《经济数学基础》课程教学资源：第十章 随机变量与数字特征——典型例题与综合练习

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 f(x)dx=(26 x P(0≤X≤2 202dxo3l290.483 求连续型随机变量概率密度中的常数,主要用密度的性质, f(x)da 需提醒学生:密度函数不少是分段函数,必须要分清楚,在哪些区间密度函数 不为0,哪些区间密度函数为0 求连续型随杋变量的概率,根据连续型随机变量的定义式,其实质是一个定积 分的计算问题 因为概率密度函数非负,故有k≥0 由概率密度函数性质!。f(xN=1.又密度函数/x)只在区间[.3内非0,且 x∈[12]时,(x)=kx2x∈(2,3)时,fx)=kx,所 以有1=/()=6+k ,求得k值 因为事件{X>1.5}={1.5<K<+ω},根据连续型随机变量的定义式, P(x>15=P(15<X<+2)=,f(xk 由于在区间(1.5,+∞)上,函数fx)只在区间(1.5,3)上非0,且x∈[1,2]时, 6 fx)=29x2;x∈(2,3)时,(x)=29x,故有所列积分 因为密度函数fx)只在1与3之间取值非0,事件{-∝<X<5}是必然事件.也 可直接写出P(X<5)=1 事件{0≤X≤2}={0<X<1}+{1X≤2},0<K<1}与{1≤X≤2}互斥,于是有 6 P(0≤X≤2)P(0<k<1)P(1≤k2)0+ 4.正态分布 349

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——349—— P(0X2)= f (x)dx x dx 0 2 2 1 2 6 29   = = 29 14 1 2 29 3 6 3 = x 0.483 求连续型随机变量概率密度中的常数，主要用密度的性质，  + − f (x)dx＝1 需提醒学生：密度函数不少是分段函数，必须要分清楚，在哪些区间密度函数 不为 0，哪些区间密度函数为 0． 求连续型随机变量的概率，根据连续型随机变量的定义式，其实质是一个定积 分的计算问题． 因为概率密度函数非负，故有 k0. 由概率密度函数性质  + − f (x)dx＝1．又密度函数 f(x)只在区间[1,3)内非 0，且 x[1,2]时，f(x)＝kx2 ,x(2,3)时，f(x)=kx，所 以有    + − = = + 3 2 2 1 2 1 f (x)dx kx dx kxdx ,求得 k 值． 因为事件{X>1.5}＝{1.5<X<+}，根据连续型随机变量的定义式，  +  =   + = 1.5 P(X 1.5) P(1.5 X ) f (x)dx 由于在区间(1.5,+)上，函数 f(x)只在区间(1.5,3)上非 0，且 x[1,2]时, f(x)＝ 29 6 x 2；x(2,3)时，f(x)= 29 6 x，故有所列积分． 因为密度函数 f(x)只在 1 与 3 之间取值非 0，事件{－<X<5}是必然事件．也 可直接写出 P(X<5)=1． 事件{0X2}={0<X<1}+{1X2},{0<X<1}与{1X2}互斥，于是有 P(0X2)=P(0<X<1)+P(1X2)=0+ f (x)dx x dx 0 2 2 1 2 6 29   = 4.正态分布

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 例1设X~N(0,1),查标准正态分布数值表,求 (1)P(x=1.23);(2P(X<2.08) (3)PCX-0.09):(4)P(215≤X5.12); (5)P(x|<k=065,求k 解(1)因为X是连续型随机变量,于是P(X=1,23)=0 (2)求P(K2.08),意即=2.08,有 P(x<208)=q(2.08=0.9812 (3)P(x-0.09)1-P(X-0.09) =1-[1-o(0.09)=d(0.09)=0.5359 (4)P(2.15≤X5.12)q(5.12)-q2.15) =1-09842=00158 (5)因为|X|<k,即-k<X<k于是有P(x|<=P(k<k<k=2a(k)-1=065 即φ(k)=0.825,查附表Ⅰ:标准正态分布数值表,由概率值查变量值, 得q0.935)0.825,所以k=0.935 对于有关标准正态分布的概率计算问题,主要是查表求值.记住公式 若X~N(0,1),则 P(X<)P(Xx)=q(-) P(x>-)=P(x≌)=1-q(-) P(1<X<)=((2)-q(-1) P(x--)=1-q(-) P(x1<)=P(-=<x<)=2()-1 利用这些公式,便可以求本例题中的各标准正态分布的概率问题 连续型随机变量,在一点处的概率为0.即如果ⅹ是连续型随机变量,那么无论 是什么分布,任给一点x,都有P(X=x)=0 350—

