dx ∫ − + − − 1 ( 1) 2 1 2 x x x dx = ∫ ∫ + + + + + + + 4 1 1 1 ( 1) 4 1 2 2 2 x x dx x x d x x ∫ ∫ − + + − + − + − 4 1 1 1 ( 1) 4 1 2 2 2 x x dx x x d x x 2 2 1 1 1 2 1 2 1 ln [arctan arctan ] 4 1 2 3 3 3 x x x x C x x + + + − = + + − + + 。 188

解 d1(+x) x+x+ +-In x十X +x+ in cta +C。 注:本题的答案也可以写成hx+x+1、A1*C 7) dx x++5x+4 =x2-5x+21 所以 x4+5x+4 135 dh x3+5x-6 5x-7 1x+22 6)4(x-1)4x2+x+6 所以 +1 43 2x+1 dx in arctan 8x2+x+6423 (9) dx=-In anx+c (0)J女

解二：∫ ∫ ∫ + + − + + + + = + + 1 (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 1 1 4 2 2 4 2 2 4 2 x x x dx x x x dx x x dx 1 1 1 1 1 arctan ln 2 3 3 4 1 x x x x C x x − − − − + + = + + − 1 + 2 2 2 1 1 1 1 ln arctan 4 1 2 3 3 x x x C x x x + + − = + − + + 。 注：本题的答案也可以写成 2 2 2 1 1 1 3 ln arctan 4 1 2 3 1 x x x C x x x + + + + − + − 。 （7）∫ + + + + dx x x x x 5 4 5 4 2 4 5 4 5 4 2 4 + + + + x x x x = 4 80 5 21 2 + − + − x x x ， 所以 ∫ + + + + dx x x x x 5 4 5 4 2 4 1 5 3 2 21 80ln 4 3 2 = − x x x + − x + +C 。 （8）∫ + − + dx x x x 5 6 1 3 3 6 22 4 1 4( 1) 1 1 ( 1)( 6) 5 7 1 5 6 1 3 2 2 3 + + + − − = + − + + − = − + − + x x x x x x x x x x x ， 所以 3 2 3 2 1 1 ( 1) 43 2 ln arctan 5 6 8 6 4 23 23 x x dx x C x x x x + − = + − + + − + + ∫ x +1 。 （9） x x dx 2 4 1− ∫ 2 2 1 1 1 1 1 1 ln arctan 2 1 1 4 1 2 x dx x C x x x ⎛ ⎞ + = − ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ − + − ∫ + 。 (10) dx x 4 +1 ∫ dx x 4 +1 ∫ = ∫ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + + + dx x x x x x x 2 1 2 1 4 2 2 1 2 1 4 2 2 2 189

+√2x+11 4 √2x+ In +=( arctan(√2x+1)+ arctan(√2x-1)+C。 dx x (x2+1)(x2+x+1) +x+1 1.x2+x+11 2x+1 2x2+12x2+x+12x2+1 dx (x3-1) dh x(x x(x d dx +-InI 3(x-1x2+x+1 I rd(x+x+D) 6 x+x+ x2+x+13 lx-1=2In(x2+x+1)+arctan"5+In x-1+2In(x+x+1)-In/ x2+2 x2+x+1-x+1 (x2+x+1)2 1) 12x+1 x+x+ 2 √32(x2+x+1)23x2+x+13√3 arctan 2x+1x+1 arctan +c 3x2+x+1 x(1+x7) =m+x丁=门4-22

∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + + − + + + = dx x x x x x x x x 2 1 1 2 1 1 4 1 2 1 2 1 ln 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ln (arctan( 2 1) arctan( 2 1)) 8 4 2 1 x x x x C x x + + = + + + − + − + 。 (11) dx ( ) x x( x + ) 2 2 + + 1 1 ∫ dx x x x x x ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + + = 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 ln ln arctan 2 1 2 1 2 1 3 3 x x dx x x x C x x x x + + + + + = + = + + + + + ∫ + 。 (12) x x x dx 2 3 1 1 + − ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ − − + = − + − − = x dx dx x x x dx x x x x x ( 1) 1 ( 1) 3 2 3 2 3 3 3 3 3 1 ln 3 1 1 x x dx x x − + − = ∫ 3 3 2 1 ln 3 1 1 1 1 1 3 1 x x dx x x x x − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − − = ∫ 3 3 2 2 2 1 ln 3 1 2 1 1 1 ( 1) 6 1 ln 1 3 1 x x x x dx x x d x x x − + + + + + + + + = − − ∫ ∫ 3 2 3 1 1 1 2 1 1 1 ln 1 ln( 1) arctan ln 3 6 3 3 3 x x x x x C x + − = − − + + + + + 2 1 2 1 2 1 ln 1 ln( 1) ln arctan 3 6 3 3 x x x x x C + = − + + + − + + 。 (13) x x x dx 2 2 2 2 1 + + + ∫ ( ) = ∫ + + + + − + dx x x x x x 2 2 2 ( 1) 1 1 ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + − + + = dx x x x x x x x 2 2 2 2 2 ( 1) 1 2 3 ( 1) 2 1 2 1 1 1 = 2 2 1 2 2 1 1 3 2 4 2 1 2 arctan arctan 3 3 2( 1) 2 3 1 3 3 3 x x x C x x x x ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ + + + + + + + ⎝ ⎠ + 2 4 2 1 1 arctan 3 3 1 x x C x x + + = + + + + 。 (14) 1 1 7 7 − + ∫ x x x dx ( ) ∫ + + = dx x x x (1 ) 1 7 7 ∫ + − dx x x 7 6 1 2 ∫ = dx x 1 ∫ + − 7 7 7 1 2 x dx 190