经济数学基础第10章随机变量与数字特征 第10章随机变量与数字特征典型例题与综合练习 、典型例题 1随机变量 例1指出以下各变量是不是随机变量,是离散型的随机变量还是连续型的随机 变量? (1)某人一次打靶命中的环数 (2)某厂生产的40瓦日光灯管的使用时数 (3)鲁棉1号品种棉花的纤维长度 (4)某纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数 (5)某单位一天的用电量 解(1)设该人打靶命中的环数为X,若是10环靶,习惯上标为6环以下,7环、 8环、9环和10环.由于受到打靶现场和当时的各种随机因素的影响,射击一次, 命中哪个环是难以确定的.但是,大量次数的射击可以告诉人们,该人射击的命中 规律,即概率.可见,一次射击命中的环数X是随机变量.因为X只能取值6以下, 7,8,9,10,故Y是离散型随机变量 (2)设该厂生产的40瓦日光灯管的使用时数为Y小时),如果随意取出1只进行 试验,这只灯管能使用多长时间是难以确定的.若设计指标是1500小时且生产条件 比较稳定,大量统计可得到,寿命在1400~1600小时的灯管占绝大部分,在1400 小时以下或1600小时以上的很少.也就是说灯管的寿命是有规律的所以寿命y是 随机变量.因为γ的取值时间是连绵不断的,故γ是连续型随机变量 (3)设鲁棉1号品种的棉花纤维长度为Y,任取一根棉花的纤维,它的长度事先 难以确定,但大量测试棉花纤维的长度会得到其长度具有一定规律性,这就是概
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——344—— 第 10 章随机变量与数字特征典型例题与综合练习 一、典型例题 1.随机变量 例 1 指出以下各变量是不是随机变量，是离散型的随机变量还是连续型的随机 变量？ (1)某人一次打靶命中的环数； (2)某厂生产的 40 瓦日光灯管的使用时数； (3)鲁棉 1 号品种棉花的纤维长度； (4)某纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数； (5)某单位一天的用电量． 解(1)设该人打靶命中的环数为 X，若是 10 环靶，习惯上标为 6 环以下，7 环、 8 环、9 环和 10 环．由于受到打靶现场和当时的各种随机因素的影响，射击一次， 命中哪个环是难以确定的．但是，大量次数的射击可以告诉人们，该人射击的命中 规律，即概率．可见，一次射击命中的环数 X 是随机变量．因为 X 只能取值 6 以下， 7，8，9，10，故 Y 是离散型随机变量． (2)设该厂生产的 40 瓦日光灯管的使用时数为 Y(小时)，如果随意取出 1 只进行 试验，这只灯管能使用多长时间是难以确定的．若设计指标是 1500 小时且生产条件 比较稳定，大量统计可得到，寿命在 1400～1600 小时的灯管占绝大部分，在 1400 小时以下或 1600 小时以上的很少．也就是说灯管的寿命是有规律的,所以寿命 Y 是 随机变量．因为 Y 的取值时间是连绵不断的，故 Y 是连续型随机变量． (3)设鲁棉 1 号品种的棉花纤维长度为 Y，任取一根棉花的纤维，它的长度事先 难以确定，但大量测试棉花纤维的长度会得到其长度具有一定规律性，这就是概
经济数学基础第10章随机变量与数字特征 率.所以γ是随机变量.因为长度值是连绵不断的,故Y是连续型随机变量 (4)设该纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数为X,则X是随机变量,且是离散 型随机变量 (5)设该单位一天的用电量为Z,则Z是随机变量,且是连续型随机变量. 我们将取值带有随机性,但取值的概率大小是确定的这种变量,称作随机变 量.当随机变量的取值是有限个或可列个时,则它是离散型随机变量.随机变量的 取值是某个区间或区域,其值是连绵不断的时,它是连续型随机变量. 由于各种因素的影响,到底X取值为几难以确定,由经验或大量统计结果可以 知道在某段时间内纱线被扯断的根数是有规律的.所以x是随机变量 因为纱线被扯断的根数是一根一根的,就是说X的值是可以数出来的,若是考 察一段时间内的纱线被扯断的根数,则X取值是有限的,若一直考察下去,则X取 值是可列个 该单位一天的用电量为Z的具体值难以确定,由经验可知,Z的取值规律情况.所 以z是随机变量.因为用电量是连绵不断,故Z是连续型随机变量 2.离散型随机变量 例1.设随机变量Y的概率分布为P(F=m)=4(2+m)1m=0,1,2,3. (1)试确定系数A; (2)用表格形式写出Y的分布列 (3)求P(<2),P(≥1),P(=1<Y≤3) 解:(1)由分布列的性质,有 ∑ =A(2+0)-+A(2+1)-+A(2+2)-+A(2+3)-1 7 )=-A=1 345
