1.4坐标变换 式(1-27)还可以改写成 al R+lp (1-28) 式中,p为时间的微分算子,p=d,m为用电角度表示时转子的角速度,o d;z为整个电机的阻抗矩阵。再令F表示旋转电压系数矩阵,F=3,则 Z=R+W×JL w,=Rt Lp+ Fwr (1-29) 现将原来的电压u和电流i通过坐标变换,变为新的电压w和电流i'。 设变换矩阵为C,即 u= Cu i= Ci (1-30) 于是式(1-28)可改写成 aL Cu'=R+Lp+30 o. cy 把上式等号左、右前乘C,可得 d CRCi+CL(Ci) L t C (C RCi+(CLC) dt +c-l dc +(c FC)o. ERi+L dt +(Fa,+c'l dc d di =Ri+1d+(Fa.+K') (1-31) 式中,R'、L和F分别为在新坐标系中的电阻矩阵、电感矩阵和旋转电压系 数矩阵,它们分别等于原来的矩阵前乘C,后乘C,即 R′=C-RC,L′=C1LC,F′=C-lFC (1-32) K'则是由变换阵C是时变阵即O所引起的电压称为克利斯多夫电 压,此电压与坐标的旋转速度有关,亦称为“旋转代价”, dc (1-33) 下面分三种情况来讨论:①C为常数阵时。②C为时变阵,且与转子转角有关,即 C=C(0)时。③C为时变阵,但与0无关,面与坐标系的转角a4有关时。 情况1C为常数阵此时=O。这种情况相当于静止坐标系与静止坐 标系之间的变换。由于K=O,此时电压方程简化为 u=(R+Lp+Fwri=z'i
12 第1章绪论 式中 Z′=CZC (135 上式表示,对于这种情况,坐标变换前后阻抗矩阵的形式保持不变;在新坐标 系中,阻抗矩阵Z等于原先的阻抗矩阵前乘C1、后乘C。 情况2C为时变阵,C=C(a)。此时K= ct dccA6dz ac de vo,其中v=c"L。这种情况相当于静止坐标系与角速度为m的旋转 坐标系之间的变换。此时在新的坐标系中,电压方程为 W=LR+Lp+(F+V)wJi'=(R+Lp+Go,i'=z'i 式中G和Z分别为新坐标系中的旋转电感矩阵和阻抗矩阵,即 G′=F+y=c4F+C-LC (1-37) z=R+Lp+G如,=Cˉ'ZC+vo, 从式(1-36)可见: (1)由于C是时变阵,使原先的变压器电压中分离出一部分与坐标的角 速度有关的克利斯多夫电压vai,此电压与变换后的原先的旋转电压Fo′ 合并,成为新的旋转坐标系中总的旋转电压Ga,i。 (2)此时新、旧阻抗矩阵的形式不再保持不变,新的阻抗矩阵z中将出 现一项与克利斯多夫电压相对应的va,项。 情况3C是时变阵,C=C(a),但坐标系的旋转角速度o与转子的角 速度a,不同。此时克利斯多夫电压K成为 ki=c"il dci=c-ll ac ii'= von (1-39) 其中v=CL96.°此时电压方程成为 u =Ri+i' di' +(Fω2+Vωk)i (1-40) 不难看出,由于ak卡0,所以F和v无法合并,故新的阻抗矩阵z将为 Z=CZC + VUk (1-41) 2新、旧坐标系中功率的关系 下面进一步说明新、旧坐标系中功率的关系。 在原先的三相或两相坐标系中,交流电机定子端点的瞬时功率P等于定 子各相绕组端点的瞬时功率之和,即
15常用的坐标系和坐标变换 13 P=iu (1-42 式中i,和u,分别表示定子电流和电压的列矩阵。若定子的变换矩阵为C,且 C,是一个实数阵,则在坐标变换以后,i,=Ci,u,=C,a,故改用新坐标 系内的电流、电压列矩阵表示时,瞬时功率为 P=(C, is)(C,u=if(C,Cu (1-43) 如果 CCn=k或C;=kC; (1-44) 式中k为一常数阵(通常等于3或1);则在新的坐标系中,瞬时 功率为 P= iku (1-45 若k=I,则C=C,1,此时定子的变换矩阵C是一个正交矩阵,相应地P =iu,即在新坐标系中功率的形式将保持不变;这种变换通常就称为“功 率不变变换”。如果k 3|.则C;C;,此时在新坐标系中,定 3 子的瞬时功率P将等于新的非零序电压和电流的乘积乘以子,再加上3vnai 这种变换就称为“非功率不变变换”。 若新的坐标系是一个复数坐标系,则变换矩阵C将是一个复数阵。由于复功 率为i;un,其中t;为i的共轭复数,故对“功率不变变换”,C,应满足 C:=C 146) 即变换矩阵C应是西矩阵;若C,不是酉矩阵,则变换将是“非功率不变变 1.5常用的坐标系和坐标变换 1.常用的坐标系 常用的坐标系有静止坐标系,与转子一起旋转的旋转坐标系,以及在空
