第二章流体静力学 流体静力学( fluidstatics)着重研究流体在外力作用下静止平衡的规律及其在工程实际中 的应用 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系,当流体 相对于惯性坐标系静止时,称流体处于静止状态;当流体相对于非惯性参考坐标系静止时, 称流体处于相对静止状态 从工程应用的角度来看,在大多数情况下,忽略地球自转和公转的影响,而把地球作为 惯性参照系是足够精确的。当流体相对于惯性坐标系(如地球)没有运动时,我们便说流体 处于静止状态或平衡状态。当流体相对于非惯性坐标系没有运动时,我们便说流体处于相对 静止状态或相对平衡状态 无论是静止的流体还是相对静止的流体,流体之间没有相对运动,因而粘性作用表现不 出来,故切应力为零。所以,流体静力学中所得的结论,无论对实际流体( realfluid还是理 想流体( ideal fluid)都是适用的。 2.1流体静压强及其特性 流体静压强概念 1、在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的法向作用力( normal force)称为流体 的压强( pressure) 2、当流体处于静止状态时,流体的压强称为流体静压强( static pressure),用符号P表示,单 位为Pa 、流体静压强有两个基本特性 (1)流体静压强的方向与作用面相垂直,并指向作用面的内法线方向。 实验证明: 反证法证明 假设在静止流体中,流体静压强方向不与作用面相 垂直,而与作用面的切线方向成a角,如图2-1所示 那么静压强p可以分解成两个分力即切向压强p他 ( tangential pressure)和法向压强 pn(normal pressure)由于切 图2-1 向压强是一个剪切力( shear force),由第一章可知,流体具有流动性,受任何微小剪切力作 用都将连续变形,也就是说流体要流动,这与我们假设是静止流体相矛盾。流体要保持静止 状态,不能有剪切力存在,唯一的作用便是沿作用面内法线方向的压强作用
第二章 流体静力学 流体静力学(fluidstatics)着重研究流体在外力作用下静止平衡的规律及其在工程实际中 的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体 相对于惯性坐标系静止时，称流体处于静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时， 称流体处于相对静止状态。 从工程应用的角度来看，在大多数情况下，忽略地球自转和公转的影响，而把地球作为 惯性参照系是足够精确的。当流体相对于惯性坐标系（如地球）没有运动时，我们便说流体 处于静止状态或平衡状态。当流体相对于非惯性坐标系没有运动时，我们便说流体处于相对 静止状态或相对平衡状态。 无论是静止的流体还是相对静止的流体，流体之间没有相对运动，因而粘性作用表现不 出来，故切应力为零。 所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体(realfluid)还是理 想流体(ideal fluid)都是适用的。 l 2.1 流体静压强及其特性 一、 流体静压强概念 1、在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的法向作用力(normal force)称为流体 的压强(pressure)。 2、当流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强(static pressure)，用符号 P 表示，单 位为 Pa。 二、流体静压强有两个基本特性 (1)流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。 实验证明： 反证法证明： 假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相 垂直，而与作用面的切线方向成α角，如图 2—1 所示。 那么静压强 p 可以分解成两个分力即切向压强 p 他 (tangential pressure)和法向压强 pn(normal pressure)。由于切 向压强是一个剪切力(shear force)，由第一章可知，流体具有流动性，受任何微小剪切力作 用都将连续变形，也就是说流体要流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体要保持静止 状态，不能有剪切力存在，唯一的作用便是沿作用面内法线方向的压强作用
