2-1有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸: 1、离散化 2、外载荷集中到结点上,即把投 影部分的重量作用在结点i上 i-1 q(1+ 1 图2-3 图2-2
2-1 有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸： L1 L2 Li Li+1 1 图 2-2 n n-1 i+1 i i-1 2 Li Li+1 图 2-3 i+1 i i-1 2 q (L L ) i + i+1 1、离散化 2、外载荷集中到结点上，即把投 影部分的重量作用在结点i上
2-1有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸: 3、假设线单元上的位移为线性函数 u: -u u= u X-X du u u(x) dX u Fs:=E N = AO=AE 图2-4 AE( 1
2-1 有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸： 3、假设线单元上的位移为线性函数 Li 图 2-4 i i-1 X u x i 1 x − u i−1 u (x) u i (X X ) L u u u u (x) u i 1 i i i 1 i 1 − − − − − = = + i i i 1 x L u u dX du ε − − = = ) L u u E E( i i i 1 i i − − = = ) L u u N A A E ( i i i 1 i i − − = = ) L u u N A E ( i 1 i 1 i i 1 + + + − =
2-1有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸: 4、以i结点为对象,列力的平衡方程 ∑F=0 q(L +L q(1+I+) △ 图2-5 将位移和内力的关系代入得 u-1 +(1+)u q 1+)L (2-1) 2EA 用结点位移表示的平衡方程,其中i=1,2,…,n有n个方程 未知数也有n个,解方程组,得出结点位移,进而计算应力
2-1 有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸： 4、以i结点为对象，列力的平衡方程 令 将位移和内力的关系代入得 Ni Ni+1 图 2-5 i 2 q (L L ) i + i+1 Fx = 0 2 q (L L ) N N i i 1 i i 1 + + + − = i 1 i i L L + = ) L (2 - 1) 1 (1 2EA q u (1 ) u u 2 i i i -1 i i i i 1 − + + − + = + 用结点位移表示的平衡方程，其中i=1，2，… n有n个方程 未知数也有n个，解方程组，得出结点位移，进而计算应力
2-1有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸: 假设线单元数为3个的情况, 平衡方程有3个 i=1时 EA a 丰|十 i=2时,-u1+2u2-32EA i=3时, uo+u 2EA 联立解得 图2-6 qa qa qa EA 2 EA 2EA 与材料力学的精确解答在结点处完全相同
2-1 有限单元法的概念 有限单元法求解直杆拉伸： 假设线单元数为3个的情况， 平衡方程有3个： i=1时， i=2时, i=3时， 联立解得 L1 = a L3 = a L2 = a u0 u1 u2 u3 0 1 2 3 图 2-6 2 1 2 a EA q 2 u − u = 2 1 2 3 a EA q − u + 2 u − u = 2 2 3 a 2 EA q − u + u = EA qa 2 5 u 2 1 = EA qa 2 8 u 2 2 = EA qa 2 9 u 2 3 = 与材料力学的精确解答在结点处完全相同
2-1有限单元法的概念 有限单元法的基本思路: (1)把物体分成有限大小的单元,单元间用结点相连接 (2)把单元结点的位移作为基本未知量,在单元内的位移,设 成线性函数(或其它函数),保证在单元内和单元间位移连接。 (3)将结点的位移与结点的力联系起来。 (4)列出结点的平衡方程,得出以结点位移表达的平衡方程组 (5)求解代数方程组,得出各结点的位移,根据结点位移求出 各单元中的应力。 有限单元法的基本未知量是结点位移,用结点的平衡方程 来求解
2-1 有限单元法的概念 有限单元法的基本思路： (1) 把物体分成有限大小的单元，单元间用结点相连接。 (2) 把单元结点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设 成线性函数(或其它函数)，保证在单元内和单元间位移连接。 (3) 将结点的位移与结点的力联系起来。 (4) 列出结点的平衡方程，得出以结点位移表达的平衡方程组。 (5) 求解代数方程组，得出各结点的位移，根据结点位移求出 各单元中的应力。 有限单元法的基本未知量是结点位移，用结点的平衡方程 来求解