经济数学基础 第11章参数估计 第11章参数估计典型例题与综合练习 、典型例题 1.抽样分析 例1已知总体X~N(80.400),样本容量n=100,求样本均值与总体均值之差 的绝对值大于3的概率. 根据抽样分布的定理32可知,若设x“,x是来自正态总体N(O)的一组 ∑x~N(, 样本,则样本均值= 解:因为总体X~N(80400),样本容量n=100,则样本均值 F=∑x1~N(80,4) 故所求概率为PF-80>3= >2P80 >}+P 1-Φ()+Φ( 1-Φ(二) 2(2)=2(1-0.9332)=0.1336 由于H=80.02=400n=1+~N(80400 100即x~N(804) x-80 由于x~N80.4),所以2~N01 2.点估计 404
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——404—— 第 11章 参数估计典型例题与综合练习 一、典型例题 1.抽样分析 例 1 已知总体 X ~ N(80,400) ，样本容量 n =100 ，求样本均值与总体均值之差 的绝对值大于 3 的概率. 根据抽样分布的定理 3.2 可知，若设 n x , , x 1 是来自正态总体 ( , ) 2 N 的一组 样本，则样本均值 = = n i i n x N n x 1 2 ~ ( , ) 1 解：因为总体 X ~ N(80,400) ，样本容量 n =100 ，则样本均值 = = n i xi N n x 1 ~ (80,4) 1 故所求概率为 P{x −80 3} = } 2 3 2 80 { x − P + − } 2 3 2 80 { x P } 2 3 2 80 { − x − P ＝ − ) + 2 3 1 ( ) 2 3 (− ＝2（ ) 2 3 1− ( ）＝2（1－0.9332）＝0.1336 由于 80, 400 2 = = ，n =100 ,故 ), 100 400 x ~ N(80, 即 x ~ N(80,4) . 由于 x ~ N(80,4) ，所以 ~ (0,1) 2 80 N x − 2.点估计
经济数学基础 第11章参数估计 例1设正态总体N(0)中未知,a2已知,又设x,x2,…,xn是来自正态总 体的一个样本,问下列样本函数中哪个是统计量?在统计量中,哪些是μ的无偏估 计?哪个是最佳无偏估计? (1)2+1+2x,-1x,x2+p,(3)x:(4)0:(5)mm{x,x,x} (2)3 统计量是样本函数,其中不应含有未知参数,判定样本函数是否为统计量主要 依据就是这条原则统计量O是否为O的无偏估计,就要看O是否满足E(O)=0,所有 无偏估计中方差最小者是最佳无偏估计量 解:①根据统计量的概念可知,(1)、(3)、(4)、(5)都是统计量 (由于(1)、(3)、(4)、(5)中都不含有未知参数,故他们都是统计量) ②求无偏估计量 XI x3)=B(x1)+B(x2)-B(x3)4 (计算统计量O的期望,看O是否满足E(O)=0. E2(x2+=⊥E(x2)+H=以+=3 E(x3)= Eo X o2)2020+)(2+) Emmx1x2x}≤(每次试验均取最小值) 从上述计算可知(1)、(3)是无偏估计. ③求最佳无偏估计量 405
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——405—— 例 1 设正态总体 ( , ) 2 N 中 未知， 2 已知，又设 n x , x , , x 1 2 是来自正态总 体的一个样本，问下列样本函数中哪个是统计量？在统计量中，哪些是 的无偏估 计？哪个是最佳无偏估计？ （1） 1 2 3 6 1 3 2 2 1 x + x − x ；（2） ( ) 3 1 x2 + ；（3） 3 x ；（4） = 3 1 2 2 i i x ；（5） min{ , , } 1 2 3 x x x 统计量是样本函数，其中不应含有未知参数，判定样本函数是否为统计量主要 依据就是这条原则.统计量 ˆ 是否为 的无偏估计，就要看 ˆ 是否满足 ) = ˆ E( .所有 无偏估计中方差最小者是最佳无偏估计量. 