又仙-代入原方 h-票=h- 即器-程测红利-F化-+G+a即通解-化-±C+型 h-T 又此初始条件得t=0:=(伍-4.贺=伍-回则得。的刺西间题 =0:u=h-e,宽=-a 此d'Alembert公式 .)-+at)e(r-at)+(a)(+(h-a)e(a)do 即得 u9=2-司-+a-a+h-a+a+a-可a-a)(oy 1 2.问初始条件()与（口）满足怎样的条件时程齐次波动方，初值问题的解仪此右传播波组成 解u红，)=F(红-a)+G(红+at).若仅有右传播被程则G红+a)三C程即G(e)=C.而 ca-a+品厂eoh-品 所以(),()应满足 a+日aol恤=G或o+el=0 3.利用传播波法程求解波动方，的古沙(Goursat)问题 4r-a=0=(), 4r+at=0=(r,(o(0)=(0) 解u(，t)=F(e-a)+G(+at),l-at=0=F(0)+G(2)=p(,4lz+at=0=F(2)+G0)=( 则F()=(与)-GO,G()=(与)-F()程而F0)+G(0)=(0)+(0=(0)=(O)程
q (h − x) ∂ 2u ∂t2 = ∂ 2v ∂t2 ➇❭✝➄➜ (h − x) ∂ 2v ∂x2 = 1 a 2 (h − x) ∂ 2v ∂t2 ❂ ∂ 2v ∂t2 = a 2 ∂ 2v ∂x2 ➜❑ v(x, t) = F(x − at) + G(x + at). ❂Ï✮ u(x, t) = F(x − at) + G(x + at) h − x . q❞Ð➞❫❻✚ t = 0 : v = (h − x)ϕ(x), ∂v ∂t = (h − x)ψ(x). ❑✚ v ✛❹Ü➥❑ ∂ 2v ∂t2 = a 2 ∂ 2v ∂x2 t = 0 : v = (h − x)ϕ(x), ∂v ∂t = (h − x)ψ(x) ❞d’Alembertú➟ v(x, t) = 1 2 [(h − x + at)ϕ(x − at) + (h − x − at)ϕ(x + at)] + 1 2a Z x+at x−at (h − α)ψ(α)dα ❂✚ u(x, t) = 1 2(h − x) [(h − x + at)ϕ(x − at) + (h − x − at)ϕ(x + at)] + 1 2a(h − x) Z x+at x−at (h − α)ψ(α)dα 2. ➥Ð➞❫❻ ϕ(x) ❺ ψ(x) ÷✈◆✘✛❫❻➒➜à❣➴➘➄➜Ð❾➥❑✛✮❂❞♠❉➶➴⑤↕➸ ✮ u(x, t) = F(x − at) + G(x + at). ❡❂❦♠❉➶➴➜❑ G(x + at) ≡ C➜❂ G(x) = C. ✌ G(x) = 1 2 ϕ(x) + 1 2a Z x x0 ψ(α)dα − C 2a ↕➧ ϕ(x), ψ(x) ❆÷✈ ϕ(x) + 1 a Z x x0 ψ(α)dα = C1 ➼ ϕ 0 (x) + 1 a ψ(x) = 0 3. ⑤❫❉➶➴④➜➛✮➴➘➄➜✛✔â↔Goursat↕➥❑ ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2 u|x−at=0 = ϕ(x), u|x+at=0 = ψ(x), (ϕ(0) = ψ(0)) ✮ u(x, t) = F(x−at)+G(x+at), u|x−at=0 = F(0)+G(2x) = ϕ(x), u|x+at=0 = F(2x)+G(0) = ψ(x) ❑ F(x) = ψ( x 2 ) − G(0), G(x) = ϕ( x 2 ) − F(0)➜✌ F(0) + G(0) = 1 2 [ϕ(0) + ψ(0)] = ϕ(0) = ψ(0)➜ 6
故t,=)+()-0 4.对非齐次波动方程的初值问题 -器=f>0-<z<+) 九u t=0:=(,=(),(-0<x<+∞) 证明：当f(红，)不变时 ()如果初始条件在x轴的区间1,2上发生变化，那么对应的解在区间1,2的影响区域以外不 发生变化： ②在工轴区同上所给的初始条件唯地确定区间，的决定区中解的数值 证()u红，)=(-a)+p(+a+2元 (a)da+ f(E,r)dEd 当初始条件发生变化时。仅仪写引起上表达式中前两项发生变化。即仅影响到相证齐次方程初值问愿的 解，而它的影响区域是1-at≤x≤2+at(化>0). (2)区间，的决定区域为t>0,x1+at≤x≤2-at,在其中任给(，t).则≤x-at< x+at≤r2.故区间口-at,x+a完全落在1，x中.因此1,2l上所给的初始条件雌一地确定了 区间，中解的数值 5.求解 4t-a2uz=0,x>0,t>0 4=0=p(),4lt=0=0 ur-kutlz=0=0 其中k为正常数 解方程的通解为u(红，)=F(x+ad)+G(x-ad).由初始条件 4=0=F()+G()=() -) l=0=F()-G(a=0 (cm-jvm-5 (x>0) a当z-ad>0时，Ge-a=e-ad-号 (③)当x-at<0时.由条件ux-kulr=0-F(at)+GC(at)-ak(F'(at)-G(-at)-0.解
