《经济数学基础》课程教学资源：第十章 随机变量与数字特征——典型例题与综合练习

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 例1已知随机变量X的概率分布为 (1)求随机变量X的分布函数,并计算概率P(-1≤K<1) (2)求随机变量函数Y=5X-3的概率分布 解:X是一维随机变量,它的可能取值是一1 (1)F(x)=P(X≤x) 当x<-1时,事件{Kx}=⑦,F(x)=0 当-1≤x<1时,事件{Ksx}={X<-1}+{X=-1}+{-1<Kx<1} F(x)=P(K<x)=P(K=-1)= 当x1时,F(x)=P(Xx)=P(X=-1)+P(X=1)=33=1 所以,随机变量X的分布函数为 x<-1 F(x) 1≤x<1 ≥2 P(-1≤X<1)=P(X=-1)+P-1<x1)=3 (2)Y的概率分布为

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——354—— 例 1 已知随机变量 X 的概率分布为 X －1 1 p 3 1 3 2 (1)求随机变量 X 的分布函数，并计算概率 P(－1X<1)； (2)求随机变量函数 Y＝5X－3 的概率分布． 解：X 是一维随机变量，它的可能取值是－1，1． (1)F(x)=P(Xx) 当 x<－1 时，事件{Xx}=，F(x)=0． 当－1x<1 时，事件{Xx}={X<－1}+{X＝－1}＋{－1<Xx<1} F(x)=P(Xx)=P(X=－1)＝ 3 1 当 x1 时，F(x)=P(Xx)=P(X=－1)+P(X=1)= 3 2 3 1 + =1 所以，随机变量 X 的分布函数为         −    − = 1 2 1 1 3 1 0 1 ( ) x x x F x P(－1X<1)=P(X=－1)＋P(－1<X<1)= 3 1 (2)Y 的概率分布为 X －1 1 Y＝5X－3 －8 2 P 3 1 3 2

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 求离散型随机变量的分布函数,即计算事件{一∝<Kx}概率.由于离散型随机 变量的取值是一些孤立点,所以要特别注意分析事件{-∞<X≤x}何时包括随机变量 取值点 求随机变量函数的分布,若P(X=x)=pk,那么Y=g(X,就有 P(Y-ykFP(G(g(xk)Pk 由题目给出概率分布可知,随机变量X只取值-1,1.这是随机变量的分布函 数的定义式 当x<-1时,事件{Kx}={Kx-1},所以随机变量X既取不到-1,也取不 到1,故{Xx=②,所以F(x)=0. 当-1≤x<1时,事件{Kx}={X-1}+{X=-1}+{-1<Kx<1}=+{=-1} ={X=-1} Fx)=P(Xxx)=P(X=-1)=3 当x1时,{Xx}={X-1}+{X=-1}+{-1<X<1}+{X=1}+{1<Kx}=+{X= -1}++{X=1}+O={X=-1}+{X=1} 12 Fx)=P(Xx)=P(X=-1)+P(X=1)=33=1 由分布函数F(x),求事件{a<Kb}的概率公式为P({a<Yb}=P(Kb)-P(Ka) 事件{-1≤X1}={X=-1}+(-1<K1)-{X=1} P(-1≤K1)=P(X=-1)+P(-1<K1) 严格按公式写出为P(-1≤X<1)=P(X=-1)+P(-1<K1)=P(X=1)=3 5

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——355—— 求离散型随机变量的分布函数，即计算事件{－<Xx}概率．由于离散型随机 变量的取值是一些孤立点，所以要特别注意分析事件{－<Xx}何时包括随机变量 取值点． 求随机变量函数的分布，若 P(X=xk)=pk ，那么 Y ＝ g(X), 就 有 P(Y=yk)=P(G(X)=g(xk))=pk． 由题目给出概率分布可知，随机变量 X 只取值－1，1.这是随机变量的分布函 数的定义式. 当 x<－1 时，事件{Xx}={Xx<－1}，所以随机变量 X 既取不到－1，也取不 到 1，故{Xx}=，所以 F(x)=0． 当－1x<1 时，事件{Xx}={X<－1}+{X＝－1}＋{－1<Xx<1}＝＋{X=－1} ＋＝{X＝－1} F(x)=P(Xx)=P(X=－1)＝ 3 1 当 x1 时，{Xx}={X<－1}+{X＝－1}＋{－1<X<1}+{X=1}+{1<Xx}＝＋{X= －1}＋+{X=1}+＝{X＝－1}+{X=1} F(x)=P(Xx)=P(X=－1)+P(X=1)= 3 2 3 1 + =1． 由分布函数 F(x)，求事件{a<Xb}的概率公式为 P({a<Xb}=P(Xb)－P(Xa) 事件{－1X<1}={X=－1}＋(－1<X1)－{X＝1} P(－1X<1)=P(X=－1)＋P(－1<X<1)= 3 1 严格按公式写出为 P(－1X<1)=P(X=－1)＋P(－1<X1)－P(X＝1)= 3 1

