加强条件下,由引理及二重积分中值定理,有 A(D;)=J(u, v)ldudv =J(ui, vi)lu(A; ) 其中(u,v)∈△1(i=1,2,…,n).令 5;=x(u,v),m2=y(ui,v), 则 (5;,T)∈D1(=1,2,…,n) 作二重积分/(x,y)dd的积分和 D d=∑∫(51,mh)(D) 前页)后页】
前页 后页 返回 ( ) | ( , ) |d d | ( , ) | ( ), i i i D J u v u v J u v i i = = 其中 ( , ) ( 1,2, , ). i i u v i n = i 令 ( , ), ( , ), i i i i i i = = x u v y u v 则 ( , ) ( 1,2, , ). i i i = D i n 作二重积分 ( , )d d D f x y x y 的积分和 1 ( , ) ( ) n i i i i f D = = 加强条件下,由引理及二重积分中值定理, 有
=∑f(x(u,v),y(m,w)J(m,w)(△) 这个和式是可积函数∫(x(L,ν),y(u,v)|J(u,v) 在Δ上的积分和又由变换T的连续性可知,当△ 的分割T:{△1,△2,…△n}的细度TA‖→>0时,D的 相应分割T:{D1,D2,…D}的细度‖TD‖也趋于零. 因此得到 f(x, y)dxdy=If(x(u, v),y(u, v)IJ(u, v)ldudv 前页)后页】
前页 后页 返回 1 ( ( , ), ( , )) | ( , ) | ( ). n i i i i i i i i f x u v y u v J u v = = 这个和式是可积函数 f x u v y u v J u v ( ( , ), ( , )) | ( , ) | 1 2 :{ , , } T n 的分割 的细度 || || 0 T → 时, D 的 1 2 :{ , , } T D D D D n || || 相应分割 的细度 TD 也趋于零. 因此得到 ( , )d d ( ( , ), ( , )) | ( , ) |d d . D f x y x y f x u v y u v J u v u v = 在 上的积分和. 又由变换T 的连续性可知, 当
例1求∫e"dxdy,其中 D是由x=0,y=0,x+y=1 所围的区域(图21-23 D 解为了简化被积函数,令 u=x-y,v=xt y 图 21-23 即作变换 T:x=(l+ν),y=-(v-l), 2 它的函数行列式为 前页)后页】
前页 后页 返回 例1 求 e d d , x y x y D x y − + 其中 D是由 x y x y = = + 0, 0, = 1 解 为了简化被积函数, 令 u x y v x y = − = + , . 所围的区域(图21-23). O x 图21 23 − 1 1 D y 即作变换 1 1 : ( ), ( ), 2 2 T x u v y v u = + = − 它的函数行列式为
J(u,yl-221 >0 2 22 在T的作用下,区域D的 原象Δ如图21-24所示 △ 所以 e]dxdy=llev.dudu 图21-24 前页)后页】
前页 后页 返回 1 1 2 2 1 ( , ) 0. 1 1 2 2 2 J u v = = − 在 T 的作用下, 区域 D 的 原象 如图21-24 所示. 所以 1 e d d e d d 2 x y u x y v D x y u v − + = O v u 图21 24 − 1 u v = − u v =