经济数学基础 第11章参数估计 第一单元统计量的分布 学习目标 通过本课学习,知道统计量的概念,正态分布数值表、T分布、x分布,查 表求临界值 二、内容讲解 1.总体、样本和统计量 总体个体样本样本容量样本值 总体x一一随机变量 样本(xx2…x)-随机变量 f(x,x2,…,x)—一样本函数,也是统计量,是随机变量(其中不含未知数)x和 X应有相同的分布,x,x2x之间相互独立,称为简单随机样本 我们在今后的讨论中常用的统计量主要有: A 一阶原点矩" A2=∑X2 二阶原点矩 B (X1-X)2 二阶中心矩"a ∑(X,-x)2 样本方差-1m 2.统计量的分布
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——387—— 第一单元 统计量的分布 一、学习目标 通过本课学习，知道统计量的概念，正态分布数值表、 T 分布、 2 分布，查 表求临界值. 二、内容讲解 1.总体、样本和统计量 总体 个体 样本 样本容量 样本值 总体 X ——随机变量 样本( n x , x , , x 1 2 )-随机变量. ( , , , ) 1 2 n f x x x ——样本函数，也是统计量，是随机变量(其中不含未知数) i x 和 X 应有相同的分布， n x , x , , x 1 2 之间相互独立，称为简单随机样本. 我们在今后的讨论中常用的统计量主要有： 一阶原点矩 = = n i Xi n A 1 1 1 二阶原点矩 = = n i Xi n A 1 2 2 1 二阶中心矩 = = − n i Xi X n B 1 2 2 ( ) 1 样本方差 = − − = n i Xi X n s 1 2 2 ( ) 1 1 2.统计量的分布
经济数学基础 第11章参数估计 若总体X的分布密度函数为,已知简单随机样本(x,x2“,x)的联合分布密度 函数为8(x1,x2…x)=f(x1)f(x2)…f(xn) 此外,任何一个统计量均为随机变量,为要掌握它,就必须掌握统计量的分布, 在数理统计中,常用的统计量的分布举例如下: (1)正态总体样本均值的分布 若总体X~N可2),则其样本(x1x2…x)的均值 x N 也即有 下面我们介绍x2分布 若总体X~N(10),则其样本(x1x,x)的统计量2(x-)2 服从自由度为n的x2分布,记为x2(m) x2(n-1) 所谓自由度为n的x2分布,即其分布密度函数 2x>0 f(x)={221 n ≤0 其中r(=xc(>0称为厂函数 (2)T函数具有性质: 8
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——388—— 若总体 X 的分布密度函数为，已知简单随机样本 ( , , , ) 1 2 n x x x 的联合分布密度 函数为 ( , , , ) 1 2 n g x x x ( ) ( ) ( ) 1 2 n = f x f x f x 此外，任何一个统计量均为随机变量，为要掌握它，就必须掌握统计量的分布， 在数理统计中，常用的统计量的分布举例如下： （1）正态总体样本均值的分布 若总体 ~ ( , ) 2 X N ，则其样本 ( , , , ) 1 2 n x x x 的均值 = = n i i x n x 1 1 ~ ( , ) 2 n N ，也即有 n x − ～ N(0,1) 下面我们介绍 x 2分布. 若总体 ~ ( , ) 2 X N ，则其样本 ( , , , ) 1 2 n x x x 的统计量 = − n i i x 1 2 2 ( ) 1 服从自由度为 n 的 2 分布，记为 ( ) 2 n . = − n i i x x 1 2 ( ) 1 ～ ( 1) 2 x n − 所谓自由度为 n 的 x 2分布，即其分布密度函数 = − − 0 0 e 0 2 2 1 ( ) 2 1 2 2 x x x n f x n x n 其中 (t)＝ e d ( 0) 0 1 − + − x x t t x 称为 函数. （2） 函数具有性质：
