教案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics 内容提要 本课程内容为随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随 机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假 设检验、方差分析和回归分析等。 、教材及参考书: 1.丁正生,刘叶玲,廖登洪等.概率论与数理统计应用.西安:西北工业大学出版 社,2003 2.华东师范大学数学系编概率论与数理统计教程.北京:高等教育出社,1983 3.复旦大学数学系.概率论.北京:人民教育出版社,1979 4.刘景泰等.概率论与数理统计.上海:上海科学技术文献出版社,1991 5.朱燕堂,赵选民,徐伟.应用概率统计方法.西安:西北工业大学出版社,1997 6.盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计.第3版.北京:高等教育出社,2001 7.褚维盘等.概率论与数理统计指导与提高.西安:西北工业大学出版社,2001 8. Murray Spiegel, John J. Schiller, Alu Srinivasan Schaum s Outline of Probability and Statistics (2 edition ). McGraw-Hill Trade. 2000 9. Charles j. Stone. A Course in Probability and Statistics.北京:机 械工业出版社,2004 三、课程教育目标 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科,是髙等学校工科本科 各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学,应使学生掌握概率论与数理统 计的基本概念,了解它的基本理论和方法,从而使学生初步掌握处理随机事件的基本 思想和方法,培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力
教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics) 一、 内容提要： 本课程内容为随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随 机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假 设检验、方差分析和回归分析等。 二、教材及参考书： 1. 丁正生，刘叶玲，廖登洪等.概率论与数理统计应用.西安:西北工业大学出版 社,2003 2. 华东师范大学数学系编.概率论与数理统计教程.北京:高等教育出社,1983 3. 复旦大学数学系．概率论.北京：人民教育出版社，1979 4. 刘景泰等．概率论与数理统计．上海：上海科学技术文献出版社，1991 5. 朱燕堂，赵选民，徐伟.应用概率统计方法.西安：西北工业大学出版社，1997 6. 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计.第 3 版.北京:高等教育出社,2001 7. 禇维盘等.概率论与数理统计指导与提高. 西安：西北工业大学出版社，2001 8. Murray Spiegel, John J. Schiller, Alu Srinivasan.Schaum's Outline of Probability and Statistics （2 edition）. McGraw-Hill Trade. 2000 9. Charles J. Stone. A Course in Probability and Statistics. 北京：机 械工业出版社，2004 三、课程教育目标： 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校工科本科 各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统 计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本 思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力
第一章随机事件及其概率 本章主要讲述随机试验,样本空间,随机事件,事件间的关系与运算,频率,概率的统 内容计定义,概率的性质,古典概型,几何概型,条件概率,乘法公式,全概率公式,贝 叶斯公式,事件的独立性,贝努里概型等内容 提要 理解随机事件的概念,掌握事件之间的关系与运算。 2.理解事件频率的概念,了解概率的统计定义。 3.理解概率的古典定义,会计算简单的古典概率。 重点 4.了解概率的基本性质及概率加法定理。 分析 了解条件概率的概念、概率的乘法定理。 6.理解事件的独立性概念,掌握伯努利概型和二项概率的计算 古典概型的计算,乘法公式,全概率公式及贝叶斯公式的应用 分析 习题1(2,3,4,68,11,12,14,16,18,20) 布置 备注
1 第一章 随机事件及其概率 内容 提要 本章主要讲述随机试验，样本空间，随机事件，事件间的关系与运算，频率，概率的统 计定义，概率的性质，古典概型，几何概型，条件概率，乘法公式，全概率公式， 贝 叶斯公式，事件的独立性，贝努里概型等内容。 重点 分析 1． 理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。 2． 理解事件频率的概念，了解概率的统计定义。 3． 理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。 4． 了解概率的基本性质及概率加法定理。 5． 了解条件概率的概念、概率的乘法定理。 6． 理解事件的独立性概念，掌握伯努利概型和二项概率的计算。 难点 分析 古典概型的计算，乘法公式，全概率公式及贝叶斯公式的应用 习题 布置 习题 1 (2,3,4,6,8 ,11 ,12,14,16,18 ,20) 备注