(2)静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关,即任一点上各方向的流体静 压强都相同 实验证明 计算证明 为了证明这一特性,我们在静止流体中围绕任 意一点A取一微元四面体的流体微团ABCD,设直 角坐标原点与A重合。微元四面体正交的三个边长 分别为dx,dy和dz,如图2-2所示。因为微元四 面体处于静止状态,所以作用在其上的力是平衡的。 现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关系。由于静止流体中没有切应 力,所以作用在微元四面体四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所取微 元四面体的各三角形面积都是无限小的,所以可以认为在无限小表面上的压强是均匀分布 的。设作用在ACD、ABC、ABD和BCD四个面上的流体静压强分别为p、p、P2和pn pn与x、y、z轴的夹角分别为a、β、Y,则作用在各面上流体的总压力分别为 Paddy I'a=p,acrd y P-padA(dA为△BC的面积) 除压强外,还有作用在微元四面体流体微团上的质量力,该质量力分布在流体微团全 部体积中。设流体微团的平均密度为p,而微元四面体的体积为dV= dxdydz/6,则微元四 面体流体微团的质量为dm=ρ dxdydz/6。假定作用在流体上的单位质量力为f,它在各坐 标轴上的分量分别为f、f、f,则作用在微元四面体上的总质量力为 W==pdzdxde f 它在三个坐标轴上转分量为: W.=oryx,f. w,-4aadydef
(2)静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关，即任一点上各方向的流体静 压强都相同。 实验证明 计算证明 为了证明这一特性，我们在静止流体中围绕任 意一点 A 取一微元四面体的流体微团 ABCD，设直 角坐标原点与 A 重合。微元四面体正交的三个边长 分别为 dx，dy 和 dz，如图 2—2 所示。因为微元四 面体处于静止状态，所以作用在其上的力是平衡的。 现在来分析作用于微元四面体 ABCD 上各力的平衡关系。由于静止流体中没有切应 力，所以作用在微元四面体四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所取微 元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认为在无限小表面上的压强是均匀分布 的。设作用在 ACD、ABC、ABD 和 BCD 四个面上的流体静压强分别为 px、py、pz和 pn， pn与 x、y、z 轴的夹角分别为α、β、γ，则作用在各面上流体的总压力分别为： 除压强外，还有作用在微元四面体流体微团上的质量力，该质量力分布在流体微团全 部体积中。设流体微团的平均密度为ρ，而微元四面体的体积为 dV＝dxdydz／6，则微元四 面体流体微团的质量为 dm＝ρdxdydz／6。假定作用在流体上的单位质量力为 f，它在各坐 标轴上的分量分别为 fx、fy 、fz，则作用在微元四面体上的总质量力为
由于流体的微元四面体处于平衡状态,故作用在其上的一切力在任意轴上投影的总和等于 零。对于直角坐标系,则ΣF,m0、ΣF-0、ΣF,=D 在x轴方向上力的平衡方程为 Px-Pncosa-w,=0 把P,P和W的各式代人得 P:- p dA.cosa-6AcLrdydxf,-o 因为 dA. cosa w 则上式变成 Pradydz-P, adye+2pdxdydx .=0 由于等式左侧第三项为无穷小,可以略去,故得 Pr Po 同理可得 Py =p, Pr p 所以 x下Py=Px=P 因为n的方向完全可以任意选择,从而证明了在静止流体中任一点上来自各个方向的 流体静压强都相等。但是,静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的,而流体又 是连续介质,所以流体静压强仅是空间点坐标的连续函数,即 f=p 2.2流体平衡微分方程式等压面 流体平衡微分方程式 在静止流体中任取一边长为 dr]rdx 、d、dz的微元平行六面体的 流体微团,如图2一3所示。现在 来分析作用在这流体微团上的外力的 平衡条件 1、流体平衡微分方程式推导 图2-3微元平行六山体x方向的受力分析
由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意轴上投影的总和等于 零。对于直角坐标系，则 在 x 轴方向上力的平衡方程为 由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得 同理可得 所以 因为 n 的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各个方向的 流体静压强都相等。但是，静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而流体又 是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连续函数，即： l 2.2 流体平衡微分方程式 等压面 一、 流体平衡微分方程式 在静止流体中 任 取 一 边 长 为 dx 、 dy 、 dz 的微元平行六面体的 流体微团，如图 2 一 3 所示。现在 来分析作用在这流体微团上的外力的 平衡条件。 1、流体平衡微分方程式推导