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——350—— 例 1 设 X～N(0，1)，查标准正态分布数值表，求 (1)P(X=1.23)；(2)P(X<2.08)； (3) P(X－0.09)；(4)P(2.15X5.12)； (5)P(X<k)=0.65，求 k． 解(1)因为 X 是连续型随机变量，于是 P(X=1.23)=0 (2)求 P(X<2.08),意即 z=2.08，有 P(X<2.08)=(2.08)=0.9812 (3)P(X－0.09)=1－P(X<－0.09) =1－[1－(0.09)=(0.09)=0.5359 (4)P(2.15X5.12)=(5.12)－(2.15) =1－0.9842=0.0158 (5)因为X<k，即－k<X<k,于是有 P(X<k)=P(－k<X<k)=2(k)－1=0.65 即(k)=0.825，查附表Ⅰ：标准正态分布数值表，由概率值查变量值， 得 (0.935)=0.825，所以 k=0.935． 对于有关标准正态分布的概率计算问题，主要是查表求值．记住公式 若 X～N(0,1)，则 P(X<z)=P(Xz)=(z) ① P(X>z)=P(Xz)=1－(z) ② P(z1<X<z2)=(z2)－(z1) ③ P(X<－z)=1－(z) ④ P(X<z)=P(－z<X<z)=2(z)－1 ⑤ 利用这些公式，便可以求本例题中的各标准正态分布的概率问题． 连续型随机变量，在一点处的概率为 0．即如果 X 是连续型随机变量，那么无论 X 是什么分布，任给一点 x，都有 P(X=x)=0．

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 事件{X<208},即事件{X<},其中=2.08.对于标准正态分布,由分析]的公式 ①,得P(X<2.08)=(2.08) 查附表:标准正态分布数值表.当x=2.08时,q(x)=09812 事件{X-0.09}={X<009},用对立事件的概率计算公式,有P 0.09}=P({X<-009)=1-P(K-0.09) 对于标准正态分布,由分析的公式④,本例>0,即一==-009 P(K<-z)=1-P(X<)=1-(),将=0.09代入,即得 事件(2.15≤￥≤5.12}={-∞<X5.12)-{-∞<K2.15),所以P(2.15≤K5.12)=P(-∞<K5.12) P(-∞<k≤2.15) 因为X是标准正态分布,用分析公式③,有P(215≤K5.12)=(512)-q2.15)查表即得 因为|x|<k,即一k<X<k,于是P(x|<=P(-k<k<k), 因为X标准正态分布,有[分析公式⑤,得P(x|<A)=P-k<X<k)=2aA)-1 已知P(x|<k)=P(-k<<k)=2dk)-1=065,解得k)=0825 例2(正态分布)设X~N(70,102), (1)求P(K(62);(2)求P(栓72);(3)求a,使P(a≤K<90)=0.7055 X-X-70 解:因为=70,a=10.所以Z=0=10~N0,1) X-7062-70 (1)P(K<62)=P(1010)=P(Z-0.8) 1-q08)1-0.7881=0.2l19 X-7072-70 (2)P(X72)=1-P(X<72)=1-P(1010) =1-P(z<0.2)=1-中0.2)=1-0.5793=0.4207

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——351—— 事件{X<2.08}，即事件{X<z}，其中 z=2.08．对于标准正态分布，由[分析]的公式 ①，得 P(X<2.08)＝(2.08). 查附表：标准正态分布数值表．当 x=2.08 时，(x)=0.981 2 . 事 件 {X － 0.09}= {X  0.09} ， 用 对 立 事 件的 概 率 计 算公 式 ， 有 P{X － 0.09}=P( {X  −0.09} )=1－P(X<－0.09) 对于标准正态分布，由分析的公式④，本例 z>0，即－z=－0.09. P(X<－z)=1－P(X<z)＝1－(z)，将 z=0.09 代入，即得． 事件{2.15X5.12}={－<X5.12)－{－<X2.15)，所以 P(2.15X5.12)=P(－<X5.12) －P(－<X2.15), 因为 X 是标准正态分布，用[分析]公式③，有 P(2.15X5.12)=(5.12)－(2.15)查表即得． 因为X<k，即－k<X<k, 于是 P(X<k)=P(－k<X<k)， 因为 X 标准正态分布，有[分析]公式⑤，得 P(X<k)=P(－k<X<k)=2(k)－1 已知 P(X<k)=P(－k<X<k)=2(k)－1＝0.65，解得(k)＝0.825. 例 2 (正态分布) 设 X～N(70，102 )， (1)求 P(X<62)； (2) 求 P(X72)；(3)求 a，使 P(aX<90)=0.705 5． 解：因为=70，=10．所以 Z＝ X −   = X −70 10 N(0,1)． (1)P(X<62)=P( 10 62 70 10 70 −  X − )=P(Z<－0.8) =1－(0.8)=1－0.788 1=0.211 9 (2)P(X72)=1－P(X<72)=1－P( X −  70 − 10 72 70 10 ) =1－P(Z<0.2)=1－(0.2)=1－0.579 3=0.420 7

