第五章不可压缩流体的二维流动 引言:在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动,为解决工程 实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。本章讨论理想不可压流体的 维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。 第一节有旋流动和无旋流动 刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式, 流体具有移动和转动两种运动形式。另外,由于流体具有流动性,它还具有 与刚体不同的另外一种运动形式,即变形运动( deformationmotion)。本节只 介绍流体旋转运动即有旋流动( rotation- allow和无旋流动( irrotational flow) 、有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋,是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在 流动中,如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动 则称为有旋流动,如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转 运动,则称为无旋流动。 强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动,仅仅由流体微团本身是否 绕自身轴线的旋转运动来决定,而与流体微团的运动轨迹无关。” 举例虽然流体微团运动轨迹是圆形,但由于微团本身不旋转,故它是无旋 流动;在图5-1(b)中,虽然流体微团运动轨迹是直线,但微团绕自身轴线 旋转,故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子,例如儿童玩的活动 转椅,当转轮绕水平轴旋转时,每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动 但是每个儿童始终是头向上,脸朝着一个方向,即儿童对地来说没有旋转。 二、旋转角速度( rotationalangularvelocity) 为了简化讨论,先分析流体微团的平面运动。如图5-2所示有一矩形流体 微团ABCD在XOY平面内,经丛时间后沿一条流线运动到另一位置,微团 变形成A,B,C,D
第五章 不可压缩流体的二维流动 引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程 实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。本章讨论理想不可压流体的 二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。 第一节 有旋流动和无旋流动 刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式， 流体具有移动和转动两种运动形式。另外，由于流体具有流动性，它还具有 与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。本节只 介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。 一、有旋流动和无旋流动的定义 流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。流体在 流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动， 则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转 运动，则称为无旋流动。 强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否 绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。” 举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋 流动；在图 5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线 旋转，故它是有旋流动。在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动 转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动， 但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。 二、旋转角速度(rotationalangularvelocity) 为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。如图 5—2 所示有一矩形流体 微团 ABCD 在 XOY 平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团 变形成 A，B，C，D
囝i2流钵饮团区料和变圯 流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在ⅩOY平面上的旋转角速度 的平均值 同理可求得流体微团旋转角速度的三个分量为 li au aw 1 iav au 无旋的定义 atv at ay 第二节速度环量和旋涡强度 、速度环量( velocity circulation) 为了进一步了解流场的运动性质,引人流体力学中重要的基本概念之 速度环量。 假定在某一瞬时流场中每一点的速度是已知的,设在流场中任取一一封 闭曲线K,如图5-4所示。速度环量T定义为速度沿封闭曲线K的线积分, 即
流体微团在 Z 周的旋转角速度定义为流体微团在 XOY 平面上的旋转角速度 的平均值 同理可求得流体微团旋转角速度的三个分量为 无旋的定义 第二节 速度环量和旋涡强度 一、速度环量(velocity circulation) 为了进一步了解流场的运动性质，引人流体力学中重要的基本概念之一—— 速度环量。 假定在某一瞬时流场中每一点的速度是已知的，设在流场中任取——封 闭曲线 K，如图 5—4 所示。速度环量Γ定义为速度沿封闭曲线 K 的线积分， 即
阳4茫封斯么建嚏环鼠 速度环量是一个标量,但具有正负号。 速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。后者一般规定 为:当沿封闭曲线K反时针方向绕行时,取为正号。 、旋涡强度( strength of vortex) 沿封闭曲线K的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系。 如图5-5所示,在平面XOY上取一微元矩形封闭曲线,其面积dA=dxd 沿封闭曲线反时针方向 ABCDA的速度环量推导 得 于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理( stokes,law:沿 封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的 倍,称之为旋涡强度I,即 由式(5-7)可导出另一个表示有旋流动的量,称为涡量,以Ω表示之 它定义为单位面积上的速度环量,是一个矢量( vector)。 =2 -2m, 由此可见,在流体流动中,如果涡量的三个分量中有一个不等于零,即 为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零,也就