✙ u(x, t) = ϕ( x + at 2 ) + ψ( x − at 2 ) − ϕ(0). 4. é➎à❣➴➘➄➜✛Ð❾➥❑ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), (t > 0, −∞ < x < +∞) t = 0 : u = ϕ(x), ∂u ∂t = ψ(x), (−∞ < x < +∞) ②➨➭✟ f(x, t) Ø❈➒➜ (1)❳❏Ð➞❫❻✸ x ➯✛➠♠ [x1, x2] þ✉✮❈③➜❅♦é❆✛✮✸➠♠ [x1, x2] ✛❑➃➠➁➧✠Ø ✉✮❈③➯ (2)✸ x ➯➠♠ [x1, x2] þ↕❽✛Ð➞❫❻➁➌✴✭➼➠♠ [x1, x2] ✛û➼➠➁➙✮✛ê❾. ② (1) u(x, t) = 1 2 [ϕ(x − at) + ϕ(x + at)] + 1 2a Z x+at x−at ψ(α)dα + 1 2a Z t 0 Z x+a(t−τ) x−a(t−τ) f(ξ, τ )dξdτ ✟Ð➞❫❻✉✮❈③➒➜❂❂Úåþ▲❼➟➙❝ü➅✉✮❈③➜❂❂❑➃✔❷❆à❣➄➜Ð❾➥❑✛ ✮➜✌➜✛❑➃➠➁➫ x1 − at ≤ x ≤ x2 + at (t > 0). (2) ➠♠ [x1, x2] ✛û➼➠➁➃ t > 0, x1 + at ≤ x ≤ x2 − at➜✸Ù➙❄❽ (x, t)➜❑ x1 ≤ x − at < x + at ≤ x2. ✙➠♠ [x − at, x + at] ✑✜á✸ [x1, x2] ➙. Ï❞ [x1, x2] þ↕❽✛Ð➞❫❻➁➌✴✭➼✡ ➠♠ [x1, x2] ➙✮✛ê❾. 5. ➛✮ utt − a 2uxx = 0, x > 0, t > 0 u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = 0 ux − kut|x=0 = 0 Ù➙ k ➃✔⑦ê. ✮ ➄➜✛Ï✮➃ u(x, t) = F(x + at) + G(x − at)➜❞Ð➞❫❻ u|t=0 = F(x) + G(x) = ϕ(x) ut|t=0 = F 0 (x) − G0 (x) = 0 ⇒ F(x) = 1 2 ϕ(x) + C 2 G(x) = 1 2 ϕ(x) − C 2 (x > 0) (1)Ï➃ x + at > 0➜↕➧ F(x + at) = 1 2 ϕ(x + at) + C 2 (2)✟ x − at > 0 ➒➜G(x − at) = 1 2 ϕ(x − at) − C 2 (3)✟ x − at < 0 ➒➜❞❫❻ ux − kut|x=0 = F 0 (at) + G0 (at) − ak(F 0 (at) − G0 (−at)) = 0➜✮ 7
出c国=-号即ce-:8能at-号原间则的解为 ilo(z+al)+p(r-al).t> u(，t) e+a+u-球t<后 6.求解初边值问则 4u-z=0,0<t<kx,k>1 t=0=po(e,x≥0 4=0=91(e,x≥0 =kr=() 其中po(0)=(0) 解方程的通解为 u(,t)=F(+)+G(r-t) 代入初始条微 4=0=F()+G(z)=9o(e,ul=0=F(o)-G(a)=P1(a) t=kx 图5 解出 aa-na-o-号 因为x+t>0.所以Fe+)-oe+)+号“po+号面z-t>0或z-t<0: 0。 0当r-t>0时.cu-=2nc-9n@)da-号
