第5章微分方程模烈 工传染病模 5.2经济增长模型 53人口预测和控制 5.4万有引力定律的发现
第5章 微分方程模型 5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 人口预测和控制 5.4 万有引力定律的发现
5.1传染病模型 问题。·描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律, 用机理分析方法建立模型
5.1 传染病模型 问题 • 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1。已感染人数(病人)i( 假设·每个病人每天有效接触 (足以使人致病)数为x 建模(+△)-()=a0△t i ni di(t)=ie dt 1→)00→1→)00 则不能使病人数增加口 必须区分已感染者(病 人)和未感染者健康人)
已感染人数 (病人) i(t) • 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为 模型1 假设 i(t + t) − i(t) = i(t)t 若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人) 建模 0 i(0) i i dt di = = t → i → t i t i e 0 ( ) = ?
模型2区分已感染者(病人和未感染者(健康人) 假设—1)总人数M不变,病人和健康 人的比例分别为()s(t) SI模型 2)每个病人每天有效接触人数几~日 为λ,且使接触的健康人致病接触率 建模N[(+△)=(O=[s(O)NO△ i asi A(1一1) dt s(t)+i(t)=1 i(0)=i
si dt di = s(t) + i(t) =1 模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 假设 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t),s(t) 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病 建模 N[i(t + t) −i(t)] = [s(t)]Ni(t)t = = − 0 (0) (1 ) i i i i dt di ~ 日 接触率 SI 模型
模型2 di t A(1-)1est模一 li(o)=i (t) I+ 1/2 1 t=2 In f=tm,dit最大 m传染病高潮到来时刻→1→1? a(日接触率八→tn个人可以治愈
t e i i t − + − = 1 1 1 1 ( ) 0 = = − 0 (0) (1 ) i i i i dt di 模型2 1/2 tm i i0 1 0 t = − − 1 1 ln 0 1 i t m tm~传染病高潮到来时刻 (日接触率) → tm t → i →1 Logistic 模型 病人可以治愈！ ? t=tm, di/dt 最大