2.2.2周期信号的离散傅里叶级数 ■周期信号不存在傅里叶变换 f0=∑F,ea ■设()为以N为周期的周期序列，则可展成傅里 叶级数（DFS) x(n)=】 ae N 0=2T= T-27 k=0 NT ■为什么是有限项之和？ ■如何求a? 18
222 . . 周期信号的离散傅里叶级数 周期信号的离散傅里叶级数 0 ( ) jn t f F 周期信号不存在傅里叶变换 设 x n ( ) 为以N为周期的周期序列 则可展成傅里 0 ( ) jn t n n f t F e 设 为以N为周期的周期序列，则可展成傅里 叶级数（DFS） x n( ) 1 2 0 ( ) , j kn N N k k xn ae 0 0 2 2 T T NT N 为什么是有限项之和？ k0 NT N 为什么是有限项之和 如何求 ？k a 18
2.2.2周期信号的离散傅里叶级数 W-1W- 2km-j2z N-1 N-1j 名ee ak》 n=0 1-ej2r(k-m) N k=m I-eyu-m 1-e-m0 k≠m m_a,Nk=m 1=0 0k≠m 1 k三 (n)e 1=0 19
2.2.2周期信号的离散傅里叶级数 1 11 2 22 ( ) N NN j mn j kn j mn N NN k xne ae e 0 00 ( ) k n nk xne ae e N N 1 1 2 2 j kn j mn 1 1 2 ( ) N N j k mn 0 0 j kn j mn N N k n k ae e ( ) 0 0 j N k k n a e 2 ( ) 1 2 2( ) ( ) 2 2 () () 0 1 1 0 1 1 j k mN N N j km j k mn N j km j km n N N e e Nkm e k m e e 1 1 e e 1 2 ( ) 0 N j mn N k aN k m xne k 1 2 1 ( ) N j kn N n0 0 k m 19 0 ( ) N k n a xne N
仅有N个 W-1 2元k1 (n)e 旋转频率 1三0 ■k、n均取整数； 是周期函数，周期为N ■ak为周期序列 ak=ak+IN ■令 W-1 X(k)=Na:=(n)e ”-0<k<0 ■离散傅里叶级数对(DFS) N- xk)=DFS[(n]=∑(n)e -0<k<0 n=0 1- (n)=IDFS[r(k】=∑X(k)e 2元1 -0<n<0 k=0 20
1 2 1 ( ) N j kn N 仅有N个 旋转频率 k 均取整数 是周期函数 周期为N 0 ( ) N k n a xne N 2j k 旋转频率 k、n均取整数； 是周期函数，周期为N 为周期序列 j kn N e k a k k lN a a 为周期序列 令 k k k lN a a 1 2 () () N j kn N Xk N k 离散傅里叶级数对（DFS） 0 () () N k n Xk Na xne k 离散傅里叶级数对（DFS） ： 1 2 ( ) [ ( )] ( ) N j kn N X k DFS k 0 1 2 ( ) [ ( )] ( ) 1 N n N j kn X k DFS xn xne k 20 0 1 ( ) [ ( )] ( ) j N k x n IDFS X k X k e n N
2.2.2周期信号的离散傅里叶级数 ■x(n)和X(k)均是以N为周期的周期序列 R=DFS(m-∑e号 -0<k<0 物理意义： 0=nan=艺户 -0<n<g 周期序列可分解为N次谐波，第k次谐波的频率 是0k= 2刀k,k=0,12,N-1,谐波的幅度 是，相位是arg[X(k】。其中，k=0表 示直流分量，共幅度为0=艺· 21
222 . 2 . 2周期信号的离散傅里叶级数 周期信号的离散傅里叶级数 和 均是以 N为周期的周期序列 物理意义 ( ) ~x n ( ) ~ X k 1 2 ( ) [ ( )] ( ) N j kn N X k DFS x n x n e k 物理意义： 周期序列可分解为 N次谐波 第 k 次谐波的频率 0 1 2 0 1 ( ) [ ( )] ( ) n N j kn N k x n IDFS X k X k e n N 周期序列可分解为 N次谐波 ， 第 次谐波的频率 是 ， ，谐波的幅度 k 2 k k 是 ， k N 0,1, 2,. 1 ，谐波的幅度 是 ，相位是 。其中， 表 k k N , , 1 X k( ) N ar g[ ( )] X k k 0 示直流分量，其幅度为 。 N 1 1 (0) ( ) N X xn N 21 N n 0
例2.2.2设x(n)=R(n),将x(n)以N=8为周期进行周期延拓， 得到周期序列(n),试求(n)的离散傅里叶级数的系 数(k) 解： e 1-e 1-e-ink e 1-e 1-e e(e-e 序列 π =e 8 2 sin 0.5 8 10 22
例2.2.2 设 xn R n () () 4 ，将 x( ) n 以N 8= 为周期进行周期延拓 为周期进行周期延拓， 得到周期序列 ，试求 的离散傅里叶级数的系 数 4 xn R n () () ( ) x ( ) n X k( ) x ( ) n 数 X k( ) 解： 7 33 2 2 8 8 4 () () j kn j kn j kn X k xne e e 解： 8 8 4 0 00 () () n nn X k xne e e 4j k jk jk jk 4 22 2 4 4 88 8 11 ( ) 1 1 ( ) j k jk jk jk j k j k jk jk jk jk e e ee e e e ee e i k 4 4 88 8 1 1 e e ee e ( ) 3 8 sin 2 sin j k k e k 22 sin 8 k