Ñ G(x) = 1 2 1 − ak 1 + akϕ(−x) − C 2 ➜❂ G(x − at) = 1 2 1 − ak 1 + akϕ(at − x) − C 2 . ✝➥❑✛✮➃ u(x, t) = 1 2 [ϕ(x + at) + ϕ(x − at)], t > x a 1 2 [ϕ(x + at) + 1 − ak 1 + akϕ(at − x)], t < x a 6. ➛✮Ð❃❾➥❑ utt − uxx = 0, 0 < t < kx, k > 1 u|t=0 = ϕ0(x), x ≥ 0 ut|t=0 = ϕ1(x), x ≥ 0 u|t=kx = ψ(x) Ù➙ ϕ0(0) = ψ(0). ✮ ➄➜✛Ï✮➃ u(x, t) = F(x + t) + G(x − t) ➇❭Ð➞❫❻ u|t=0 = F(x) + G(x) = ϕ0(x), ut|t=0 = F 0 (x) − G 0 (x) = ϕ1(x) t = kx t = x x t II t > x I t < x ã 5: ✮Ñ F(x) = 1 2 ϕ0(x) + 1 2 Z x x0 ϕ1(α)dα + C 2 G(x) = 1 2 ϕ0(x) − 1 2 Z x x0 ϕ1(α)dα − C 2 Ï➃ x + t > 0➜↕➧ F(x + t) = 1 2 ϕ0(x + t) + 1 2 Z x+t x0 ϕ1(α)dα + C 2 ➜✌ x − t > 0 ➼ x − t < 0: (1)✟ x − t > 0 ➒➜G(x − t) = 1 2 ϕ0(x − t) − 1 2 Z x−t x0 ϕ1(α)dα − C 2 ; 8
(②)当x-t<0时，此时由边界条件u==F(1+k))+G(1-))=()(1-)r<0) 所以C-)=-F1+.令y=1-江，得工=是所以 G0=()-F±) 2-n告-号/借noh-S 所以 a-=说-c-0-借一， 综上，原问题的解为 ne++e-+号oa 当t<时 u(x,t） 7.求解下述边值问题 u牡-=0,0<t<f(a ult-:=p() 4t=fa=(到 其中(O)=(O),t=f(x)为由原点出发的、介丁特征线x=t与x=-t之间的光滑曲线，且对 切x,f'(x)≠1. 解方程的通解为 u(红，t)=F(z+t)+G(x-t) 4=r=F2x)+G0)=(r)→F(e)=p()-G(0) ult=f()=F(x+f())+G(r-f())=() 令x-f红)=，设从中解出x=(),则 Gg=eg-Feg+fg》=e》-+fe)+co 所以原问题的解 红，)=(2丰5+ct-t切-e-)+fet-t》
(2)✟ x − t < 0 ➒➜❞➒❞❃✳❫❻ u|t=kx = F((1 + k)x) + G((1 − k)x) = ψ(x) ((1 − k)x < 0) ↕➧ G((1 − k)x) = ψ(x) − F((1 + k)x). ✲ y = (1 − k)x➜✚ x = y 1 − k ➜↕➧ G(y) =ψ( y 1 − k ) − F( 1 + k 1 − k y) =ψ( y 1 − k ) − 1 2 ϕ0( 1 + k 1 − k y) − 1 2 Z 1+k 1−k y x0 ϕ1(α)dα − C 2 ↕➧ G(x − t) = ψ( x − t 1 − k ) − 1 2 ϕ0( 1 + k 1 − k (x − t)) − 1 2 Z 1+k 1−k (x−t) x0 ϕ1(α)dα − C 2 ♥þ➜✝➥❑✛✮➃ u(x, t) = 1 2 [ϕ0(x + t) + ϕ0(x − t)] + 1 2 Z x+t x−t ϕ1(α)dα, ✟ t < x ➒ ψ( x − t 1 − k ) + 1 2 ϕ0(x + t) − ϕ0 1 + k 1 − k (x − t) + 1 2 Z x+t 1+k 1−k (x−t) ϕ1(α)dα, ✟ t > x ➒ 7. ➛✮❡ã❃❾➥❑ utt − uxx = 0, 0 < t < f(x) u|t=x = ϕ(x) u|t=f(x) = ψ(x) Ù➙ ϕ(0) = ψ(0), t = f(x) ➃❞✝✿Ñ✉✛✦✵✉❆✍❶ x = t ❺ x = −t ❷♠✛✶✇➢❶➜❹é➌ ❷ x➜f 0 (x) 6= 1. ✮ ➄➜✛Ï✮➃ u(x, t) = F(x + t) + G(x − t) u|t=x = F(2x) + G(0) = ϕ(x) ⇒ F(x) = ϕ( x 2 ) − G(0) u|t=f(x) = F(x + f(x)) + G(x − f(x)) = ψ(x) ✲ x − f(x) = y➜✗❧➙✮Ñ x = v(y)➜❑ G(y) = ψ(v(y)) − F(v(y) + f(v(y))) = ψ(v(y)) − ϕ( v(y) + f(v(y)) 2 ) + G(0) ↕➧✝➥❑✛✮ u(x, t) = ϕ( x + t 2 ) + ψ(v(x − t)) − ϕ( 1 2 (v(x − t) + f(v(x − t)))) 9