第三章流体流动的基本概念和方程 引言: 流体流动的特点 1、流体的变形运动 2、描述流体运动的主要物理量 流体运动学研究流体的运动规律,如速度、加速度等运动参数的变化规律,而流体动力 学则研究流体在外力作用下的运动规律,即流体的运动参数与所受力之间的关系 ●3.1研究流体运动的两种方法 连续介质模型:我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质,并且无间 隙地充满它所占据的空间。描述流体运动的各物理量(如速度、加速度等)均应是空间点的 坐标和时间的连续函数 流场( flow field):流体质点运动的全部空间。 流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法,一种是拉格朗日( Lagrange)方法, 另一种是欧拉( Euler)方法。 、拉格朗日方法 1、分析方法:又称随体法,是从分析流场中个别流体质点着手来硏究整个流体运动的。 2、位置表示: 这种研究方法,最基本的参数是流体质点的位移,在某一时刻t,任一流体质点的位 置可表为: x=x(a, h, c, t) y= y(a, b,c,t) (3-1) 式中a、b、c为初始时刻to任意流体质点的坐标,不同的a、b、c代表不同的 流体质点 ①对于某个确定的流体质点,a、b、c为常数,而t为变量,则得到流体质点的运动 规律。 ②对于某个确定的时刻,t为常数,而a、b、c为变量,得到某一时刻不同流体质点 的位置分布。 通常称a、b、c为拉格朗日变量,它不是空间坐标的函数,而是流体质点标号 3、速度表示:将式(3一1)对时间t求一阶和二阶导数,可得任意流体质点的速度
第三章 流体流动的基本概念和方程 引言： 流体流动的特点 1、 流体的变形运动 2、 描述流体运动的主要物理量 流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力 学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系 l 3.1 研究流体运动的两种方法 连续介质模型：我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间 隙地充满它所占据的空间。描述流体运动的各物理量（如速度、加速度等）均应是空间点的 坐标和时间的连续函数 流场（ flow field ）：流体质点运动的全部空间。 流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（ Lagrange ）方法， 另一种是欧拉（ Euler ）方法。 一、拉格朗日方法 1、 分析方法：又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。 2、 位置表示： 这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻 t ，任一流体质点的位 置可表为： （3—1） 式中 a 、 b 、 c 为初始时刻 t0任意流体质点的坐标，不同的 a 、 b 、c 代表不同的 流体质点。 ○1 对于某个确定的流体质点， a 、 b 、c 为常数，而 t 为变量，则得到流体质点的运动 规律。 ○2 对于某个确定的时刻， t 为常数，而 a 、 b 、c 为变量，得到某一时刻不同流体质点 的位置分布。 通常称 a 、 b 、 c 为拉格朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。 3、速度表示：将式（ 3 一 1 ）对时间 t 求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度
( velocity)和加速度( acceleration)为 (a,b,c,) a, (a a'x (a,b, c, t) 度表示: 流体的密度( density)、压强( pressure)和温度( temperature)写成a、b、t 的函数,即p=p(a,b,c,t),p=p(a,b,c,t),t=t(a,b,c,t 二、欧拉法 1、分析方法:又称局部法,是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手,来研 究整个流体的运动的,即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化 规律 2、表示:流体质点的流动是空间点坐标(x,y,z)和时间t的函数, 流体质点的三个速度分量表示为 t=(x,y,z,2) (3-4) 式中,u、V、W分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量 =ui+V]+ wk 式(3-4)中,当参数ⅹ、y、z不变而改变时间t,则表示空间某固定点的 速度随时间的变化规律。当参数t不变,而改变ⅹ、y、z,则代表某一时刻,空间各 点的速度分布 流体质点压力表示 =P(x,y,2,!)