速度环量是一个标量，但具有正负号。 速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。后者一般规定 为：当沿封闭曲线 K 反时针方向绕行时，取为正号。 二、旋涡强度(strength Of vortex) 沿封闭曲线 K 的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系。 如图 5—5 所示，在平面 XOY 上取一微元矩形封闭曲线，其面积 dA＝dxdy， 沿封闭曲线反时针方向 ABCDA 的速度环量推导 得 于是得到速度环量与旋转角速度之间关系的斯托克斯定理(stokes，law)：沿 封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二 倍，称之为旋涡强度 I，即 由式(5—7)可导出另一个表示有旋流动的量，称为涡量，以Ω表示之。 它定义为单位面积上的速度环量，是一个矢量(vector)。 由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即 为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就
是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零,则在这区域内的流动一定是无旋 流动。 例5-2)一个以角速度ω按反时针方向作像刚体一样旋转的流动,如图5 -6所示。试求在这流场中沿封闭曲线的速度环量,并证明它是有旋流动 上例题正是斯托克斯定理的一个例证 以上结论可推广适用于圆内任意区域内。 (例53)一个流体绕O点作同心圆的平面流动,流场中各点的圆周速度 的大小与该点半径成反比,即V=-,其中C为常数,如图5-7所示 求在流场中沿封闭曲线的速度环量,并分析它的流动情况 上式说明,绕任何一个圆周的流场中,速度环量都不等于零,并保持一个 常数,所以是有旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必 等于零,故在圆心O点处必有旋涡存在,圆心是一个孤立涡点,称为奇点。 第三节速度势和流函数 速度势函数和流函数的引入对于流体力学的研究,特别是无旋流动和不 可压流体的平面流动起着相当大的作用。例如,我们知道流体力学研究中的 一个重要问题,就是求出流场中的速度分布,它有三个变量。对于无旋流动 可以引入一个参数即速度势函数,我们可以把求解三个未知量u,v,w的 问题,变为求解一个势函数问题,使问题大大简化。 速度势函数( velocitypotential function) 1.速度势函数引入 在无旋流动中每一个流体微团的旋转角速度都等于零,也就是说,在无旋流 动中每一个流体微团都要满足式(5-4)的条件, 即 根据数学分析可知,式(5-4)是udx+vdy+wd成为某一函数Φ(xyz) 的全微分的充分和必要条件。而函数Φ的全微分可写成 -",-w-° 函数Φ称为速度势函数或位函数,简称为速度势。它与电位的概念相类似
是沿任何封闭曲线的速度环量 都等于零，则在这区域内的流动一定是无旋 流动。 (例 5—2) 一个以角速度ω按反时针方向作像刚体一样旋转的流动，如图 5 —6 所示。试 求在这流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动。 上例题正是斯托克斯定理的一个例证。 以上结论可推广适用于圆内任意区域内。 (例 5—3) 一个流体绕 O 点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度 的大小与该点半径成反比，即 V＝ r C ，其中 C 为常数，如图 5—7 所示。试 求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。 上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个 常数，所以是有旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必 等于零，故在圆心 O 点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。 第三节 速度势和流函数 速度势函数和流函数的引入对于流体力学的研究，特别是无旋流动和不 可压流体的平面流动起着相当大的作用。例如，我们知道流体力学研究中的 一个重要问题，就是求出流场中的速度分布，它有三个变量。对于无旋流动， 可以引入一个参数即速度势函数，我们可以把求解三个未知量 u，v，w 的 问题，变为求解一个势函数问题，使问题大大简化。 一、速度势函数(velocitypotential function) 1．速度势函数引入 在无旋流动中每一个流体微团的旋转角速度都等于零，也就是说，在无旋流 动中每一个流体微团都要满足式(5—4)的条件， 即 根据数学分析可知，式(5—4)是 udx+vdy+wdz 成为某一函数Ф (x,y,z) 的全微分的充分和必要条件。而函数Ф的全微分可写成 函数Ф称为速度势函数或位函数，简称为速度势。它与电位的概念相类似
电位的梯度是电场的强度,而速度势的梯度则是流场的速度。 在定常流动中速度势与时间无关,仅是坐标的函数。即=Φ(xyz)当流体 作无旋流动时,总有速度势存在,所以无旋流动也称为有势流动,或简称为 势流或位流。 从以上分析可知,不论是可压缩流体还是不可压缩流体,也不论是定常 流动还是非定常流动。只要满足无旋条件,必然有速度势存在 2.速度势函数的性质 (1)不可压流体的有势流动中,势函数Φ满足拉普拉斯方程,势函数Φ是调 和函数。 在不可压流体的有势流动中,拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊 形式,这样把求解无旋流动的问题,就变为求解满足一定边界条件下的拉普 拉斯方程的问题。 (2)任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数Φ值之差。而与曲 线的形状无关 根据速度环量的定义,沿任意曲线AB的线积分 ras=vai=(rdr. vrly+vdk)=eIs 这样,将求环量问题,变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭 曲线,若A点和B点重合,速度势函数是单值且连续的,则流场中沿任一 条封闭曲线的速度环量等于零。 流函数( stream functiOn 1.流函数引入 对于流体的平面流动,由不可压缩流体平面流动的连续性方程(3-29)得 515 节而雏羔线分方坐 根挺数学分析叫知,式(5-15:是式(5-,虫为某函致中(x,y)的全分前充分军必 裳条作,即 于是得 杖平和,可成 515 若令d=0或=常数,由式(5-17)可知,在每一条流线上函数都
电位的梯度是电场的强度，而速度势的梯度则是流场的速度。 在定常流动中速度势与时间无关，仅是坐标的函数。即Ф ＝Ф(x,y,z)当流体 作无旋流动时，总有速度势存在，所以无旋流动也称为有势流动，或简称为 势流或位流。 从以上分析可知，不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常 流动还是非定常流动。只要满足无旋条件，必然有速度势存在。 2．速度势函数的性质 (1)不可压流体的有势流动中，势函数Ф 满足拉普拉斯方程，势函数Ф是调 和函数。 在不可压流体的有势流动中，拉普拉斯方程实质是连续方程的一种特殊 形式，这样把求解无旋流动的问题，就变为求解满足一定边界条件下的拉普 拉斯方程的问题。 (2)任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数Ф值之差。而与曲 线的形状无关。 根据速度环量的定义，沿任意曲线 AB 的线积分 这样，将求环量问题，变为求速度势函数值之差的问题。对于任意封闭 曲线，若 A 点和 B 点重合，速度势函数是单值且连续的，则流场中沿任一 条封闭曲线的速度环量等于零.。 二、 流函数(stream functiOn) 1．流函数引入 对于流体的平面流动，由不可压缩流体平面流动的连续性方程(3—29)得 若令 dΨ＝0 或Ψ=常数，由式(5—17)可知，在每一条流线上函数Ψ都