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 X=-1,1的概率分别为33,因为X与Y有关系式Y=5X-3 显然,X=-1,1,则Y=5×(-1)-3=-8,和5×1-3=2, 因此,发生的可能性就是33 例2(连续型随机变量的分布函数)设随机变量X的分布密度函数为 <x< 2 f(x) 0 其它 (1)求随机变量X的分布函数;(2)计算概率P(1.5<K<2.5) 解:(1)由分布函数的定义,F(x)=P(X≤x) 当x<0时,密度函数f(x)=0,所以F(x)=0. 当0x<2时,密度函数fx)=2,于是 F(x)=P(K≤x) f(x)x=⊥ox+(-2=x-4 当x2时,F(x)=PC1x=11(x)dr 0dx+(1--D)dr+.0x 所以,随机变量X的分布函数为 0 x 0≤x<2 4 2 (2)P(1.5<K<2.5)=F(2.5)-F(1.5)=1-(1.5 )=0.0625 -356

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——356—— X=－1,1 的概率分别为 3 2 , 3 1 ，因为 X 与 Y 有关系式 Y＝5X－3, 显然，X＝－1，1，则 Y＝5×(－1)―3=－8，和 5×1－3＝2， 因此，发生的可能性就是 3 2 , 3 1 . 例 2 (连续型随机变量的分布函数) 设随机变量 X 的分布密度函数为      −   = 0 其它 0 2 2 1 1 ( ) x x f x (1)求随机变量 X 的分布函数；(2)计算概率 P(1.5<X<2.5)． 解：(1)由分布函数的定义，F(x)=P(Xx) 当 x<0 时，密度函数 f(x)=0，所以 F(x)=0． 当 0x<2 时，密度函数 f(x)= x 2 1 1− ，于是 F(x)=P(Xx)= 4 )d 2 1 ( )d 0d (1 2 0 0 x f x x x t t x x x = + − = − − −  当 x2 时，F(x)=P(Xx)= )d 0d 1 2 1 ( )d 0d (1 2 2 0 0 = + − + = − −   f x x x t t x x x 所以，随机变量 X 的分布函数为         −    = 1 2 0 2 4 0 0 ( ) 2 x x x x x F x (2) P(1.5<X<2.5)=F(2.5)－F(1.5)=1－(1.5－ 4 1.5 2 )=0.0625

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 求连续型随机变量的分布函数,即计算事件{一∝<Kx}概率.由于连续型随机 变量在任何一点处的概率为0,所以对事件{Kx还是{X<x}可以不必太介意.但要 注意密度还是在哪个区间上取值非0,便于计算定积分 若分布还是为F(x),则有P(∝Kb=P(a<K≤b)=P(a≤K<b)=F(b)-F(a) 当x<0时,密度函数fx)=0,事件{Xx}={Xx<0},所以随机变量X的分布函 数F()PCx)PKr①0=(x)=⊥u=0 x 当0≤x<2时,密度函数(x)=1-2,事件{X≤x}={X<0}+{(0≤Xx<2}, f(x)dr= Odx+L(1-t)dt=x 所以F(x)=P(Xx)= 当x2时,密度函数(x)=0(x∈(-∞,0);fx)=1-2(x∈(0,2) f(x)=0(x∈(2,x) 于 f(x)dx=[odx+l( I ndt+L odx F(xFP(Xsf 由分布函数F(x),求事件{a<Kb}的概率公式为P({a<Kb}=P(Kb)-P(Ka),故 P(15<X<2.5)=F(25)-F(1.5)=1-(1.5-4) 例3(函数的分布)已知随机变量X~N(0,1),证明Y=ax+4~N(山,a3),其 中 证明:因为(x)=√2r(-∞x+∞) 显然y=ax+(0>0)的是严格单调增加函数,其反函数是x=0,且x'=0>0

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——357—— 求连续型随机变量的分布函数，即计算事件{－<Xx}概率．由于连续型随机 变量在任何一点处的概率为 0，所以对事件{Xx}还是{X<x}可以不必太介意．但要 注意密度还是在哪个区间上取值非 0，便于计算定积分． 若分布还是为 F(x)，则有 P(aXb)=P(a<Xb)=P(aX<b)=F(b)－F(a). 当 x<0 时，密度函数 f(x)=0，事件{Xx}={Xx<0}，所以随机变量 X 的分布函 数 F(x)=P(Xx)=P(Xx<0)= ( )d = 0d = 0 − − x x f x x x . 当 0x<2 时，密度函数 f(x)=1－ x 2 1 ，事件{Xx}={X<0}+{0Xx<2}， 所以 F(x)=P(Xx)＝ 4 )d 2 1 ( )d 0d (1 2 0 0 x f x x x t t x x x = + − = − − −  . 当 x2 时，密度函数 f(x)=0 (x(－，0))；f(x)=1－ 2 x (x(0,2))； f(x)=0(x(2,x)) ， 于 是 F(x)=P(Xx)= )d 0d 1 2 1 ( )d 0d (1 2 2 0 0 = + − + = − −   f x x x t t x x x ． 由分布函数 F(x)，求事件{a<Xb}的概率公式为 P({a<Xb}=P(Xb)－P(Xa)，故 P(1.5<X<2.5)=F(2.5)－F(1.5)=1－(1.5－ 4 1.5 2 ) . 例 3 (函数的分布) 已知随机变量 X～N(0，1)，证明 Y＝X＋～N(， 2 )，其 中>0． 证明：因为 fX(x)= 2 2 e 2 1 x −  (－<x<+) 显然 y＝x＋(>0)的是严格单调增加函数，其反函数是 x=  y −  ，且 x= 1 >0