7.1中等式(3)表明，线性变换的乘法满足结合律：对于任意 p,o,∈L(W,都有 (Do)r=D(σT) 因此，我们可以合理的定义一个线性变换o的次幂 0"=00…0, 这里n是正整数. 令！表示V到V的单位映射，称为V的单位映射。我们再定义 0 这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。 设 f(x)=ao+a x+...+a 是上一个多项式，而g∈LW),以o代替x,以ao1代替a,得到v的 个线性变换 ao1+a10+…+ano", 这个线性变换叫做当x=o时的值，并且记作f(o)。因为对于5eV任 意，a。(5)=a。5,我们也可将简记作，这时可以写 f(o)=a+a,+…+ang" 如果f(x),g(x)eF[x],并且 )f(x)+g(). v)=f()g(x). 那么根据中运算所满足的性质，我们 u(o)=f(o)+g(o), v()=f()g() 布置作业：P326.补充题1.1).2)3.1.2).3). 第三节 线性变换和矩阵 教学目的： 1、 熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵A,以及n阶矩阵A和 基，求出关于这个基的矩阵为A的线性变 2 由向量a 于给定基的坐标」 求出c(@)关于这个基的坐标 3、 己知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于另一个基的 矩阵。 教学内容： 1、 线性变换的矩阵 现在设V是数域F上一个n维向量空间.令是V的一个线性变换.取定一个 基 1,2,n 考虑V中任意一个向量 E=x141+x3g2+…+xnan 6()仍是V的一个向量.设
7．1 中等式（3）表明，线性变换的乘法满足结合律；对于任意 ,,, L(V), ，都有 （ ) = ( ). 因此，我们可以合理的定义一个线性变换 的 n 次幂 n n = , 这里 n 是正整数. 令 表示 V 到 V 的单位映射，称为 V 的单位映射。我们再定义 0 =. 这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。 设 f( ) = 0 a 1 + a ++ an 是上一个多项式，而 L(V ) ，以 代替 ，以 0 a 代替 0 a ，得到 V 的一 个线性变换 0 a + a1 + + an n , 这个线性变换叫做当 = 时的值，并且记作 f( ) 。因为对于 V 任 意， 0 a 0 () = a ，我们也可将简记作，这时可以写 f( 0 () = a 1 + a ++ an n . 如果 f( ), g() F[] ，并且 () = f () + g(), () = f ()g(), 那么根据中运算所满足的性质，我们 u( )=f( )+g( ), v( )=f( )g( ). 布置作业:P326.补充题 1.1). 2) 3.1).2).3). 第三节 线 性 变 换 和 矩 阵 教学目的： 1、 熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵 A，以及 n 阶矩阵 A 和 基，求出关于这个基的矩阵 为 A 的线性变换。 2、 由向量关于给定基的坐标，求出()关于这个基的坐标。 3、 已知线性变换关于某个基的矩阵 ，熟练地求出关于另一个基的 矩阵。 教学内容： 1、 线性变换的矩阵 现在设 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间.令是 V 的一个线性变换.取定一个 基 1 , 2 ,, n . 考虑 V 中任意一个向量 = . 1 1 2 2 n n x + x ++ x ()仍是 V 的一个向量.设
c()=ya,+242+…+yn 自然要问，如何σ⑤)计算的坐标(y,2,…,y) G(a)=aua+azaz +...+ama. o(d2)=ana +aza++ama (2) can）=a.41+a2na2+…+aa, 这里a,i,jl,,n,就是oa,关于基a,…,an的坐标. 令 tttttttettttt ai…a n阶矩阵A叫做线性变换o关于基{a,a,…,n}的矩阵.矩阵A的第j列元 素就是这样，取定F上n维向量空间V的一个基之后，对于V的每一个线性变换， 有唯一确定的 F上n阶矩阵与它对应. 为了计算σ()关于基a,a2,…,an}的坐标，我们把等式(2)写成矩阵形式的 等式 (3) (c(a)oa2)…,oan》 =(aaa)A. 设 5=x1+x23+…+xm x1 =(a1,a2,…,an） x.) 因为σ是线性变换，所以 (4 σ5)=xo(a)+xo(a2)+…+xno(an) =aa,aa,以，ok》 x 将(3)代入(4)得 o)=(a,a,…,a)A
()= . 1 1 2 2 n n y + y ++ y 自然要问,如何()计算的坐标 ( ) n y , y , , y 1 2 . 令 ( ) , 1 = a111 + a21 2 ++ an1 n ( ) , 2 = a12 1+a22 2 ++ an2 n (2) …………………………………………… ( ) , an = a1n1 + a2n 2 ++ ann n 这里 ij ,i,j=1,…,n,就是 ( ) j 关于基 n , , 1 的坐标. 令 11 a 12 a … n a1 21 a 22 a … a2n A= …………………… n1 a an2 … ann n 阶矩阵 A 叫做线性变换 关于基 1 , 2 , , n 的矩阵.矩阵 A 的第 j 列元 素就是这样,取定 F 上 n 维向量空间 V 的一个基之后,对于 V 的每一个线性变换, 有唯一确定的 F 上 n 阶矩阵与它对应. 为了计算 ( ) 关于基 1 , 2 , , n 的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的 等式 (3) ( ( ) ( ) ( )) n , , , 1 2 = (1 , 2 , , n )A. 设 = n n x11 + x2 2 ++ x = ( ) n , , , 1 2 n x x x 2 1 因为 是线性变换,所以 (4) ( ) ( ) ( ) ( ) n n = x 1 + x2 2 ++ x = ( ( ) ( ) ( )) n n x x x 2 1 1 2 , , , 将(3)代入(4)得 ( ) = ( ) n , , , 1 2 A . 2 1 n x x x