（ velocity ）和加速度（ acceleration ）为： 4、密度表示： 流体的密度（ density ）、压强（ pressure ）和温度（ temperature ) 写成 a 、 b 、 t 的函数，即 ρ= ρ ( a , b , c , t ) , p = p ( a , b , c , t ) , t = t ( a , b , c , t) 二、欧拉法 1、 分析方法：又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研 究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化 规律。 2、 表示：流体质点的流动是空间点坐标（ x , y , z ）和时间 t 的函数， 流体质点的三个速度分量表示为： （3—4） 式中，u、v、w 分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量： V ui vj wk ® ® ® = + + r 式（ 3 一 4 ）中，当参数 x 、 y 、 z 不变而改变时间 t ，则表示空间某固定点的 速度随时间的变化规律。当参数 t 不变，而改变 x 、 y 、 z ，则代表某一时刻，空间各 点的速度分布。 流体质点压力表示：
流体质点密度表示 p=p(r,y,t. 3、流体质点的运动轨迹方程 x、y、z有双重意义,一方面它代表流场的空间坐标,另一方面它代表流体质点在 空间的位移。根据流体连续介质假设,每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个 空间点上的流体质点都有自己的速度,有速度必然产生位移。也就是说,空间坐标ⅹ、y、 z也是流体质点位移的变量,它也是时间t的函数: =x(t) y=y(t) z=o) (3—6) 式(3一6)是流体质点的运动轨迹方程,将上式对时间t求导就可得流体质点沿 运动轨的三个速度分量 a∞=∞-出 4、流体质点的加速度 现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义为在dt时刻内,流体质点流经某 空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率,于是可按复合函数的求导法则,分别 将式(3-4)中三个速度分量对时间t取全导数,并将式(3一7)代人,即可得 流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量 用矢量a表示加速度,即a=a,了十,了+a 根据矢量分析的点积公式 +(,) 2是矢性微分算子 分析:式(3一8),流体质点的加速度由两部分组成 ①第一部分,当地加速度( local acceleration):是由于某一空间点上的流体质点的速度随时
流体质点密度表示： 3、流体质点的运动轨迹方程 x 、 y 、 z 有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在 空间的位移。根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个 空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标 x 、 y 、 z 也是流体质点位移的变量，它也是时间 t 的函数： （3——6） 式（ 3 一 6 ）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 t 求导就可得流体质点沿 运动轨的三个速度分量 （3—7） 4、流体质点的加速度 现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义为在 dt 时刻内，流体质点流经某 空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法则，分别 将式（ 3 一 4 ）中三个速度分量对时间 t 取全导数，并将式（ 3 一 7 ）代人，即可得 流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量 （3—8） 根据矢量分析的点积公式 是矢性微分算子 分析：式（ 3 一 8 ），流体质点的加速度由两部分组成： ○1 第一部分，当地加速度( local acceleration )：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时
间的变化而产生的,即式(3一8)中等式右端的第一项 au av ow atat at ②第二部分,迁移加速度( acceleration of transport):是某一瞬时由于流体质点速度随空 间点的变化而引起的,即式(3一8)中等式右端的后三项u 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度( total acceleration) 5、流体质点的加速度的物理意义 如图3一1所示,不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道,截面2比截 面1小,则截面2的速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流2点时, 由于截面的收缩引起速度的增加,从而 产生了迁移加速度;如果在某一段时间 内进管道的流体输人量有变化(增加或 减少),则管道中每一点上流体质点的速 度将相应发变化(增大或减少),从而产 图3-1中阿有收形的变截面管内的流动 生了当地加速度。 6、空间点 流体质点和空间点是两个截然不同的概念 空间点指固定在流场中的一点,流体质点不断流过空间点,空间点上的速度指流体质点 正好流过此空间点时的速度。欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用式(3 9)的形式,即 V)() (3-10) 式中,括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量,如密度、温度、压强等,可以是标 量( scalar),也可以是矢量( vector) 称为全导数 称为当地导数,(V·V)称 at 为迁移导数。 欧拉法比拉格朗日法优越的原因 采用欧拉法描述流体的流动,常常比采用拉格朗日法优越,其原因有三: ①是利用欧拉法得到的是场,便于采用场论这一数学工具来研究。 ②是釆用欧拉法,加速是一阶导数,而拉格朗日法,加速度是二阶导数,所得的运动微分
