第一版前言 本书在每一章后精心设计了“小结”，可帮助读者更清楚明了地把 握学习要点，更深刻地理解该章的主要学习内容.大部分章节还给出了 思考题，帮助读者对所学内容进行检验，启发并训练读者的独立思考能 力与分析能力，全书习题是经过教学实践中不断积累更新而成，其内容 涵盖了全书主要讲授内容的基本概念、基本理论和基本方法.既有~般 的基础习题，也有难度较大的提高题、书末除对计算题给出答案外，还 对有些必要的摊题给出了提示，其目的在于帮助读者尽快掌握本书所 讲授的内容 本书适当地介绍了本学科与其它学科之间的联系，给出了一些实 际应用问题以帮助读者加深对课程的理解，培养解决实际问题的能力， 从而达到学为所用的最终目的 目录中打“”号的章节、可根据各专业的不同需要选用.在本书的 完成过程中，自始至终得到了本校数学系领导和同仁]的大力支持，没 有他们的热情鼓励和帮助，本书不可能如期顺利出版，在此向他们表示 衷心的感谢！ 本书共分九章，外加两个附录，其中第一、二、三、四，五及第七章出 李红副教授执笔；第六、八、儿章及附录由谢松法副教授执笔，胡适耕教 授审阅、修改，并作了详尽的具体指导， 编者
目 录 第二版前言………… (1) 第一版前言…… (3) 第一章复数与复变函数……………… ………… (1) 81.1复数 (1) 81.2复数的.二角表示 (5) 1.3平面点集的·…般概念………… …(15) §1.4无穷大与复球面……………… ……………(19) 1.5复变函数…………………… ….………(22) 本章小结 (27) 思考题………… (28) 习题-·…… (28) 第二章解析函数 (31) 82.1解析函数的概念 (31) $2.2解析函数和调和函数的关系………(37) 2.3初等函数… (41) 本章小结 (51) 思考题……… (52) 习题二 (52) 第三章复变函数的积分 (55) 3.1复积分的概念…………… (55) 3.2柯西积分定理……………… ·… (60) 3.3柯西积分公式………………… (67) 3.4解析函数的高阶导数 (72) 本章小结 (76) 思考题 (77)
2 目 录 习题三 …………(77) 第四章解析函数的级数表示 ……………(79) S4.1复数项级数…… + (79) 4.2复变函数项级数………………(82) S4.3泰勒级数……………… (88) 4.4洛朗级数……………………………………… (94) 本章小结 (99) 思考题……………… (100) 习题四…… (100) 第五章留数及其应用………………………(102) 5.1孤立奇点 (102) §5.2留数 (111) 85.3留数在定积分计算中的应用 (120) “85.4对数留数与辐角原理 ……………………(126) 本章小结… (132) 思考题……… (132) 习题五……… …(133) 第六章共形映射… .……………(135) 6.1共形映射的概念 …………(135) $6.2共形映射的基本问题 …………………(139) 6.3分式线性映射 … …………………(142) §6.4几个初等函数构成的共形映射 …………………(155) 本章小结……… (164) 习题六……… (165) ·第七章解析函数在平面场的应用 ……………(167) §7.1复势的概念 (167) 87.2复势的应用 (173) §7.3用共形映射的方法研究平面场 (178) 本章小结………… (181) 思考题……… (182)
目录 3 习题七… (182) 第八章傅里叶变换………………… (183) 8.1傅里叶变换的概念 (183) $8.2单位脉冲函数(6函数)…………………………(192) §8.3傅里叶变换的性质 …………………………(197) 本章小结… (209) 习题八…… (210) 第九章拉普拉斯变换…………… …………(213) §9.1拉普拉斯变换的概念 ………………(213) 9.2拉氏变换的性质………… ……………(217) 89.3拉普拉斯逆变换 ……… (227) §9.4拉氏变换的应用及综合举例 …… (230) 本章小结…………… …………… (234) 习题九…… (235) 附录1傅氏变换简表…… (238) 附录2拉氏变换简表 (241) 习题答案· (246)
第一章复数与复变函数 复变函数论中所研究的函数的出变量与因变量均取复数.因此，首 先对于复数域以及复变量的函数要有清晰的认识.本章论述复数的基 本概念、复数的四则运算、复数的三角表示、平面点集的一般概念及其 复数表示，以及复变量连续函数.复数的概念、四则运算以及三角表示 在现行中学数学课本中已经涉攻，们可能有的读者未曾学到，因此这里 仍从头开始，由于复数全体可以同平面上的点的全体作成一一对成，所 以平面点集以后经常要用到.这甩仅介绍平面点集的··般概念，学习将 某些简单的平面点集用含复变数的等式或不等式来表示的方法，关于 复变函数，本章主要讨论连续函数的性质.许多定义与结果形式【：看与 高等数学中所学的颇为相似，但意义已不尽机同.希望读者在开始学习 时就特别留意， $1.1复数 §1.1.1复数的基本概念 我们将形如x=x十y的数称为复数.其中i称为虚数单位，并规 定2=i·i=一1.或i=√二1；x与y是任意实数，依次称为x的实部 (Rcal)与虚部(Imaginary),分别表小为 Rez=x,Im之=y, 例如，对复数x=2十i,有 Re=v2,Im-1. 当y=0时，之=x+iy=x十i0,我」就认为它是实数x;当3二0 时，=x十iy=0+iy,我们称它为纯虚数，并且就写作iy.例如2+i0就 是实数2；0+3i是纯虚数，可以马战3i;而0+0i即可看作实数0，也可