第十一章无穷级数 第七节一般周期函数的傅里叶级数 第七节俾里叶领数 一三角级数三角函数系及其正交性 1.三角皱数 定效1题学+宫c以+血网（中：乌提装） 称为三角级数. 2.三角函数系 定义2函数列1，cosx,sinx,cos2x,sin2xL,cosx,sinx,L 称为三角函数系。 注三角函数系在[一元，刀]上具有正交性，是指：川 （1)三角函数系中任何两个不同函数的乘积在[-开，)]上的职分均等于零，即 cosmdx=0,sindx=0 (=1.2.), cosmxsindx=0 (m=12.) cosmx cosmxdx=0sinmsinxdx=0 (m≠需mn=1,2）； （2)三角函数系中每个函数的平方在[-兀，刀]上的积分均大于零，即 [pdx-2n,cosmdx=,sindx= (=1,2). 二、函数的博理里叶级数与博里叶系数 定义3设∫(x)是周期为2π的周期函数，则以 a=[f(x)cosnxdx (n=0.12.): 点=，f()sinnxdx(n=1,2.)
1 第十一章 无穷级数 第七节 一般周期函数的傅里叶级数
并称其系数为寸(x)的博叶系数 注如果f(x)能展开成三角级数，那么由三角函数系的正交性可证明该三角级数戴是f(x) 的里叶级数 三、函数可以展开成博里o叶领数的条件(Diic业充分条件) 定理（收效定理）设∫(x)是周期为2π的周期函数，如果f(x)在[-π，刀]上满足： 1)连速或只有有限个第一间断点： 2最多只有有限个极值点， 则f(x)的里叶级数收敛，并且 当x为寸(x)连续点时，级数收敛于f(x): 当x为f()间断点时，级数收效于)x-0)+(x+0]。 注P当不=切时，领数收效于/（不+0）+/不-01. 2”等式f闭)=号+立(a,co9x+久in州网称为fd)的牌里领数屁开式 3当f(x)满足收敛定理的条件时，f(x)的停里叶级数的收敛城是(-0<x<+∞)， 面了)的展开式的成立范困是{/)=/x-0)+fx+0明， 通常它是f(x)的所有连续点的集合 4°设f(x)的博里叶级数的和函数为S(x),则 f(x) x为时(x的连续点 s()= /x-0)+Jx+1为rx的间断点 2
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例1设f(x)为周期2π的函数，它在〔一兀，刀上表达式为 J)-2x-x0 1x+10≤x≤π 则f(x)的停里叶级数在在x=0处收敛于 在一含8于 在x=处收于一：在X=处收于—： 2 解设s(x)为f(x)的傅里叶级数的和函数，则在点处f(x)的博里 叶皱数收敛于s(x)· 由收敛定理得：0)=0-0)+/0+0.1 孕=5=5+1 0=fm-0+r+0_+1+(-20）.1-x】 2 =经+20=孕=水-受=-. 2 2 四、将函数展开诚博里叶级数 1.格周期为2π的周期函数展开成博里叶领数的方法与步柔 〔1)求f(x)的间断点〔由f(x)的图弗确定)： (2)计算f(x)的傅里叶系数 ao=/()ds 4=Jf到c 8=12A
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4,=,f)mxd8=12A: （3)写出f()的傅里叶级数展开式，并确定其成立范围： 因受宫似m网 xe{/)=fx-0)+x+0明. 注当f(x)是奇函数时，其停里叶系数为 a=0(m=0,12,): A=20)mxdx（m=12A力 树/因金里恩为之出，之为国最 当f(x)是偶晒数时，其傅里叶系数为 比时()的得显叶极数为受+之马，60s,之为余密极数。 2设了(x)为周期2π的周期函数，它在（一π，川上表达式为 a-{9 将f(x)展开成傅里叶领数 解〔1)f(x)的间断点为x=r〔k=0,士1,2，.). aa因k=a=1:
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a-闭csa =coxx=0（m=12A方 6-J网血x =新snd=om =点-i5(a=2Ay 〔注Cos=(-1)2) （3)f(x)的傅里叶级数展开式为 因=受+宫低o瓜+地细网 D0-0 (-0<x<to0,x≠kr,keZ) 3设∫(x)为周期肥π的通数，它在〔-刀，刀上表达式为 m-80 将f(x)展开成傅里叶级数。 -2π2πX 解1)f(x)在(-00，o0)上连续，且f(x)为偶数
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