柯西积分定理 定理2:(柯西一古萨基本积分定理)设函数()在单连通区域D内 处处解析,那么函数f()在D内沿任何一条封闭曲线C的积分为零, 即:4f(=)=0 (1)单连通区域D (2)f()在区域D处处解析 (3)闭曲线C 则pf(=)d=0 柯西积分定理表明,函数满足一定的条件,则积分与路径无 2021/224 关
2021/2/24 19 ➢一、柯西积分定理 定理2：（柯西—古萨基本积分定理） 设函数 在单连通区域 内 f z D ( ) 那么函数 在 内沿任何一条封闭曲线 的积分为零， f z D C ( ) ( ) 0. C f z dz = (1)单连通区域D (3)闭曲线C (2) ( ) f z D 在区域 内处处解析 ( ) 0. C f z dz = 则 柯西积分定理表明，函数满足一定的条件，则积分与路径无 关． 处处解析， 即：
格林公式:(1)曲线L封闭、正向;(2)P(x,υ)Qx,y)具有一阶连续偏导数; 则,Pak+Q=「 oo aP )dxdy ax a 证明:因为函数()在区域内解析,故r()在,(下面在r(=)连续的假设下证明 因为与的一阶偏导数存在且连续,故应用格林公式得: 「。∫()=「(+m)d+)J(xy-v(xy)p+丁v(x,yt+(xy)d )dxdy )dxdy 其中G为简单闭曲线所围区域,由于函数(解析,C-R方程成立 f(=)dz=0. 以后我们会证明只要函数(=)解析,f(z)必连续 2021/224
2021/2/24 20 证明： 因为函数 在区域 内解析，故 存在,(下面在 连续的假设下证明 f z D f z f z ( ) ( ) ( ) ) 因为 与 的一阶偏导数存在且连续，故应用格林公式得： u v ( ) ( )( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . ) C C C C f z dz u iv dx idy u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy = + + = − + + ( ) ( ) G G v u u v dxdy i dxdy x y x y = − + + − 其中 为简单闭曲线 所围区域，由于函数 解析， 方程成立 G C f z C R ( ) , − ( ) 0. C = f z dz 格林公式：（1）曲线 封闭、正向；（2） 具有一阶连续偏导数； L P x y Q x y ( , ), ( , ) ( ) . L D Q P Pdx Qdy dxdy x y + = − 则 以后我们会证明只要函数 解析， 必连续 f z f z ( ) ( ) .