第1章绪论 间以任意转速旋转的旋转坐标系三种,现分述如下。 静止坐标系这种坐标系是指固定于定子本身的坐标系,例如ABC坐标 系,a0坐标系,120坐标系和空间向量坐标系。其中ABC坐标系是一个三 相坐标系,它是建立三相绕组磁链方程和电压方程的自然坐标系;a0坐标系 则是一个两相坐标系和一个孤立的零序系统的组合,它是两相绕组的自然坐 标系。这两种坐标系都是实数坐标系。把A、B、C三相绕组的轴线(或a、B 两相的轴线)组成一个复平面,并由三相绕组(或两相绕组)的电流、磁链 和电压在此平面内组成相应的空间向量,可得120坐标系或空间向量坐标系。 这两种坐标系都是复数坐标系。 角速度为a的旋转坐标系这是一种在空间旋转的坐标系,其转速与转 子转速相同,例如dq0坐标系,f0坐标系;前者是实坐标系,后者则是复 坐标系。对于转子为凸极的交流电机,用这种坐标系来表达时,可使定子的 磁链方程和电压方程大大简化。就定子而言,从静止的坐标系转换到这种坐 标系,要经过一个系数含有sin6、cos0(或e")的坐标变换。 角速度为任意值ak的旋转坐标系这亦是一种旋转的坐标系,其转速可 以是同步转速,也可以是其他特定的转速,例如动态过程中转子磁链空间向 量的转速等。这种坐标系在研究某些特定的交流电机动态问题时(例如振荡 问题,调速过程中的转矩控制问题等)很有用。 常用的坐标变换 在定、转子的自然坐标系中,交流电机的电感矩阵通常是一个含有时变 元寮的满阵。坐标变换的目的是,通过变换矩阵C,使在新的坐标系中电感 矩阵成为对角线阵,且各个元素均成为常数,使电压方程的求解得以简 化 以分析三相交流电机稳态不对称运行的相量对称分量法为例。设不对称 运行时定子的三相电流为i、j和l,若所研究的交流电机为电、磁两方面 均为对称的隐极电机(例如三相笼型感应电动机),则在转子边短路、转子旋 转时,定子端的输入阻抗矩阵Z将是一个循环对称矩阵, Z=|zm Z, Z (1-47) Zmi Zm2 Z 式中,Z为A、B、C三相的自阻抗;z1和Zn分别为B相对A相、C相对A 相的互阻抗,由子旋转的短路转子的影响,使Zn1Zm。从式(147)可见, 在原先的ABC三相坐标系中,阻抗矩阵是满阵。此时若电机端点的三相电压
15常用的坐标系和坐标变换 15 为不对称,就需求解三个复联立方程,才能求出定子的三相电流。 现引入相量对称分量变换,把不对称的讠、n、i变换成正序、负序和 零序三组对称分量,即 i+i+i iR=ai+ai+i 写成矩阵形式时有 i=ci或i=Ci 式中,C为对称分量变换的变换矩阵;C1为其逆阵; (1-51) 式中a和a2分别为120和240°的相量算子,a=/120°,a2=/240°。不难导 出,在新的对称分量坐标系中,阻抗矩阵z应为 z=C231a2a2an2.zu//11 1 a Z,Zm2m)「1 111(ZmI Z Z Z 式中Z+、Z和Z分别称为该机的正序、负序和零序阻抗, Z+=2,+a22 Z=Z+az + a'Z Zo=Z,+Zm tz 从式(1-52)可见,在新的对称分量坐标系中,阻抗矩阵已成为对角线 阵,即正序、负序和零序之间互相没有耦合,达到“解耦”的目的。于是 i,、和i。即可很快由下式确定 U Z z (1-54) 再通过式(1-48),即可得到i、iB和c 从式(1-53)可以看出;对于旋转电机,当转子旋转时,Zm+Zn2,故