三、复积分的性质 因为复积分的实部和虚部都是曲线积分,因此,曲线积分的一些基 本性质对复积分也成立 ∫/(=)=-」[f(=) (2)0()=k[(1去(为常数 (J()g()=(1士g(1 (4)。()k-Jf()+。()k,(其中C+C2=C (5)f(2)d=sLIf()ds 2021/224
2021/2/24 14 ➢三、复积分的性质 因为复积分的实部和虚部都是曲线积分，因此，曲线积分的一些基 本性质对复积分也成立． (1) ( ) ( ) ; C C f z dz f z dz − = − (2) ( ) ( ) , ( ); C C kf z dz k f z dz k = 为常数 (3) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ; C C C f z g z dz f z dz g z dz = 1 2 1 2 (4) ( ) ( ) ( ) ); C C C f z dz f z dz f z dz C C C = + + = ，(其中 (5) ( ) ( ) . C C f z dz f z ds
证明性质(5): ∑∫(5kk∑()Ak|s∑f(kAs k=1 其中A是小弧段二的长,△kF=√△x+△y≤A 注意:Hdx+i=√x2+dhy2=ds,因此 imn∑f( (kAzks lim∑/()川A=sm∑/()A 1((h 特别地,若曲线C的长度为,函数()在C上有界,即f()≤M /(MsJe≤M《估计不等式 2021/224
2021/2/24 15 证明性质（5）： 1 | ( ) | n k k k f z = 1 | ( ) || | n k k k f z = 1 | ( ) || |, n k k k f s = k k k 1 s z z 其中 是小弧段 的长， − 2 2 | | k k k k = + z x y s 2 2 注意： ，因此 | | | | dz dx idy dx dy ds = + = + = 0 1 lim | ( ) | n k k k f z → = 0 1 lim | ( ) || | n k k k f z → = 0 1 lim | ( ) || | n k k k f s → = ( ) ( ) C C f z dz f z ds 特别地，若曲线 的长度为 ，函数 在 上有界，即： C L f z C f z M ( ) ( ) ( ) ( ) C C f z dz f z ds ML （估计不等式）
例4.设曲线C为从原点到点3+4直线段 试求积分[d绝对值的一个上界 2-l 解:C的参数方程为:z=(3+4)1,0≤1≤1 由估计不等式 dz|≤ 因为在C上,所以 13+4)-41+(4-D-392+(4- 4 25(-)2 2525 从而有 dz|≤+ds=×5 C 2021/224
2021/2/24 16 • 例4．设曲线 为从原点到点 的直线段 C i 3 4 , + 解： C z i t t 的参数方程为： = + (3 4 ) ,0 1 1 1 C C dz ds z i z i − − 由估计不等式： 2 2 1 1 1 1 (3 4 ) 3 (4 1) 9 (4 1) z i i t i t t i t t = = = − + − + − + − 因为在 上，所以 C 2 1 5 4 9 3 25( ) 25 25 t = − + 1 5 5 25 5 . C C 3 3 3 dz ds z i = = − 从而有： 1 . C dz z i − 试求积分 绝对值的一个上界
例5.试证:加m1==0 证明:这里讨论r→0,故不妨设r<1, 因为在|二Fr上, 1+z21+21 有估计不等式得 r2兀r 2丌r 1+ 上式右端当厂→O时的极限为0,故左端极限也为 即:im dz=0 r→>00==r1+z 2021/224
2021/2/24 17 • 例5． 3 2 0 | | lim 0. r z r 1 z dz z → = = + 试证： 证明： 这里讨论 故不妨设 ， r r → 0, 1 3 3 4 2 2 2 | | 2 | | 2 z r 1 1 1 z r r dz r z r r = = + − − 上式右端当 时的极限为0，故左端极限也为0, r → 0 3 2 0 | | lim 0. r z r 1 z dz z → = = + 即： 有估计不等式得： 因为在 上， | | z r = 3 3 3 3 2 2 2 2 , 1 1 1 1 z r z z z r z z == + − + −
第二节柯西积分定理 从上一节所举的例子来看: 例1中的被积函数f()=z2在复平面内是处处解析的,它沿连接起点及终点 的任何路线积分值都相同,换句话说,积分是与路径无关的. 例3中的被积函数f()=2,它的实部u=x,虚部v=-y,不满足C-R方程, 所以在平面上处处不解析,且积分[z与路径有关 例2中的被积函数当n=O时为 ,它在以二为中心的圆周C内部 不是处处解析的,因为它在=没有定义,当然在二处不解析,而此时积分: 22m≠0.如果把除去,虽然在除去=的的内部,函数处解析, 但是这个区域已经不是单连通区域 由此可猜想:积分的值与路径无关或沿闭曲线积分值为零的条件 与被积函数的解析性及区域的单连通性有关.究竟关系如何,下面我 们讨论此问题 2021/224
2021/2/24 18 第二节 柯西积分定理 从上一节所举的例子来看: 2 例1中的被积函数 在复平面内是处处解析的，它沿连接起点及终点 f z z ( ) = 的任何路线积分值都相同，换句话说，积分是与路径无关的． 例3中的被积函数 ，它的实部 虚部 不满足 方程， f z z u x v y C R ( ) , , = = = − − . C zdz 所以在平面上处处不解析，且积分 与路径有关 0 0 1 0 ( ) n z C z z = − 例2中的被积函数当 时为 ，它在以 为中心的圆周 内部 0 0 不是处处解析的，因为它在 没有定义，当然在 处不解析，而此时积分： z z 0 2 0. C dz i z z − 由此可猜想：积分的值与路径无关或沿闭曲线积分值为零的条件 与被积函数的解析性及区域的单连通性有关．究竟关系如何，下面我 们讨论此问题． 0 0 如果把 除去，虽然在除去 的 的内部，函数处处解析， z z C 但是这个区域已经不是单连通区域