经济数学基础 第11章参数估计 对于任意的正整数n,有I(n)=(n-1) 3)对于任意D>0,有T()=(-D)I(t-). 关于x2的上100百分位点x2(n)有表可查, P(x(n)>xd(n)=m/(x)dx=a n=4,1-=0.975 则 时,xa(m)=0.484 问题思考:设xx2x是正态总体No)的一个样本,样本函数 mx(x1,x2,x3)是统计量吗? 是统计量,因为mx,x,x)中不含未知参数 、例题讲解 例1某厂生产玻璃,每块玻璃上的疵点个数服从以λ为参数的泊松分布,从产 品中抽出一个容量为2的样本x1,x2,求样本的分布 解:(x1x2)是一个二维随机变量,x1,x2均亦服从丌(),且是相互独立的, 因此P(x=k,x2=k2)=P(x1=k1)P(x2=)6) 5,1--=0.975 xa()=0.831 例2设总体x~B(LP),但其中P未知,x,x2,x是从中抽取的样本
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——389—— 1) (1) = 1， ) = 2 1 ( ; 2) 对于任意的正整数 n，有 (n) = (n −1)! ； 3) 对于任意 t>0，有 (t)＝(t −1)(t −1) . 关于 2 的上 100 百分位点 ( ) 2 n 有表可查， + = = ( ) 2 2 2 ( ( ) ( )) ( )d n P n n f x x 则 0.975 2 = 4, 1− = n 时， ( ) 0.484 2 n = 问 题 思 考 ： 设 1 2 3 x , x , x 是正态总体 ( , ) 2 N 的 一 个 样 本 ， 样 本 函 数 max( , , ) 1 2 3 x x x 是统计量吗？ 是统计量，因为 max( , , ) 1 2 3 x x x 中不含未知参数. 三、例题讲解 例 1 某厂生产玻璃，每块玻璃上的疵点个数服从以 为参数的泊松分布，从产 品中抽出一个容量为 2 的样本 1 2 x , x ，求样本的分布. 解：( 1 2 x , x )是一个二维随机变量， 1 2 x , x 均亦服从 () ，且是相互独立的， 因此 P(x 1= k1 , x2 = k2 ) = ( ) ( ) 1 1 2 2 P x = k P x = k e ) ! ( 1 1 − = k k 0.975 2 = 5, 1− = n 时， ( ) 0.831 2 n = 例 2 设总体 X ~ B(1, p) ，但其中 p 未知， 1 2 3 x , x , x 是从中抽取的样本
经济数学基础 第11章参数估计 (1)问 x1+x2+3=x2x3+P, (x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2] 是 否为统计量? (2)若(xx2x3)的一个观察值是(1,3,2),求样本均值和样本方差 +x2+x x 3 解:(1) 是统计量,且称为样本均值. X=-(x1+x2+…+xn) 般地,样本均值n 2x3+P:因为P未知,故不是统计量 s=2(x-x)+(x2-x)+(x3-x)] 是统计量,且称为样本方差 般地,样本方差 x=(1+3+2)=2s2=5(1-2)2+(3-2)2+(2-2)]=1 例3设样本(x1,x2,xx)的一组观测值为(1,2,-1,4),求样本均值,样 本方差,样本二阶中心矩 解:样本的一阶原点矩(样本均值)4+2+(-1)+4)=1.5 s2=(-1.5)2+(2-1.5)2+(-1-1.5) 2]=433 样本方差4 B2=[(1-15)2+(2-1.5)2+(-1-15)2+(4-1.5)2]=325 样本二阶中心矩 390—