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——345—— 率．所以 Y 是随机变量．因为长度值是连绵不断的，故 Y 是连续型随机变量． (4)设该纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数为 X，则 X 是随机变量，且是离散 型随机变量． (5)设该单位一天的用电量为 Z，则 Z 是随机变量，且是连续型随机变量． 我们将取值带有随机性，但取值的概率大小是确定的这种变量，称作随机变 量．当随机变量的取值是有限个或可列个时，则它是离散型随机变量．随机变量的 取值是某个区间或区域，其值是连绵不断的时，它是连续型随机变量． 由于各种因素的影响，到底 X 取值为几难以确定，由经验或大量统计结果可以 知道在某段时间内纱线被扯断的根数是有规律的．所以 X 是随机变量． 因为纱线被扯断的根数是一根一根的，就是说 X 的值是可以数出来的，若是考 察一段时间内的纱线被扯断的根数，则 X 取值是有限的，若一直考察下去，则 X 取 值是可列个． 该单位一天的用电量为Z的具体值难以确定，由经验可知，Z的取值规律情况．所 以 Z 是随机变量．因为用电量是连绵不断，故 Z 是连续型随机变量． 2.离散型随机变量 例 1.设随机变量 Y 的概率分布为 P(Y=m)=A(2+m) －1 ,m=0，1，2，3． (1)试确定系数 A； (2)用表格形式写出 Y 的分布列； (3)求 P(Y<2)，P(Y1)，P(＝1<Y3). 解:(1)由分布列的性质，有 = = 3 0 ( ) m P Y m =A(2+0)－1 +A(2+1)－1 +A(2+2)－1 +A(2+3)－1 =A 1 60 77 ) 5 1 4 1 3 1 2 1 ( + + + = A =
经济数学基础第10章随机变量与数字特征 于是得A= (2)的分布列为 0 (3)因为{Y<2},故m可取0,1,所以 P(<2P(=0)+P(Y=1)=777777≈0.649 因为{}≥l},m可取1,2,3,所以P(Y21)=77777777 或P(F≥l)=1-P(y=0=1-777 因为{-1<Y≤3}包含了m的所有可能取值, 所以P(-1<Y≤3)=P(Y=0)+P(Y=)+P(=2)+P(=3) 77777777: 确定离散型随机变量概率分布中的系数用概率分布的性质,所有可能取值概率 ∑P(X=x)=1 的和为1,即 分布列即随机变量取值的概率表,只需计算出所有概率值,列成表 求离散型随机变量的概率,主要是弄清所给定的事件包括随机变量Y的哪些可 能值.将这些取值的概率相加即得 用随机变量的概率分布性质分十 -346
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——346—— 于是得 A＝ 77 60 (2)Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 P 77 30 77 20 77 15 77 12 (3)因为{Y<2}，故 m 可取 0，1，所以 P(Y<2)=P(Y=0)+P(Y=1)= 30 77 20 77 50 77 + = 0.649 因为{Y1}，m 可取 1，2，3，所以 P(Y1)＝ 20 77 15 77 12 77 47 77 + + = 或 P(Y1)=1－P(Y=0)=1－ 30 77 47 77 = 因为{－1<Y3}包含了 m 的所有可能取值， 所以 P(－1<Y3)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3) = 30 77 20 77 15 77 12 77 + + + =1 确定离散型随机变量概率分布中的系数用概率分布的性质，所有可能取值概率 的和为 1，即 = = k k P(X x ) 1 ． 分布列即随机变量取值的概率表，只需计算出所有概率值，列成表. 求离散型随机变量的概率，主要是弄清所给定的事件包括随机变量 Y 的哪些可 能值．将这些取值的概率相加即得． 用随机变量的概率分布性质 = = k k P(X x ) 1