教学内容( Contents) Chapter One随机事件及其概率( Random events and pro babilit) 课程简介( Introduction) 首先介绍概率论与数理统计学科研究的主要内容及与其他数学学科的联系.第 章是概率论的内容,第五、六、七、八、九、十章是数理统计部分. 概率论的诞生及应用( Naissance and application of probability theory) 1.概率论的诞生 1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌 徒胜a局(a<C),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕 斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念-.数学期望 2.概率论的应用 概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律.一方面,它有自己独特的概念和方法,另 方面,它与其他数学分支又有紧密的联系,它是现代数学的重要组成部分.概率论的广泛应用几乎 遍及所有的科学技术领域,例如天气预报,地震预报,产品的抽样调查;工农业生产和国民经济的 各个部门,在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性分辨率等等 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科. 二、随机现象( Random phenomenon) 自然界和社会上所观察到的现象:确定性现象随机现象 确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.实例 确定性现象的特征条件完全决定结果 随机现象在一定的条件下,可能岀现这样的结果,也可能出现那样的结果,而在试验或观察之前 不能预知确切的结果.实例 随机现象的特征条件不能完全决定结果 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具 有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?随机现象是通过随机试验来研究的 Problem:什么是随机试验? §1.1随机事件( Random events) 、随机试验( Random experiment) 我们遇到过各种试验。在这里,我们把试验作为一个含义广泛的术语,它包括各种各样的科学 试验,甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验。下面举一些试验的例子: E,:抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况。 E2:将一枚硬币抛三次,观察出现正面的次数 E3:抛一枚骰子,观察出现的点数。 E4:记录车站售票处一天内售出的车票数。 E5:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命
2 教 学 内 容 ( Contents ) Chapter One 随机事件及其概率(Random Events and Probability) 课 程 简 介 (Introduction) 首先介绍概率论与数理统计学科研究的主要内容及与其他数学学科的联系.第一、二、三、四 章是概率论的内容,第五、六、七、八、九、十章是数理统计部分. 一、概率论的诞生及应用(Naissance and application of probability theory) 1. 概率论的诞生 1654 年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌 徒胜 a 局 ( a c ),另一赌徒胜 b 局( b c )时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于 1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念-------数学期望 2. 概率论的应用 概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律. 一方面，它有自己独特的概念和方法，另一 方面，它与其他数学分支又有紧密的联系，它是现代数学的重要组成部分.概率论的广泛应用几乎 遍及所有的科学技术领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查; 工农业生产和国民经济的 各个部门,在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等. 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科. 二、随机现象(Random phenomenon) 自然界和社会上所观察到的现象: 确定性现象 随机现象 确定性现象 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象. 实例 确定性现象的特征 条件完全决定结果 随机现象 在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前 不能预知确切的结果. 实例 随机现象的特征 条件不能完全决定结果 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?随机现象是通过随机试验来研究的. Problem: 什么是随机试验? §1.1 随机事件(Random Events) 一、 随机试验(Random experiment) 我们遇到过各种试验。在这里，我们把试验作为一个含义广泛的术语，它包括各种各样的科学 试验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验。下面举一些试验的例子： E1 ：抛一枚硬币，观察正面 H 、反面 T 出现的情况。 E2 ：将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 E3 ：抛一枚骰子，观察出现的点数。 E4 ：记录车站售票处一天内售出的车票数。 E5 ：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命
