3.1表示力学量的算符（续11） Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 注 (1)以上所述力学量算符规则是对坐标表象而 言；对于动量表象，表示力学量F的算符是将经典 表示F行.P)中的坐标变量产换成坐标算符F=V。 即 F(T,P)>F(,P)=F(V。,P) (2)对于只在量子理论中才有，而在经典力学 中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。 16
16 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism （1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而 言；对于动量表象，表示力学量F 的算符是将经典 表示 中的坐标变量 换成坐标算符 P ir = K K r ˆ ∇= K PrF )( K K ⋅ （2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学 中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。 ˆ ˆ (, ) ( , ) P FrP Fi P = ∇ K K K K FrP (, ) = K K 即 3.1 表示力学量的算符（续11） 注
Chapt.3 The Dynamical variable 3.1表示力学量的算符（续12） in Quantum Mechanism 力学量算符 坐标表象 动量表象 坐标算符 分=时 分=iV。 动量算符户 P=加 户=市 力学量算符 (, =0,州)民=(vP 其中 v=i0+ a Ox 0z V。=i -+k oP, 17
17 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 力学量算符 坐标表象 动量表象 坐标算符 ˆ r G ˆ = G G r r ˆ = ∇G G = p r i 动量算符 ˆ P G ˆ P i =− ∇ G = ˆ = G G P P 力学量算符 ( )ˆ ˆ ˆ F rP, G G ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ, , = ∇G G G G = P FrP Fi P ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ FrP Fr i , , = − ∇ G G G = 其中 i j k x y z ∂ ∂ ∂ ∇= + + ∂ ∂ ∂ G G G P x y z i jk PPP ∂ ∂ ∂ ∇= + + ∂ ∂ ∂ G G G G 3.1 表示力学量的算符（续12）
Chapt.3 The Dynamical variable 3.1表示力学量的算符（续13） in Quantum Mechanism (4)力学量算符与力学量测量值的关系 在第二章讨论哈密顿算符A的本征值问题时已 看到，当体系处在的本征态时，体系有确定的能 量，该能量值就是A在此本征态中的本征值。当体 系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而 有一系列可能值，这些可能值均为的本征值。这 表明A的本征值是体系能量的可测值，将该结论推 广到一般力学量算符提出一个基本假设。 如果算符F表示力学量F,那么当体系处于F 的本征态中时，力学量F有确定值，这个值就是户 属于该本征态的本征值。 该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系
18 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism (4）力学量算符与力学量测量值的关系 在第二章讨论哈密顿算符 的本征值问题时已 看到，当体系处在 的本征态时，体系有确定的能 量，该能量值就是 在此本征态中的本征值。当体 系处在任一态中时，测量体系的能量无确定值，而 有一系列可能值，这些可能值均为 的本征值。这 表明 的本征值是体系能量的可测值，将该结论推 广到一般力学量算符提出一个基本假设. Hˆ Hˆ Hˆ Hˆ Hˆ 如果算符 表示力学量 ，那么当体系处于 的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。 Fˆ Fˆ Fˆ F F 该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系 3.1 表示力学量的算符（续13）
3.1表示力学量的算符（续14） Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism (5)厄米算符及其性质 ①厄米算符的定义 若对于任意两函数W和中，算符F满足等式 ∫yfdr=∫（产w)'dz 则称F为厄米算符 厄米算符的性质： 厄米算符的本征值必为实数 Prove:设为厄米算符，其本征方程户w=W :∫'Fwdr=∫(Fw)wudr 2∫wydr=元∫ywdr→元=元实数) 19
19 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism （5）厄米算符及其性质 ① 厄米算符的定义 若对于任意两函数 和 ，算符 满足等式 ψ φ Fˆ ∫ ∫ = dFdF τφψτφψ* * ) ˆ ( ˆ 则称 为Fˆ 厄米算符 ② 厄米算符的性质：厄米算符的本征值必为实数 Prove : 设 为厄米算符 Fˆ ，其本征方程 Fˆ = λψψ ∫ ∫ = dFdF τψψτψψ* *)( ∵ ˆ ∫ ∫ d = dτψψλτψψλ * ** * λ = λ（实数） 3.1 表示力学量的算符（续14）
Chapt.3 The Dynamical variable 3.1表示力学量的算符（续15） in Quantum Mechanism (6)力学量算符的性质 力学量算符为线性的厄米算符 Ex.1、证明动量算符的一个分量px是厄密算符 me=y含 od+o-位ih Ex.2、证明宇称算符1的本征值为I=±1 Prove:设I为宇称算符i的本征值，则宇称算 符的本征方程为： 20
20 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 力学量算符为线性的厄米算符 (6）力学量算符的性质 * * ˆ x p dx i dx x ψ ϕ ψϕ ∞ ∞ −∞ −∞ ∂ = − ∂ ∫ ∫= Ex. 1、 证明动量算符的一个分量 是厄密算符 ˆ x p * * * ( ) ˆ x i i dx p dx x ψ ψ ϕ ϕ ψϕ ∞ ∞ ∞ −∞ −∞ −∞ ∂ =− + = ∂ ∫ ∫ = = Prove : 设 为宇称算符 的本征值，则宇称算 符的本征方程为： ˆ I I Ex. 2、证明宇称算符 的本征值为 ˆ I I = ± 1 Prove : 3.1 表示力学量的算符（续15）