经济数学基础第10章随机变量与数字特征 因为A=77,而P(Y=m)=4(2+m)-1 0130 当m=0时,P(=0=60 77277 当m=1时,(2+1=60.1 60115 当m=2时,P(Y=2)=60 77477 当m=3时,P(y=3)=60 1(2+3)=75-7于是,得到Y的分布列 因为Y只能取值0,1,2,3,所以Y<2,只有Y=0或Y=1,于是有 302050 P(Y<2)=P(Y=0+P(=1)=777777 因为Y只能取值0,1,2,3,所以F1,即Y=1或Y=2或Y=3,于是有 P(≥l)=P(=1)+P(Y=2)+P(Y=3)=777777 3047 或者用对立事件概率公式{21={=0,故P(F≥1)=1-P=0;=1-7777 因为F的所有可能取值为0,1,2,3,均在-1,3(包括3)内,可见{-1<K≤3}是必 然事件 3.连续型随机变量 例1设连续型随机变量X的概率密度函数为
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——347—— 因为 A＝ 77 60 ，而 P(Y=m)=A(2 + m) －1 , 当 m=0 时，P(Y=0)= 77 30 2 1 77 60 (2 0) 60 77 1 + = = − 当 m=1 时，P(Y=1)= 77 20 3 1 77 60 (2 1) 60 77 1 + = = − 当 m=2 时，P(Y=2)＝ 77 15 4 1 77 60 (2 2) 60 77 1 + = = − 当 m=3 时，P(Y=3) = 77 12 5 1 77 60 (2 3) 60 77 1 + = = − 于是，得到 Y 的分布列． 因为 Y 只能取值 0，1，2，3，所以 Y<2，只有 Y＝0 或 Y＝1，于是有 P(Y<2)=P(Y=0)+P(Y=1)= 77 50 77 20 77 30 + = 因为 Y 只能取值 0，1，2，3，所以 Y1，即 Y＝1 或 Y＝2 或 Y＝3，于是有 P(Y1)=P(Y=1)+P(Y=2)＋P(Y＝3)= 77 47 77 12 77 15 77 20 + + = 或者用对立事件概率公式{Y1}= {Y = 0} ，故 P(Y1)=1－P(Y=0}=1－ 77 47 77 30 = 因为 Y 的所有可能取值为 0，1，2，3，均在－1,3(包括 3)内，可见{－1<Y3}是必 然事件． 3.连续型随机变量 例 1 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为
经济数学基础第10章随机变量与数字特征 kx21≤x≤2 f(x)={kx2<x<3 其它 (1)试确定系数k:(2)求P(X1.5),P(X<5)P(0≤X≤2) 解:(1)显然,k0,由密度函数的性质 因为 广/(x)=∫krd+∫km k 22 6 所以k29 那么,X的概率密度函数为 「6 x21≤x≤2 6 f(x) x2<x<3 其它 P(X>1.5)=f(x)d 6x326x2|3 293s2921 291≈0.386 p(2/)+=1 -348
经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——348—— = 0 2 3 1 2 ( ) 2 其它 kx x kx x f x (1)试确定系数 k；(2)求 P(X>1.5),P(X<5),P(0X2)． 解：(1)显然，k0，由密度函数的性质， 因为 + − = = + 3 2 2 1 2 1 f (x)dx kx dx kxdx ＝ 6 29 ) 2 3 1 2 2 3 ( 3 2 k x x k + = 所以 k= 6 29 那么，X 的概率密度函数为 = 0 2 3 29 6 1 2 29 6 ( ) 2 其它 x x x x f x (2) + = 1.5 P(X 1.5) f (x)dx = + 3 2 2 1.5 2 d 29 6 d 29 6 x x x x = 2 3 29 2 6 1.5 2 29 3 6 3 2 x x + 0.386 116 97 29 3 5 29 8 2 37 = + = P(X<5)= − 5 f (x)dx = d 1 29 6 d 29 6 3 2 2 1 2 + = x x x x