E6:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度 这些试验都具有以下的特点: 1、可以在相同的条件下重复地进行 2、每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果; 3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 在概率论中,我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验( Random experiment)。 、样本空间( Sampling space 对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验的结果,但试验的一切可能的结果是己知的 我们把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间( Sampling space),记为S。样本 空间的元素,即E的每个结果,称为样本点Sampling point)。例如,上面的6个随机试验的样本 空间分别为 S2={0,1,2,3} S3={2,3456} S4={2,…,m};这里的n是售票处一天内准备出售的车票数n。 S3={(lt20} S6={(xy)≤x≤y≤T}:这里x表示最低温度,y表示最高温度。并设这一地区的温度 不会小于T0,也不会大于T1 三、随机事件( Random event) 在随机试验中,可能发生也可能不发生的事情就叫随机事件( Random event)。随机事件常用大 写字母A,B,C,…表示,它是样本空间S的子集合。在每次试验中,当且仅当子集A中的一个样本 点出现时,称事件A发生 例如在E3中,如果用A表示事件“掷出奇点数”,那么A是一个随机事件。由于在一次投掷 中,当且仅当掷出的点数是1,3,5中的任何一个时才称事件A发生了,所以我们把事件A表示 为A={135}。同样地,若用B表示事件“掷出偶点数”,那么B也是一个随机事件,B={246} 对于一个试验E,在每次试验中必然发生的事件,称为E的必然事件( Certain event):在每次 试验中都不发生的事件,称为E的不可能事件( mpossible event)。例如在E3中,“掷出的点数不超 过6”就是必然事件,用集合表示这一事件就是E3的样本空间S={2346}而事件“掷出的 点数大于6”是不可能事件,这个事件不包括E3的任何一个可能结果,所以用空集φ表示。对于一 个试验E,它的样本空间S是E的必然事件;空集φ是不可能事件。必然事件与不可能事件虽己 无随机性可言,但在概率论中,常把它们当作两个特殊的随机事件,这样做是为了数学处理上的方 便 四、事件间的关系与运算( Relation and operation of events) 因为事件是一个集合,因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的。下面给出 这些关系和运算在概率中的提法。并根据“事件发生”的含义,给出它们在概率中的含义 设试验E的样本空间为S,而A,B,A(k=12…)是S的子集 (1)事件的包含与相等( nclusion and equivalent relation)若事件A发生必然导致事件B发 生,则称事件A包含事件B,记为BA或者AcB。若AcB且BcA,即A=B,则称事 件A与事件B相等 (2)事件的和( Inion of events)事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件 B的和事件,记为A∪B事件AUB发生意味着:或事件A发生,或事件B发生,或事件A与事
3 E6 ：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。 这些试验都具有以下的特点： 1、 可以在相同的条件下重复地进行； 2、 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； 3、 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验(Random experiment)。 二、 样本空间(Sampling space) 对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的一切可能的结果是已知的， 我们把随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间(Sampling space)，记为 S 。样本 空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点(Sampling point)。例如，上面的 6 个随机试验的样本 空间分别为： S H T 1 = , ； 2 S ={0,1,2,3} ； S3 =1,2,3,4,5,6 ； 4 S n = {1,2, , } ；这里的 n 是售票处一天内准备出售的车票数 n 。 S t t 5 = | 0 ； S x y T x y T 6 0 1 = ( , ) | ；这里 x 表示最低温度， y 表示最高温度。并设这一地区的温度 不会小于 T0 ，也不会大于 T1。 三、 随机事件(Random event) 在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情就叫随机事件(Random event)。随机事件常用大 写字母 A, B,C, 表示，它是样本空间 S 的子集合。在每次试验中，当且仅当子集 A 中的一个样本 点出现时，称事件 A 发生。 例如在 E3 中，如果用 A 表示事件“掷出奇点数”，那么 A 是一个随机事件。由于在一次投掷 中，当且仅当掷出的点数是 1，3，5 中的任何一个时才称事件 A 发生了，所以我们把事件 A 表示 为 A =1,3,5 。同样地，若用 B 表示事件“掷出偶点数”，那么 B 也是一个随机事件， B =2,4,6 . 对于一个试验 E ，在每次试验中必然发生的事件，称为 E 的必然事件(Certain event)；在每次 试验中都不发生的事件，称为 E 的不可能事件(Impossible event)。例如在 E3 中，“掷出的点数不超 过 6”就是必然事件，用集合表示这一事件就是 E3 的样本空间 S3 =1,2,3,4,5,6 .而事件“掷出的 点数大于 6”是不可能事件，这个事件不包括 E3 的任何一个可能结果，所以用空集 表示。对于一 个试验 E ，它的样本空间 S 是 E 的必然事件；空集 是不可能事件。必然事件与不可能事件虽已 无随机性可言，但在概率论中，常把它们当作两个特殊的随机事件，这样做是为了数学处理上的方 便。 四、 事件间的关系与运算(Relation and operation of events) 因为事件是一个集合，因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的。下面给出 这些关系和运算在概率中的提法。并根据“事件发生”的含义，给出它们在概率中的含义。 设试验 E 的样本空间为 S ，而 A,B, A (k =1,2, ) k 是 S 的子集。 （1）事件的包含与相等(Inclusion and equivalent relation) 若事件 A 发生必然导致事件 B 发 生，则称事件 A 包含事件 B ，记为 B A 或者 A B 。若 A B 且 B A ，即 A = B ，则称事 件 A 与事件 B 相等。 （2）事件的和(Union of events) 事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件称为事件 A 与事件 B 的和事件，记为 A B.事件 A B 发生意味着：或事件 A 发生，或事件 B 发生，或事件 A 与事