最后等式表明，σ()关于(a,4,,a)的坐标所组成的列是 A xn 比较等式(1)，我们得到 定理7.3.1令V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个线性变换，而 关于V的一个基的矩阵是 aa2…an .A=a1a2…an （an a2…am 如果V中向量E关于这个基的坐标是(k,x,,x,,而σ)的坐标是 y,2,,y),那么 (5) (. x. 在空间V,内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量6,6，作为V的基.令σ是 将的每一向量旋转角0的一个旋转.。是，的一个线性变换.我们有 a(s)=s cos0+s2sin0, o(6)=-6,sn8+62cos0 所以σ关于基{8,8，}的矩阵是 cos0 -sin 0 sin 0 cos0 设5∈V2,它关于基6,6}的坐标(：，x2)是，而σ()的坐标是6，y2).那么 ）-m8】 例1令V是数域F上一个n维向量空间。。：5→k5是V的一个位似。那么 σ关于V的任意基的矩阵是
最后等式表明,( ) 关于 ( ) n , , , 1 2 的坐标所组成的列是 A n x x x 2 1 比较等式(1),我们得到 定理 7.3.1 令 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间,是 V 的一个线性变换,而 关于 V 的一个基的矩阵是 . = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 如果 V 中向量 关于这个基的坐标是 ( ) n x , x , , x 1 2 ,而 ( ) 的坐标是 ( ) n y , y , , y 1 2 ,那么 (5) = n n x x x A y y y 2 1 2 1 在空间 V2 内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量 1 2 , 作为 V2 的基.令 是 将 V2 的每一向量旋转角 的一个旋转. 是 V2 的一个线性变换.我们有 ( ) ( ) sin cos . cos sin , 2 1 2 1 1 2 = − + = + 所以 关于基 1 , 2 的矩阵 是 − sin cos cos sin 设 V2 ,它关于基 1 , 2 的坐标 ( ) 1 2 x , x 是,而 ( ) 的坐标是 ( ) 1 2 y , y .那么 = 2 1 y y − sin cos cos sin 2 1 x x 例1 令 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间。 : k 是 V 的一个位似。那么 关于 V 的任意基的矩阵是
0 多 (0 2、线性变换的性质： 引理7.3.2 设V是数域F上一个n维向量空间，a,a2,,an}是V的 一个基。那么对于V中任意n个向量B,B2,,Bn,恰有V的一个线性变换o, 使得 oa,)=B,i=1,2…n 证设 5=a%+x3+…+Xnan 是V中任意向量。我们如下地定义V到自身的一个映射σ： o(5)=x月+x2B2+…+xnBn 我们证明，σ是V的一个线性变换。设 刀=%+ya3+…+ynBn∈V 那么 5+n=(+%1+(2+乃2a +…+(n+yna 于是 o(店+)=(g+片)月+(x2+y2)B2+…+(。+yn)Bn =B+x2B+…+xg+yB++…+y,Bn)=o(5)+σ() 设a∈F,那么 o(a5）=o(a,a1+a2a2+…+aX,) =a,B+ax2B2+…+ax,B. =o(kB+x,B2+…+xnBn） =ao() 这就证明了σ是V的一个线性变换。线性变换σ显然满足定理所要求的条 件： o(a)=B,i=1,2.…,n 如果π是V的一个线性变换，且 ta,)=B,i=l,2,…,w 那么对于任意5=xa1+x,a2+…+x,an∈V, t传）=tta1+x,a2+…+xan) =xt(a)+x2r(a2)+...+xr(a.) =x月+x2B2+…+xnfn =σ(G) 从而x=0 定理7.3.3设V是数域F上一个n维向量空间，{a,a2,…,am}是V的 个基。对于V的每一线性变换o，令o关于基a,a,,an}的矩阵A与它对
例2 k k k 0 0 2、线性变换的性质： 引理 7.3.2 设 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间， 1 , 2 , , n 是 V 的 一个基。那么对于 V 中任意 n 个向量 n , , , 1 2 ，恰有 V 的一个线性变换 ， 使得 ( ) ,i 1,2, ,n. i = i = 证 设 n n = x11 + x2 2 ++ x 是 V 中任意向量。我们如下地定义 V 到自身的一个映射 ： ( ) n n = x11 + x2 2 ++x 我们证明， 是 V 的一个线性变换。设 = y11 + y2 2 ++ yn n V 那么 ( ) ( ) ( ) n n n x y x y x y + + + + = + + + 1 1 1 2 2 2 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () = + + + + + + + = + + = + + + + + + n n n n n n x x x y y y x y x y x y n 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 设 aF ，那么 ( ) ( ) ( ) ( ) a x x x ax ax ax a ax ax ax n n n n n n = = + + + = + + + = + + + 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 这就证明了 是 V 的一个线性变换。线性变换 显然满足定理所要求的条 件： (i ) = i ,i =1,2, ,n 如果 是 V 的一个线性变换，且 (i ) = i ,i =1,2, ,n 那么对于任意 n n = x11 + x2 2 ++ x V ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + + + = + + + = + + + n n n n n n x x x x x x x x x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 从而 =. 定理 7.3.3 设 V 是数域 F 上一个 n 维向量空间， 1 , 2 , , n 是 V 的 一个基。对于 V 的每一线性变换 ，令 关于基 1 , 2 , , n 的矩阵 A 与它对