解：①根据统计量的概念可知，(1)、(3)、(4)、(5)都是统计量. （由于(1)、(3)、(4)、(5)中都不含有未知参数 ，故他们都是统计量.） ②求无偏估计量 ( ) 6 1 ( ) 3 2 ( ) 2 1 ) 6 1 3 2 2 1 ( 1 2 3 1 2 3 E x + x − x = E x + E x − E x = + − = 6 1 3 2 2 1 （计算统计量 ˆ 的期望，看 ˆ 是否满足 ) = ˆ E( .） 3 4 3 1 ( ) 3 1 ( )] 3 1 [ E x2 + = E x2 + = + = E(x3 ) = = 3 1 2 2 ( i i x E )= = 3 1 2 2 ( ) 1 i i E x = = + 3 1 2 2 2 ( ) 1 i = ( ) 3 2 2 2 + E{min{ x1 , x2 , x3 }} （每次试验均取最小值） 从上述计算可知(1)、(3)是无偏估计. ③求最佳无偏估计量
经济数学基础 第11章参数估计 D23+2-x)=D(x)+5DOx)-Dx)=26 D(x3)= 所以(1)是最佳无偏估计量(当然这是在所给的几个统计量中比较而得到的) (计算所有无偏估计量O的方差D(O),其中最小者即为最佳无偏估计量.) (1+6) 0<x<1 f(x) 例2设总体X的概率密度为 0 其它 ,其中0>-1 是未知参数,x2,x是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分 别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量 矩估计法是依据“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩”的原则, 建立总体矩与相应样本矩之间的等式关系,从中求出参数估计量的方法 极大似然估计法就是指似然函数1(x1,x2,…x;)=f(x,b)(x2,O)…f(x;) 在θ处取得最大值 解(1)用矩估计法求的估计量(总体的一阶原点矩是期望,二阶中心矩是方 差.) 由于总体的一阶原点矩为 1+ E(x)=x(x)x=[x1+0)x= 02+0 X= 样本的一阶原点矩为"a 2x-1 x 令E(X)=x,得2+0,从中解出 406
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——406—— 2 1 2 3 1 2 3 36 26 ( ) 36 1 ( ) 9 4 ( ) 4 1 ) 6 1 3 2 2 1 D( x + x − x = D x + D x − D x = 2 3 D(x ) = 所以(1)是最佳无偏估计量(当然这是在所给的几个统计量中比较而得到的). （计算所有无偏估计量 ˆ 的方差 ) ˆ D( ，其中最小者即为最佳无偏估计量.） 例 2 设总体 X 的概率密度为 + = 0 其它 (1 ) 0 1 ( ) x x f x ，其中 −1 是未知参数， n x , x , , x 1 2 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分 别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量. 矩估计法是依据“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则， 建立总体矩与相应样本矩之间的等式关系，从中求出参数估计量的方法. 极大似然估计法就是指似然函数 ( , , , ; ) ( , ) ( , ) ( ; ) L x1 x2 xn = f x1 f x2 f xn 在 ˆ 处取得最大值. 解(1)用矩估计法求 的估计量（总体的一阶原点矩是期望，二阶中心矩是方 差.） 由于总体的一阶原点矩为 + − E(X) = xf (x)dx = + 1 0 x(1 )x dx 1 0 2 2 1 + + + = x + + = 2 1 样本的一阶原点矩为 = = n i i x n x 1 1 令 E(X ) = x ，得 = x + + 2 1 ，从中解出 = − − = x x 1 2 1 ˆ = = − − n i i n i i x n x n 1 1 1 1 1 2