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 a-70X-7090-70 (3)P(a≤X<90)=P(10<10<10) a-70 =P(10<z<2) q2)-a(10)=0.9772-10)=07055 即Φ(10)=0.2717,因其值0.2717小于0.5,故10<0 所以,0.2717=1-a(10),(10)=0.7283 查附表,得10=0.61,解得a=639 这是一般正态分布的概率问题,因为正态分布的概率一般都通过查表求之,附表只给出标 准正态分布数值表(任何概率的书都是只给标准正态分布数值表),所以求一般正态分布的概 率都必须首先标准化,即若X~N(μ,a2),则Z=0~NO,1).变换Z=O也称线性 变换.(此过程称为标准正态化),此过程也可以在概率符号内进行.再套用以下公式求概率值 若X~N(0,1),则 P(x<)=P(X≤)=q(-) P(x>)=P(X≌-)=1-(-) P(21<X<2)=(2)-(1) P(X<--)=1-a(-) ④ P(x<)=P(-x<k<)=2()-1⑤ 利用这些公式,便可以求本例题中的各标准正态分布的概率问题 352

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——352—— (3)P(aX<90)＝P( 10 a − 70 < X −70 10 < 90 70 10 − ) ＝P( 10 a − 70 <Z<2) ＝(2)－( 10 a − 70 )＝0.9772－( 10 a − 70 )=0.7055 即( 10 a − 70 )=0.2717，因其值 0.2717 小于 0.5，故 10 a − 70 <0． 所以，0.2717＝1－( 10 70 − a )，( 10 70 − a )＝0.7283 查附表，得 10 70 − a ＝0.61，解得 a＝63.9． 这是一般正态分布的概率问题，因为正态分布的概率一般都通过查表求之，附表只给出标 准正态分布数值表（任何概率的书都是只给标准正态分布数值表），所以求一般正态分布的概 率都必须首先标准化，即若 X ~ N(， 2 )，则 Z＝ X −    N(0，1)．变换 Z＝ X −   也称线性 变换．(此过程称为标准正态化)，此过程也可以在概率符号内进行．再套用以下公式求概率值． 若 X～N(0,1)，则 P(X<z)=P(Xz)=(z) ① P(X>z)=P(Xz)=1－(z) ② P(z1<X<z2)=(z2)－(z1) ③ P(X<－z)=1－(z) ④ P(X<z)=P(－z<X<z)=2(z)－1 ⑤ 利用这些公式，便可以求本例题中的各标准正态分布的概率问题．

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 因为x~N(70,102),不是标准正态分布,首先做标准正态化 X-7062-70 事件{X<62}={ 10},于是X~N70,102),则Z=10~N0.1) 所以P(X<62=P(1010)=P(Z<-0.8),由标准正态分布 用[分析公式④,①,查表计算即得 事件{X≥72)}={X<72},所以P(C≥72)=1-P(X72) X-7072-70X-70 又X不是标准正态分布,标准正态化,有1-P(1010),10~N0,1) 套用[分析]公式①,查表计算即得 a-70 X不是标准正态分布,先标准正态化得到P(a≤Y<90)=P(10<z<2) a-70 用[分析公式③,得到a(2)- 题设上式等于07055,0()-a(10)=0.7055 查表得q(2),解得(10)=0271 a-70 在附表:标准正态分布数值表中,④(x)20.500,而(10)=027170.5 a-70 a-70 70-a 表明10<0,有F(10)=1-F(10)=0.2717,其中10>0 5.分布函数与函数分布

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——353—— 因为 X～N(70，102 )，不是标准正态分布，首先做标准正态化. 事件{X<62}={ 10 62 70 10 70 −  X − }，于是 X～N(70，102 )，则 Z＝ 10 X − 70 ～N(0,1)． 所以 P(X<62)=P( 10 62 70 10 70 −  X − )=P(Z<－0.8)，由标准正态分布, 用[分析]公式④，①，查表计算即得． 事件{X72}= {X  72} ，所以 P(X72)=1－P(X<72). 又 X 不是标准正态分布，标准正态化，有 1－P( X −  70 − 10 72 70 10 )， 10 X − 70 ～N(0，1) 套用[分析]公式①，查表计算即得． X 不是标准正态分布，先标准正态化得到 P(aX<90)＝P( 10 a − 70 < Z < 2) 用[分析]公式③，得到 (2)－( 10 a − 70 ) 题设上式等于 0.705 5, (2)－( 10 a − 70 )=0.705 5, 查表得(2)，解得( 10 a − 70 )＝0.271 7 在附表：标准正态分布数值表中，(x)0.500 0，而( 10 a − 70 )＝0.271 7<0.5 表明 10 a − 70 <0，有 F( 10 a − 70 )＝1－F( 10 70 − a )＝0.2717，其中 10 70 − a >0． 5.分布函数与函数分布