《经济数学基础》课程教学资源：第十章 随机变量与数字特征（10.4）正态分布

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 第四单元正态分布 学习目标 通过本节课的学习,了解正态分布的密度函数,标准正态分布及其密度函数、 分布函数等概念,熟练进行正态分布的标准正态化,并熟练计算各种正态分布的概 率值 、内容讲解 1正态分布 如果随机变量x的密度函数为/x)=√2z (-∞<x<+∞) ,其中山,σ为常 数,o>0,则称X服从正态分布,记为X~N(,a) 正态分布密度函数x)的图形 f(x) f(x)图形的特点 (1)f(x)在点x=μ处取最大值,图形关于x=i对称,左、右侧迅速下降,无限趋 近x轴 (2)σ越小,图形越陡峭,κ的取值越向κ=μ处集中;σ越大,图形越扁平 306

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——306—— 第四单元 正态分布 一、学习目标 通过本节课的学习，了解正态分布的密度函数，标准正态分布及其密度函数、 分布函数等概念，熟练进行正态分布的标准正态化，并熟练计算各种正态分布的概 率值． 二、内容讲解 1.正态分布 如果随机变量 X 的密度函数为 f(x)= 1 2 2 2     e - ( ) 2 x x − (−   +) ，其中,为常 数，>0，则称 X 服从正态分布，记为 X～N(， 2 ) 正态分布密度函数 f(x)的图形： f(x) f(x)图形的特点： (1)f(x)在点 x=处取最大值，图形关于 x=对称，左、右侧迅速下降，无限趋 近 x 轴; (2) 越小，图形越陡峭，X 的取值越向 x=处集中； 越大，图形越扁平． 0  x f(x) 0  x =0.5 =1 =2

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 2标准正态分布 在正态分布N(a)中,p=0,=1,即N(0,1)称为标准正态分布.它的密度函 数记作q(x),有(x)=2/<x<+0) 对任意实数x,分布函数记为Φ(x)=P(Kx),由连续型随机变量的定义, o(x)=P(X≤x)=- o(d」√2 称其为标准正态分布的分布函数 q(x)的图形如下: p(x) d(-x) 由图可知:④(x)=1-(-x) d(x)(x≥0)的值可查附表标准正态分布数值表 设X~N(0,1),则P(aK≤b)=φ(b)-φ(a),计算概率值就可以通过查表得到 3.正态分布概率计算 思考题:若X~N(0,4),有P(a<Kb)=(b)-(a)吗? 这个随机变量不是标准正态分布,所以这个概率计算式是不对的 现在推导一般正态分布的概率计算问题 设随机变量x的密度函数为/n (-∞<x<+∞) 即X~N(u,a),如何求概率P(a<K<b)呢? 307

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——307—— 2.标准正态分布 在正态分布 N(, 2 )中，=0，=1，即 N(0,1)称为标准正态分布．它的密度函 数记作(x),有(x)= e ( ) 2 1 2 2 −   + − x x  对任意实数 x,分布函数记为(x)=P(Xx)，由连续型随机变量的定义， (x)=P(Xx)= (t) t x d − = − x − t e dt 2 1 2 2  ，称其为标准正态分布的分布函数． (x)的图形如下： y (x) (－x) 1－(x) －x 0 x x 由图可知：(x)=1－(－x) (x)(x0)的值可查附表⎯标准正态分布数值表． 设 X～N(0,1)，则 P(a<Xb)=(b)－(a)，计算概率值就可以通过查表得到 了． 3.正态分布概率计算 思考题：若 X～N(0,4)，有 P(a<X<b)=(b)－(a)吗？ 这个随机变量不是标准正态分布，所以这个概率计算式是不对的． 现在推导一般正态分布的概率计算问题． 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= e ( ) 2 1 2 2 2 ( ) −   + − − x x     即 X～N(， 2 )，如何求概率 P(a<X<b)呢？

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 般地,X~N(山o3), P(a<K<b)=a√2r e (其中√2z是标准正态分布的密度函数) X-4 所以,若X~N(,a),则Y=~N(0,1)(此过程称为标准正态化) 于是,回答前面的问题,若X~N(0,4),则P(a<K<b)=中2-(2) 问题思考1:若X~N(0.,1),a为何值时,有P(x<a)=P(X>a)? a=0.任意正态分布X~N(,o2),都有P(X2)=1-P(X≤2),本问题中X N(0,1),已知P(K(a)=P(Xa)=1-P(Ka),即φa)=1-a),得到a)=0.5,查表 得到a=0. 问题思考2:已知X~N(0.,1),则P(x<0)=0.5.若X~N(5,2),还有P(X<0)=0.5 答案不对.只要是期望值为0的随机变量,都有P(K0)=0.5.但是,方差 不为1时,即为一般正态随机变量,必须进行标准正态化,才可以直接查附表求概 率 X-5 当M(5,2)时,H ~M(0,1), 则P(K0)=P( X-50-5 )=P(K0=5 -308

