§2.5无穷小量与无穷大量 研究函数极限时,有两种变量非常重要.一种是 在极限过程中变量可以无限变小,而且要多么小就有 多小;一种是在极限过程中,变量可以无限变大,而 且要多么大就有多大我们分别将它们称为无穷小量 和无穷大量
1 §2.5 无穷小量与无穷大量 研究函数极限时, 有两种变量非常重要. 一种是 在极限过程中变量可以无限变小, 而且要多么小就有 多小; 一种是在极限过程中, 变量可以无限变大, 而 且要多么大就有多大.我们分别将它们称为无穷小量 和无穷大量
无穷小量 定义以零为极限的变量称为无穷小量.例 lim 0→-是x→∞时的无穷小量 lim et=0→e是x→>-∞时的无穷小量 x→- limeˉX=0→eκ是x→+∞时的无穷小量 少+o lim sinx=0→sinx是x→>0时的无穷小量 r→0 im(x-x0)=0→x-x0是x→>x时的无穷小量 x→x lim(x-2)=-1,x→>1时x-2不是无穷小量 imq"=0q4<1)→q"是n→时的无穷小量 n→0
2 一. 无穷小量 定义 以零为极限的变量称为无穷小量. 例 1 . x x → 是 时的无穷小量 0 limsin 0 sin 0 . x x x x → = → 是 时的无穷小量 1 lim 0 lim 0 lim 0 x x x x x x e e → →− − →+ = = = . x → − e x 是 时的无穷小量 . x e x → + − 是 时的无穷小量 lim 0( 1) . n n n q q q n → = → 是 时的无穷小量 0 0 0 0 lim( ) 0 . x x x x x x x x → − = − → 是 时的无穷小量 1 lim( 2) 1, 1 2 . x x x x → − = − → − 时 不是无穷小量
注1.很小很小的非零常量不是无穷小量,但数“0” 是无穷小量;而无穷小量却不一定是数“0”,仅极 限值为O 注2.无穷小量与自变量的变化过程有关 无穷小量的性质 性质1.设在某一极限过程下有a1→0(i=1,2,…,n),则 在此极限过程下有 1.∑a1→>0;(2)a1→0 i=1
3 注1. 很小很小的非零常量不是无穷小量, 但数“0” 是无穷小量; 而无穷小量却不一定是数“0”, 仅极 限值为0. 无穷小量的性质 性质1. i 设在某一极限过程下有 → = 0( 1,2, , ), i n 则 在此极限过程下有 注2. 无穷小量与自变量的变化过程有关. 1 (1). 0; n i i = → 1 (2). 0. n i i = →
性质2.有界变量f(x)与无穷小量a(x)之积仍为无穷小量 证明 因f(x)有界则M>0,Vx∈D(),恒有f(x)≤M; 因a(x)为无穷小量, 则>0,某个时刻,在此时刻后a(x)< →f(x)a(x)<M·元<E.∷f(x)a(x)为无穷小量 例 lim x sin1=0,但 lim rsin1=1 x→0 x SInd lim =O: im x→0 n→0n
4 性质2. 有界变量ƒ(x)与无穷小量α(x)之积仍为无穷小量. 证明 ( ) , 0, ( ), ( ) ; 因 f x M x D f f x M 有界 则 恒有 例 0 1 1 lim sin 0, lim sin 1. sin ( 1) lim 0; lim 0. x x n x n x x x x x x n → → → → = = − = = 但 因 ( ) , x 为无穷小量 f x x M f x x ( ) ( ) . ( ) ( ) . M 为无穷小量 0, ( ) , x M M 则 某个时刻，在此时刻后,
定理8.(函数与其极限间的关系)函数f(x)的极限为A 的充要条件是函数f(x)等于A与无穷小量a的和 即∫(x)=A+a 证明"→" 设imf(x)=A,则对vE>0总存在一个时刻在此时刻 以后就恒有x)-Ak<,从而f(x)-A为无穷小量,记 为a,则f(x)=A+a 设f(x)=A+a,且a为无穷小量,则对>0总存在 个时刻,在此时刻以后就恒有a|=U(x)-4<, 故limf(x)=A
5 定理8. (函数与其极限间的关系)函数ƒ(x)的极限为A 的充要条件是函数ƒ(x )等于A与无穷小量 α 的和. 即 ƒ(x) = A + α. 设lim ƒ(x) =A, 则对 0 " " " " 0 设ƒ(x ) = A +α,且α为无穷小量, 则对 证明 故lim ƒ(x) =A. 总存在一个时刻,在此时刻. 以后,就恒有|ƒ(x)–A|<ε, 从而ƒ (x )−A为无穷小量, 记 为α,则ƒ (x )=A+α 总存在 一个时刻, 在此时刻以后,就恒有| α |= |ƒ (x)–A|< ε