第1章绪论 1.3常用的数学方法 在求解交流电机的动态和电磁瞬态问题时,有两种常用的数学方法。对 于转速为常值、电压方程为线性常系数微分方程的情况,可以用拉普拉斯变 换法来求瞬态问题的解析解。对于转速为未知变量的情况,由于电机的运动 方程为一组非线性和含有时变系数的微分方程组,通常先把运动方程改写成 状态方程的形式,然后用数值法和计算机求出其数值解。数值法中最常用的 是四阶龙格-库塔法。 1.拉普拉斯变换 拉普拉斯变换(简称拉氏变换)是一种积分变换,它可以把实时域内的 线性常系数微分方程变换成复域内的复代数方程;求解此复代数方程,得到 它在复域内的解答后,再通过拉氏逆变换,即可得到时域内的解答。此法的 优点是:①变换和求解过程中可以同时计及问题的初始条件。②利用有关定 理,可以很快确定解的初值和终值,对于仅需知道瞬态初值和稳态值的某些 问题,这是很方便的。③大多数解答可以从拉氏变换表直接查出,省去了许 多运算 拉氏变换的定义设f(t)为时间t≥0时有定义的函数,复变函数F(s)在 s平面的某一区域内收敛则用下列积分所确定的变换就称为f(t)的拉氏变 换,记为F(s),即 F(s)=[f(t)] f(te d 式中,5为复参变量,s=c+ja,c>a,o为收敛横坐标。反之,F(s)的逆变换 即为f(t), f(t)=t lF(s) F(s)cds(t≥0,c≥0)(1-2) 拉氏变换有一种变形,称为卡松变换,其定义为 (p)=f[f(t)]=p f(t)e"di 卡松变换亦称为拉氏变换的p乘形式。在查阅拉氏变换表时,要注意所查的是 哪一种变换表,以免出错。 基本性质拉氏变换有下列性质; (1)线性性质
1.3常用的数学方法 7 g[f1(t)+f2(t)1=F1(s)+F2(s) (14) (2)导数和积分 sF(s)-f(0) f(0)为t=0时f(t)的初值; $1f(r)dr F(s) (1-6) (3)卷积 y[;(5(-)dF()F) (4)初值定理 limf(t)=lims(s) (1-8) (5)终值定理 limf(t)=lims(s) (1.9) 2.状态方程及其解法 状态变量交流电机及其输入(电源电压、驱动转矩)、输出(负载)构 成了一个最简单的电机系统。状态变量是描述系统即时状态的最低数目的变 量。状态变量既包含着系统以往的充分信息,并能通过状态方程算出系统将 来的行为。由n个状态变量x1,x2,…,xn作为分量所构成的向量称为状态 向量,用x表示,即 x =x (1-10) 由外加的驱动函数(输入)v,v2,…,v。所构成的向量称为输入向量(或 控制向量),用v表示,即 2 (1-11) 它是外部对系统的作用。不难得知,状态向量与系统、初始条件和输入等三 个因素有关。 状态方程由状态变量x、输入函数v1和系统的参数所构成的用以描述 系统行为的n个一阶常微分方程组 x;=f(x1,x2,…,x3,v1,v2,…,Un,t)i=1,2 就称为系统的状态方程;式中为x对时间的一阶导数,正 dx、写成向 量形式时有 ∫(x,v,t)或=∫(x,t) 有了状态方程,根据某一初始时刻时的状态x(o),以及t0和以后的输入
8 第1章绪论 就可以确定t>t时系统的状态。 状态方程可以是线性,亦可以是非线性。若式(1-13)的右端项中仅包 含x的线性项,则方程是线性的;如果包含状态变量的乘积项,则方程为非 线性。 线性状态方程的解答线性状态方程中又有常系数线性状态方程和时变 系数线性状态方程两类。 常系数线性状态方程的标准形式是 x= Ax t Bo 式中A和B都是常数阵;A称为系统矩阵,B称为输入矩阵(或称控制矩 阵)。若给定t=o时状态向量的初值xl“=x(t),则上式的解答为 x(t)=e(ox(to)+et A(t-T Bu(t)dI (1-15) 不难看出此解答由两部分组成:第一部分是v=O(即零输人)时,由初值 x(to)所引起的齐次方程的解;第二部分则是初值x(ta)=O时,由外加的输入 向量(驱动函数)v所引起的方程的特解。 对于时变系数的线性状态方程,其标准型式是 上=A(t)x+B(t)v(t) (1-16) 式中A(t)和B(t)是含有时变元素的矩阵。若给定t=t0时状态向量的初值 r(t0),则上式的解答为 x(2)=@(x,4)x(t2)+o(t,r)B(r)(r)dr p(t, to) x(to)+ o(to, t)B(r)o(r)dr (1-17) 式中φ(t,0)为系统的状态转移矩阵,其导出奶下。考虑以e:为特殊初值的 齐次方程初值问题 I =A(t)x, xi (1-18) 式中e为n阶单位矩阵】的第列,=[00…1…00]r。若式 (1-18)的解答为φ(t,e,ta),则以φt,e1,t)作为第i列所构成的n阶方阵 即为状态转移矩阵φ(t,t0) Φ(t,t)=[(t,e1,t)中t,e2,t0)…t,en,t)】(1-19) 状态转移矩阵表示一个线性变换,使状态向量从初始状态的x(to)转移到 时间为t时的x(t)。对时变系数的线性状态方程,一般不能用解析法求出