件B都发生。 事件的和可以推广到多个事件的情景。设有n个事件A,A2…A,定义它们的和事件为 A1,A2,…,An中至少有一个发生},记为∪A 3)事件的积( Product of events)事件A与事件B都发生的事件称为事件A与事件B的积 事件,记为A∩B,也简记为AB。事件A∩B(或AB)发生意味着事件A发生且事件B也发 生,即A与B都发生。 类似的,可以定义n个事件A,A2…A的积事件∩A={A1,A2,…,An都发生}。 (4)事件的差 ( Difference of events)事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件 B的差事件,记为A-B (5)互不相容事件互斥 compatible events)若事件A与事件B不能同时发生,即AB=p 则称事件A与事件B是互斥的,或称它们是互不相容的。若事件A1,A2,…,A中的任意两个都互 斥,则称这些事件是两两互斥的。 ()对立事件( Opposite events)“A不发生”的事件称为事件A的对立事件,记为A,A和A 满足:A∪A=S,AA=p,A=A。 (7)事件运算满足的定律设A,B,C为事件,则有 交换律( Exchange law):AUB=BUA:AB=BA。 结合律( Combination law):( AUBUC=AU(BUC);(AB)C=A(BC 分配律 (Distributive law):(AUB)C=(ACU(BC);(AB)UC=(4UC(BUC) 对偶律( Dual law):AUB=AB:AB=A∪B。 Example 1.1向指定目标射三枪,观察射中目标的情况。用A、A2、A3分别表示事件“第 1、2、3枪击中目标”,试用A1、A2、A3表示以下各事件: (1)只击中第一枪; (2)只击中一枪 (3)三枪都没击中; (4)至少击中一枪 Solution(1)事件“只击中第一枪”,意味着第二枪不中,第三枪也不中。所以,可以表示成 A142A3 (2)事件“只击中一枪”,并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、 只击中第三枪”中,任意一个发生,都意味着事件“只击中一枪”发生。同时,因为上述三个事 件互不相容,所以,可以表示成A14243+A142A3+A1A243 (3)事件“三枪都没击中”,就是事件“第一、二、三枪都未击中”,所以,可以表示成A4243 (4)事件“至少击中一枪”,就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”,所以,可以表示 成A∪A2∪A3或AA2A3+A14243+AA243+A1A2A3+A1A243+A1A2A3+A1A243 §1.2概率的统计定义 The statistic Definition of Probability 频率( 设E为任一随机试验,A为其中任一事件,在相同条件下,把E独立的重复做n次,n4表示 事件A在这n次试验中出现的次数(称为频数)。比值fn(A)=n1/n称为事件A在这n次试验中 出现的频率( Frequency)
4 件 B 都发生。 事件的和可以推广到多个事件的情景。设有 n 个事件 A A An , , , 1 2 ，定义它们的和事件为 { A A An , , , 1 2 中至少有一个发生}，记为 k n k A =1 . （3）事件的积(Product of events) 事件 A 与事件 B 都发生的事件称为事件 A 与事件 B 的积 事件，记为 A B ，也简记为 AB 。事件 A B （或 AB ）发生意味着事件 A 发生且事件 B 也发 生，即 A 与 B 都发生。 类似的，可以定义 n 个事件 A A An , , , 1 2 的积事件 k n k A =1 ={ A A An , , , 1 2 都发生}。 （4）事件的差(Difference of events) 事件 A 发生而事件 B 不发生的事件称为事件 A 与事件 B 的差事件，记为 A − B 。 （5）互不相容事件(互斥)(Incompatible events) 若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB = ， 则称事件 A 与事件 B 是互斥的，或称它们是互不相容的。若事件 A A An , , , 1 2 中的任意两个都互 斥，则称这些事件是两两互斥的。 (6) 对立事件(Opposite events) “ A 不发生”的事件称为事件 A 的对立事件，记为 A . A 和 A 满足： A A = S ， AA = ， A = A 。 （7）事件运算满足的定律 设 A, B,C 为事件，则有 交换律(Exchange law)： A B = B A ； AB = BA 。 结合律(Combination law)：(A B) C = A (B C) ； (AB)C = A(BC) 。 分配律(Distributive law)：(A B)C = (AC) (BC) ； (AB) C = (AC)(B C) 。 对偶律(Dual law)： A B = AB ； AB = A B 。 Example 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用 A1、 A2 、 A3 分别表示事件“第 1、2、3 枪击中目标”，试用 A1、 A2、 A3 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 A1 A2 A3 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、 “只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事 件互不相容，所以，可以表示成 A A A 1 2 3 + A1A2 A3 + A1 A2A3 . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 A A A 1 2 3 . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示 成 A1 A2 A3 或 A A A 1 2 3 + A1A2 A3 + A1 A2A3 + A1 A2 A3 + A1 A2A3 + A1A2A3 + A1A2 A3 . §1.2 概率的统计定义(The Statistic Definition of Probability) 一、 频率(Frequency) 设 E 为任一随机试验， A 为其中任一事件，在相同条件下，把 E 独立的重复做 n 次， A n 表示 事件 A 在这 n 次试验中出现的次数（称为频数）。比值 f n (A) = nA n 称为事件 A 在这 n 次试验中 出现的频率(Frequency)