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——390—— （1）问 x x x x = + + 3 1 2 3 ，2x3 + p， [( ) ( ) ( ) ] 2 1 2 3 2 2 2 1 2 s = x − x + x − x + x − x 是 否为统计量？ （2） 若( 1 2 3 x , x , x )的一个观察值是（1，3，2），求样本均值和样本方差. 解：(1) 3 1 2 3 x x x x + + = 是统计量，且称为样本均值. 一般地，样本均值 ( ) 1 1 2 n x x x n x = + ++ 2x3 + p ：因为 p 未知，故不是统计量. [( ) ( ) ( ) ] 2 1 2 3 2 2 2 1 2 s = x − x + x − x + x − x 是统计量，且称为样本方差. 一般地，样本方差 2 1 2 ( ) 1 1 x x n s i n i − − = = . （2） (1 3 2) 2 3 1 x = + + = ， [(1 2) (3 2) (2 2) ] 1 2 2 1 2 2 2 s = − + − + − = 例 3 设样本 ( , , , ) 1 2 3 4 x x x x 的一组观测值为（1，2，－1，4），求样本均值，样 本方差，样本二阶中心矩. 解：样本的一阶原点矩（样本均值） (1 2 ( 1) 4) 1.5 4 1 x = + + − + = 样本方差 [(1 1.5) (2 1.5) ( 1 1.5) (4 1.5) ] 4.33 4 1 2 1 2 2 2 2 − + − + − − + − = − s = 样本二阶中心矩 [(1 1.5) (2 1.5) ( 1 1.5) (4 1.5) ] 3.25 4 1 2 2 2 2 B2 = − + − + − − + − =
经济数学基础 第11章参数估计 例4设总体X~N(526.3),从中随机抽取一容量为36的样本,求样本均值 落在50.8和53.8之间的概率 解:根据X~N(5263),、M5263263N(0.) P(50.8<X<53.9)=P( 50.8-52X-5253.8-52 =Φ(1.71)-d(-1.14) 6.3 6.3 =d(1.71)-[-(14)=0.9564-(1-0.8729)=0.8293 四、课堂练习 P(=2≤2.04) 在总体N)中抽取一容量为16的样本,这里4,a2均未知,求a 样本函数 x2(n-1) x2(15) 样本容量n=16,所以 P(=2≤2.04) 于是通过恒等变形以及查x分布表即可求出 四、课后作业 1.设x,x2,“x是从两点分布B(LP)中抽取的样 P(X=1)=P,P(X=0)=1-p,P是未知参数 (1)指出共m{x}x+P,(x-3x2)中哪些是统计量 (2)如果(xx2x)的一个观察值是(0,1,0,1,1),计算样本均值和 样本方差 391
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——391—— 例 4 设总体 ~ (52,6.3 ) 2 X N ，从中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本均值 落在 50.8 和 53.8 之间的概率. 解：根据 ~ (52,6.3 ) 2 X N ，可知 ) 36 6.32 X ~ N(52, , ~ (0,1) 6 6.3 52 N X − = (1.71) − (−1.14) = (1.71) −[1− (1.14)] =0.9564－(1-0.8729) =0.8293 四、课堂练习 在总体 ( , ) 2 N 中抽取一容量为 16 的样本，这里 ， 2 均未知，求 ( 2.04) 2 2 s P 样本函数 ~ ( 1) ( 1) 2 2 2 − − n n s ，样本容量 n =16 ，所以 ~ (15) 15 2 2 2 2 s = ， 于是通过恒等变形以及查 2 分布表即可求出 ( 2.04) 2 2 s P . 四、课后作业 1．设 1 2 5 x , x , , x 是从两点分布 B(1, p) 中抽取的样 P(X = 1) = p , P(X = 0) = 1− p ， p 是未知参数， （1）指出 1 2 x + x ， max{ } 1 5 i i x ， x3 + p ，（ 2 4 2 x − 3x ) 中哪些是统计量； （2）如果 ( , , , ) 1 2 5 x x x 的一个观察值是（0，1，0，1，1），计算样本均值和 样本方差. ) 6 6.3 53.8 52 6 6.3 52 6 6.3 50.8 52 (50.8 53.9) ( − − − = X P X P