由此解线性方程组Ax=b就等价于解两 个三角方程: L(x)=b→ 因此,关键问题在于能否对矩阵A直接进 行LU分解
行 分解。 因此，关键问题在于能否对矩阵 直接进 个三角方程： 由此解线性方程组 就等价于解两 LU A U x y Ly b L U A x b x b = = = = ( )
3.2.2 Doolittle分解 此分解在于如何算出L,U的各元素,以n=3为例 13 13 2 2 k=时:a1=L1∴1=a1(j=12,3) 由a21=l421得21 由a1=u41得l1=红
3.2.2 Doolittle分解 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 1 ( 1,2,3) 1 1 1 , 3 u a a u l l u a a u l l k a u u a j u u u u u u l l l a a a a a a a a a L U n j j j j = = = = = = = = = = 由 得 由 得 ； 时： 此分解在于如何算出 的各元素，以 为例
k=2时:a2=l24L2+2得 2 21012 23 +23 得 23 23 田a 32-131112 32 l,u tl 32023 得 32 22 k=3时:由a3=l21l13+ 3223+l2 33 得
( ) 3 2 3 3 3 3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 3 1 1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 3 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 u a l u l u k a l u l u u u a l u a l u l u l a l u u u a l u k a l u u u a l u = − + = = + + − = + = = + = − = = + = − 得 时：由 由 得 由 得 ； 时： 得 ；
Doolittle分解 ■若矩阵A有分解:A=LU,其中为单位下 三角阵,U为上三角阵,则称该分解为 Doolittle分解,可以证明,当A的各阶顺 序主子式均不为零时, Doolittle分解可以 实现并且唯
Doolittle分解 ◼ 若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下 三角阵，U为上三角阵，则称该分解为 Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺 序主子式均不为零时，Doolittle分解可以 实现并且唯一
■A的各阶顺序主子式均不为零,即 Ik A ≠0(k=1,2,n) k1 k
◼ A的各阶顺序主子式均不为零，即 0 ( 1,2,... ) ... ... ... ... ... 1 1 1 1 k n a a a a A k kk k k = =