间的变化而产生的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的第一项 t w t v t u ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 、 、 ○2 第二部分，迁移加速度（ acceleration of transport )：是某一瞬时由于流体质点速度随空 间点的变化而引起的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的后三项 z u w y u v x u u ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ 、 、 等 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度（ total acceleration ） 5、流体质点的加速度的物理意义 如图 3 一 1 所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面 2 比截 面 1 小，则截面 2 的速度就要比截面 1 的速度大。所以当流体质点从 1 点流 2 点时， 由于截面的收缩引起速度的增加，从而 产生了迁移加速度；如果在某一段时间 内进管道的流体输人量有变化（增加或 减少），则管道中每一点上流体质点的速 度将相应发变化（增大或减少），从而产 生了当地加速度。 6、空间点 流体质点和空间点是两个截然不同的概念， 空间点指固定在流场中的一点，流体质点不断流过空间点，空间点上的速度指流体质点 正好流过此空间点时的速度。欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用式（ 3 一 9 ）的形式，即 （3—10） 式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、温度、压强等，可以是标 量（scalar）,也可以是矢量（vector）。 ( ) Dt D 称为全导数， ( ) ¶t ¶ 称为当地导数，(V · Ñ) 称 为迁移导数。 三、欧拉法比拉格朗日法优越的原因 采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其原因有三： ○1 是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。 ○2 是采用欧拉法，加速是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分
方程分别是一阶偏微方程和二阶偏微分方程,在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求 解容易。 ③是工程实际中,并不关心每一质点的来龙去脉。 基于上述三点原因,欧拉法在流体力学硏究广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现 象以及计算流体力学( numerical ntrid me- anIcs)的某些问题中还是方便的 四、例题讲解 32流动的分类 饩体运动 在流体力学中,为掌握流体流动的基本规 律,对不同类型的流动从简到繁,由浅人地进 不可压 行研究,也要对流体的流动进行分类。通常 黏性流法 黏说体 流体的运动可以从流体的性质,运动特征分成 如图3一2所示的几类。 有蔬弧动 尢瀵动 定常流动和非定常流动 渡 eady flow)或稳定流 动和非稳定流动 1、分类依据: 根据流体的流动参数是否随时间而变 图32流体送动分类 定常流动:运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和速度等)均不随时间变化,而 只随空间点位置不同而变化的流动 非定常流动:运动流体中任一点流体质点的流动参数(压强和速度等)随时间而变化的流动。 3、举例说明 如图3一3所示装置,将阀门A和B的开度调节到使水箱的水位保持不变,则水箱和 管道中任一点(如1点、2点和3 点等)的流体质点的强和速度都不随 时间而变化,但由于1、3各点所 处的空间位置不同,故其压强速度值 也就各不相同。这时从管道中流出的 射流形状也不随时间而变。这种运动 图33流体的出流
方程分别是一阶偏微方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求 解容易。 ○3 是工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。 基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现 象以及计算流体力学（ numerical ntrid me - anics ）的某些问题中还是方便的。 四、例题讲解 l 3.2 流动的分类 在流体力学中，为掌握流体流动的基本规 律，对不同类型的流动从简到繁，由浅人地进 行研究，也要对流体的流动进行分类。通常， 流体的运动可以从流体的性质，运动特征分成 如图 3 一 2 所示的几类。 一、 定常流动和非定常流动（ s teady flow and non 一 steady flow )或稳定流 动和非稳定流动 1、 分类依据： 根据流体的流动参数是否随时间而变 2、定义： 定常流动：运动流体中任一点的流体质点的流动参数（压强和速度等）均不随时间变化，而 只随空间点位置不同而变化的流动。 非定常流动：运动流体中任一点流体质点的流动参数（压强和速度等）随时间而变化的流动。 3、举例说明： 如图 3 一 3 所示装置，将阀门 A 和 B 的开度调节到使水箱的水位保持不变，则水箱和 管道中任一点（如 1 点、 2 点和 3 点等）的流体质点的强和速度都不随 时间而变化，但由于 1 、 3 各点所 处的空间位置不同，故其压强速度值 也就各不相同。这时从管道中流出的 射流形状也不随时间而变。这种运动