经济数学基础 第11章参数估计 是θ的矩估计量 (2)用极大似然估计法求的估计量(由于似然函数与其对数具有相同的极大值 点,而似然函数的对数函数的极值一般比较容易求出,故常常采用对似然函数取对 数的方法求极大似然估计) 似然函数1(x1,x2…x:0)=f(x1)(x2)…f(xn)=(1+0)7(x1x2…xn) 两边取对数,得血L)=nl(1+0)+h(xx2…x) dIn L In( x 求导数d01+0 dIn L +n(x1x2…xn)=0 令 得 n+>nx n In In 从中解出θ= 0是0的极大似然估计 3.区间估计 例1设来自正态总体X~N口)的样本值:51、51、48、50、47、50、 5.2、5.1、5.0 试求(1)已知=1;(2)0未知两种情况分别求总体均值的置信度为0.95的置 信区间 407—
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——407—— ˆ 是 的矩估计量. (2)用极大似然估计法求 的估计量（由于似然函数与其对数具有相同的极大值 点，而似然函数的对数函数的极值一般比较容易求出，故常常采用对似然函数取对 数的方法求极大似然估计） 似然函数 L(x1 , x2 , xn ;) = ( ) ( ) ( ) 1 2 n f x f x f x = (1+ ) ( ) 1 2 n n x x x 两边取对数，得 ln L() = ln(1 ) ln( ) 1 2 n n + + x x x 求导数 = d dlnL ln( ) 1 1 2 n x x x n + + 令 0 d dln = L ，得 ln( ) 0 1 + 1 2 = + n x x x n 从中解出 = ˆ 1 ln 1 − − = n i i x n = = + = − n i i n i i x n x 1 1 ln ln ˆ 是 的极大似然估计. 3.区间估计 例 1 设来自正态总体 X ～ ( , ) 2 N 的样本值：5.1、5.1、4.8、5.0、4.7、5.0、 5.2、5.1、5.0 试求(1)已知 =1 ；(2) 未知两种情况分别求总体均值 的置信度为 0.95 的置 信区间
经济数学基础 第11章参数估计 对正态总体N(O)的未知参数进行区间估计时,方差2已知和未知的情 况下,所选取的统计量是不同的,因此服从的分布也是不同的,从而得到的置信区 间也是不同的 解:计算得样本均值9 x=-(5.1+51+…+5.0)=5.0 因为置信度为0.95,所以=005 (1)这是已知方差σ=1,对均值μ的区间估计问题 查正态分布数值表求临界值2 d(U)=1-a/2=1-0.025=0975 501.96×√=4.347 0.01 +mVn=2.125+1.6×√16=5653 故所求总体均值的置信度为095的置信区间为[4347,5653] (已知方差σ时,总体均值以的置信度为095的置信区间为[xUaⅦ, (2)这是未知方差,对均值以的区间估计问题 查自由度为n-1=8,a=005的t分布表得到临界值w(S)=2306 408
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——408—— 对正态总体 ( , ) 2 N 的未知参数 进行区间估计时，方差 2 已知和未知的情 况下，所选取的统计量是不同的，因此服从的分布也是不同的，从而得到的置信区 间也是不同的. 解：计算得样本均值 (5.1 5.1 5.0) 5.0 9 1 x = + ++ = ， 因为置信度为 0.95，所以 = 0.05. (1)这是已知方差 =1 ，对均值 的区间估计问题. 查正态分布数值表求临界值 2 U ， ( ) 1 / 2 1 0.025 0.975 2 U = − = − = ， 2 U =1.96 因 x - U / 2 n ＝5.0-1.96× 9 1 ＝4.347 x ＋ U / 2 n ＝2.125＋1.96× 16 0.01 ＝5.653 故所求总体均值 的置信度为 0.95 的置信区间为[4.347，5.653]. （已知方差 2 时，总体均值 的置信度为 0.95 的置信区间为[ x - U / 2 n ， x + U / 2 n ].） (2)这是未知方差 2 ，对均值 的区间估计问题. 查自由度为 n－1＝8， = 0.05 的 t 分布表得到临界值 (8) 0.05 t ＝2.306