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——308—— 一般地，X～N(, 2 ), P(a<X<b)=  − b − a e dx 2 1 2 2 2 (x )      − − − = − =        b a u u x e du 2 1 2 2 (其中 2 2 2 1 u e −  是标准正态分布的密度函数) = ( )  b −  － ( )  a −  所以，若 X～N(, 2 ),则 Y= X −   ～N(0,1)(此过程称为标准正态化) 于是，回答前面的问题，若 X～N(0,4)，则 P(a<X<b)=  ) 2 ( b －( 2 a ) 问题思考 1：若 X～N(0,1)，a 为何值时，有 P(X<a)=P(X>a)? a=0．任意正态分布 X～N(， 2 )，都有 P(X>2)=1－P(X2)，本问题中 X～ N(0,1)，已知 P(X<a)=P(X>a)=1－P(X<a)，即 (a)=1－(a)，得到(a)=0.5，查表 得到 a=0． 问题思考 2：已知 X～N(0,1)，则 P(X<0)=0.5．若 X～N(5,2)，还有 P(X<0)=0.5 吗？ 答案 不对．只要是期望值为 0 的随机变量 X，都有 P(X0)＝0.5．但是，方差 不为 1 时，即为一般正态随机变量，必须进行标准正态化，才可以直接查附表求概 率． 当 X～N(5,2)时，Y＝ 2 X − 5 ～N(0，1)， 则 P(X<0)＝P( 2 X − 5 < 2 0 − 5 )=P(Y< 2 0 − 5 )=( 2 − 5 )

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 ≈d(-3.5)=1-Φ(3.5)=1-0.9998=0.0002 四、例题讲解 例1:设X~M(0,1),求:(1)P(K(1.35);(2)P(-2.1<K≤0.5) 解:(1)P(K<1.35)=d(-1.35)=0.9115 (2)P(-2.1≤K(0.5)=①(0.5)-④(-2.1) 0.6915-[1-(2.1)] 0.6915-1+0.9821 =0.6736 例2:某年大学入学考试数学成绩X(分)近似服从正态分布N(65,10).试求 数学成绩在85分以上的考生约占百分之几? 解:显然所求为P(X>85)=1-P(K≤85) =1-④(85)(对吗?) 不对.正确解法为: X-65 因为X~N(65,102)令10~N(0,1) 所以P(X85)=1-P(K8 X-6585-65、 =1-④(2) =1-0.9772 0.0228 答:数学成绩在85分以上的考生占2.28% 例3:设X~N(5,32),求P(2<K11)

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——309—— (－3.5)=1－(3.5)=1－0.9998＝0.0002 四、例题讲解 例 1：设 X～N（0，1），求:(1) P(X<1.35)；(2) P(－2.1<X0.5)； 解：(1) P(X<1.35)=(－1.35)=0.9115 (2) P(－2.1X<0.5)=(0.5)－(－2.1) =0.6915－[1－(2.1)] =0.6915－1+0.9821 =0.6736 例 2：某年大学入学考试数学成绩 X(分)近似服从正态分布 N(65，102 )．试求 数学成绩在 85 分以上的考生约占百分之几？ 解:显然所求为 P(X>85)=1－P(X85) =1－(85)(对吗?) 不对．正确解法为： 因为 X～N（65，102）令 Y X = −65 10 ～N（0，1） 所以 P(X>85)=1－P(X85) =1－ P X ( ) −  65 − 10 85 65 10 =1－P(Y2) =1－(2) =1－0.9772 =0.0228 答：数学成绩在 85 分以上的考生占 2.28％. 例 3：设 X～N(5,32 )，求 P(2<X11)．

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 解:根据公式,由X~N(5,32),则有 Y: 3~N(0,1),X=3y+5 2-5X-511-5 P(2<K(11)=P(3 =d(2)-(-1) =0.9772-(1-0.8413) =08185 五、课后作业 练习1设X~N(0,1),(1)求P(-1.24≤K1.45) 2)求b使P(b<K<-0.86)=00027 这是标准正态分布的概率计算问题,标准正态分布,有 P(aKb)=④(b)-(a),以及④(-x)=1-(x) P(-1.24≤K1.45)=(1.45)-④(-1.24) d(1.45)-[1-o(1.24)] =0.9265+08925-1=0.819 练习2设K~N2,0.32),求(1)P(X<24);(2)P(X>0);(3)P(-1≤K3) 解:因为X~N(2,0.32),标准正态化,得到F 03N(0,1)这是一般 正态分布的概率求值问题,必须先标准正态化,才能查表 五、课后作业 1.设X~N(0,1),求P(1<K2),P(-1<K<1) 2.设X~N(2,0.32),求P(Y>2.4) 310

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——310—— 解：根据公式，由 X～N（5，3 2〕,则有 Y X = −5 3 N(0,1)，X＝3Y+5 P(2<X<11)=P( 3 11 5 3 5 3 2 5 −  −  − X ) =P(－1<Y<2) =(2)－(－1) =0.9772－(1－0.8413) =0.8185 五、课后作业 练习 1 设 X～N(0,1),(1)求 P(－1.24X<1.45)； (2)求 b 使 P(b<X<－0.86)=0.0027． 这是标准正态分布的概率计算问题，标准正态分布 X，有 P（a<X<b）=(b)－(a),以及(－x)=1－(x) P(－1.24X<1.45)=(1.45)－(－1.24) =(1.45)－[1－(1.24)] =0.9265+0.8925－1=0.819 练习 2 设 X～N(2，0.32 )，求(1)P(X<2.4)；(2)P(X>0)；(3) P(－1X<3) 解：因为 X～N（2，0.32）,标准正态化，得到 Y= 0.3 X − 2 ～N（0，1）这是一般 正态分布的概率求值问题，必须先标准正态化，才能查表． 五、课后作业 1. 设 X～N(0,1),求 P(1<X<2)，P(－1<X<1) 2. 设 X～N(2,0.32 ),求 P(X>2.4)