由上节所述流体静压强的特性知,作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元 平行六面体中心点处的静压强为p,则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒(G.1 Taylor)级数展开,例如:在垂直于X轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为: dr apid 略去二阶以上无穷小量后,分别等于 p 1dx和p十 1 dz 由于六面体是微元的,所以可以把各微元面上中心点处的压强视为平均压强。因此,垂 直于Ⅹ轴的左,右两微元面上的总压力分别为 1p-19dx}dy和p+1gxly 同理,可得到垂直于Y轴的下,上两微元面上的总压力分别为 p-⊥9ddx和|p 垂直于Z轴的后、前两微元面上的总压力分别为 ip-ierdzidzdy fib+i epdxidxd 作用在流体微团上的外力除静压强外,还有质量力。若流体微团的平均密度为P,则 质量力沿三个坐标轴的分量为 fspd zdyx, f,ddxdydz, f,edxdyda 处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是,作用在其上的外力在三个 坐标轴上的分力之和都等于零。例如,对于X轴,则为 1p-1"a1-1p+号:x+=0 整理上式,并把各项都除以微元平行六面体的质量ρxddz则得 f-1 同理得:(2一3) a=0 0
由上节所述流体静压强的特性知，作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。设微元 平行六面体中心点处的静压强为 p ，则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒 ( G . 1 . Taylor ）级数展开，例如：在垂直于 X 轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为： 略去二阶以上无穷小量后，分别等于 由于六面体是微元的，所以可以把各微元面上中心点处的压强视为平均压强。因此，垂 直于 X 轴的左，右两微元面上的总压力分别为： 同理，可得到垂直于 Y 轴的下，上两微元面上的总压力分别为 垂直于 Z 轴的后、前两微元面上的总压力分别为 作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团的平均密度为 P ，则 质量力沿三个坐标轴的分量为 处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是，作用在其上的外力在三个 坐标轴上的分力之和都等于零。例如，对于 X 轴，则为 整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量ρxdydz 则得 同理得：（2—3）
写成矢量形式 这就是流体平衡微分方程式,是在1755年由欧拉( Euler)首先推导出来的,所以 又称欧拉平衡微分方程式。 2、方程式的物理意义:在静止流体中,某点单位质量流体的质量力与静压强平衡。 3、方程的适用范围:在推导这个方程中,除了假设是静止流体以外,其他参数(质量力 密度)未作任何假设,所以该方程的适用范围是:静止或相对静止状态的可压缩和不可 压缩流体 4、实际意义:它是流体静力学最基本的方程组,流体静力学的其他计算公式都是从此方程 组推导出来的 5、压强差公式 把式(2一3)依次乘以dx,d,dz,然后相加,得 p(dx+f+y、、 al dr ot dy42 因为p=p(x,y,z),所以上式右端是压强函数的全微分式,即 d 所以:压强差公式为 dp-p(frdr-t f,dy i.,dx) 流体平衡条件 对于不可压缩均质流体,密度P=常数,根据恒等式 a2 2 由式(2一3)得 由理论力学可知,式(2一5)是f、f,、￡,具有力的势函数一π(x,y,z) 的充分必要条件。力的势函数对各坐标的偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量,即 f, f
写成矢量形式 这就是流体平衡微分方程式，是在 1755 年由欧拉（ Euler ）首先推导出来的，所以 又称欧拉平衡微分方程式。 2、方程式的物理意义：在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强平衡。 3、方程的适用范围：在推导这个方程中，除了假设是静止流体以外，其他参数（质量力， 密度）未作任何假设，所以该方程的适用范围是：静止或相对静止状态的可压缩和不可 压缩流体。 4、实际意义：它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程 组推导出来的。 5、压强差公式 把式（ 2 一 3 ）依次乘以 dx , dy , dz ，然后相加，得 因为 p =p ( x , y , z ) ，所以上式右端是压强函数的全微分式，即： 所以：压强差公式为 （2—4） 二、流体平衡条件 对于不可压缩均质流体，密度 P =常数，根据恒等式 由式（ 2 一 3 ）得 （2—5） 由理论力学可知，式（ 2 一 5 ）是 fx、fy 、fz， 具有力的势函数一π（ x , y , z ） 的充分必要条件。力的势函数对各坐标的偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量，即：