1.3常用的数学方法 Φ(t,t0),仅当下列的矩阵乘积可交换时°,即 A(oll A(r)da A(r)dr ja(t) (1-20) 此时(t,t0)可求出为 1-21) 即使是这样,上式中含有矩阵积分的指数函数仍然是十分难算的。事实上, 对于时变系数的状态方程,有效的算法是仿照非线性方程的办法,用数值法 和计算机来计算。 对于A为常数阵的情况,可知 (t,t) 于是可得常系数线性状态方程的解,如式(1-15)所示。 非线性状态方程的解答对于非线性状态方程 氵=∫(x,t) (1-23) 只能用数值法来求解。电机工程中用得最多的是四阶龙格库塔法。四阶龙格 库塔法的计算格式是:设i为时间离散点t1的序号,i=0,1,2,…;时间 步长为h;若第i步(t=t)时状态向量的值已知为x;,则时间为t;:=t1+ h时,状态向量的值x1应为 x+1=x;十g(k1+2k2+2k3+k) 1-24) 式中,k1,k2、k和k,分别为t=t;、t;+0.5h和t;+h这三个时刻时状态向 量的增量,它等于时间步长h乘以相应时刻的导数;其中t=t2+0.5h时 考虑到状态变量的更新,计算了k2和k3两次增量;即 k,h·∫(x1,t k2=h·∫(x;+0.5k,t,+0.5h) (1-25) k3=h·∫(x;+0.5k2,t1+0.5h) kA=h·∫(x,+k3,t1+h) (k1+2k2+2k3+k,)则是增量的加权平均值。这样,一旦t=to时状态向 量的初值x给定,以此为起点,一步一步向前计算,即可得到整个动态过程 的状态向量值。 四阶龙格库塔法的优点是:①能够自起动,即计算x+,时只用到x,的 值;改变步长亦很谷易。②如果步长取得合适,可有较高的精度。其缺点是: e在下列三种情况下,可以满足式(1-20)的可交换性:(1)A(t)是对角线矩阵;(2)A是常数阵; (3)若A(t1)A(t2)=A(t2)A(1)e
10 第1章绪论 ①每步要计算四次导数值,比较费时。②步长取得稍大些,精度将很快下降, 甚至出现不稳定现象。 总之,由于状态方程和数值法及计算机的应用,使交流电机的动态问题 得以解出,从而使电机的动态分析大大向前推进了一步。由于时变系数的状 态方程亦可以用数值法求解,这就使得坐标变换成为不是不可或缺的。由于 状态方程的解法统一、程序标准化,加上高速和大内存的徽机迅速发展,使 实际计算变得愈来愈方便、省时。 1.4坐标变换 坐标变换,从数学的角度看,就是将方程式中的一组变量用另一组新的 变量去替换,使分析、计算得以简化。若新、旧变量之间为线性关系,则变 换为线性变换。作为典型的例子,当转子旋转时,由于定、转于的电感随转 角的变化而变化,所以交流电机的电感矩阵通常是一个含有时变元素的满阵 定、转子的电压方程则是一组含有时变系数的微分方程;对于这类方程,用 解析法直接求解十分困难。但是,在理想电机的假定和转速为恒定的情况下, 通过适当的坐标变换,可以把原先的电感矩阵变换为常数对角线阵,相应的 电压方程变成常系数微分方程,使解析求解得以实现。 坐标变换中,变换的量主要是电流、电压和阻抗,这些量在变换时将遵 循一定的规律,下面先说明此问题。 1.电流、电压和阻抗的变换规律 若在原先的自然坐标系(三相或两相坐标系)内,电机的电压方程为 d Ri+ dt (1-26 式中,a和i分别为整个电机的电压和电流列阵;R和L为整个电机的电阻 和电感矩阵。对于交流电机,若转子离某一固定的参考轴线(通常取为定子 A相绕组的轴线)的偏转角为e(电角),则电感矩阵L中的部分元素(自感 或互感)必定随着θ的变化而变化,即L=L(),所以上式也可写成 十 di aL de dt 86 (1-27) 上式右端第一项为电阻压降;第二项为电感压降或称变压器电压;第三项为 电感随θ的变化所引起的电压,其大小与力和转子旋转的电角速度。成正 比,故也称为旋转电压(或运动电压)。有无旋转电压,是旋转电机和静止电 路的主要差别之