3.1表示力学量的算符（续6） Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism -小ww高 =∬w,-iw,o-Fdt时 =∫w(,)[-w(,t]d开 -S$Sv(F.)pmr.Ddd- 我中+号 一 动量算符 11
11 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism [ ] * 3 3 ψ ψδ ( ,) (,) ( ) r t i r t r r d rd r = −∇ − ′ ′′ ∫∫ K K K K KK = [ ] * 3 = ψ ψ (,) (,) rt rt dr − ∇i ∫ = K KK * (,) (,) ˆ ψ ψ r t r t dxdyd P z ∞∞∞ −∞ −∞ −∞ = ∫∫∫ K K K ─ 动量算符 ˆ P i ii j k x y z ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ =− ∇=− + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ K GG G 其中 = = 3.1 表示力学量的算符（续6） =δ (r r ′− ) G G [ ] ( ) ( ) * 3 3 3 1 ( ,) (,) 2 ψ ψ π ⎡ ⎤ ′− = −∇ ′ ′ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫∫ ∫ K K K = K K K K G = = i Pr r r t i r t e d P d r dr
Chapt.3 The Dynamical variable 3.1表示力学量的算符（续7） in Quantum Mechanism 结论 由波函数计算坐标和动量的平均值时，坐标与动 量均要用相应的算符代入积分式。 利用坐标为变量的波函数(F,)计算坐标平均值 时，坐标算符产=下，就是坐标本身；利用动量为变 量的波函数C(P,)计算坐标平均值时，坐标算符为 示=ihVp 利用坐标为变量的波函数w(下，)计算动量平均值 时，动量算符P=一7；利用动量为变量的波函数 C(P,t)计算动量平均值时，动量算符就是动量本身 p=P 12
12 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 结 论 由波函数计算坐标和动量的平均值时，坐标与动 量均要用相应的算符代入积分式。 利用坐标为变量的波函数 计算坐标平均值 时，坐标算符 ，就是坐标本身；利用动量为变 量的波函数 计算坐标平均值时，坐标算符为 tr ),(K ψ r r K K ˆ = tPC ),( K P ir = K K ˆ ∇= 利用坐标为变量的波函数 计算动量平均值 时，动量算符 ； 利用动量为变量的波函数 计算动量平均值时，动量算符就是动量本身 tr ),(K ψ =∇−= K iP ˆ tPC ),( K P P K K = ˆ 3.1 表示力学量的算符（续7）
3.1表示力学量的算符（续8） Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 2.表示力学量的算符及其与力学量测量值的关系 (1)算符的定义 对一函数作用得到另一函数的运算符号 Fu =V 户称为算符 d d Ex. u=y dx dx dx udx =v xu-V (2)算符的本征方程 算符F作用在函数w上，等于一常数入乘以w 即 Fw=入w 此称为算符F的本征方程
13 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 对一函数作用得到另一函数的运算符号 ˆ = vuF ∫ ˆ = dxF ∫ = vudx Ex. dx d Fˆ = vu dx d = ˆ = xF = vxu 2．表示力学量的算符及其与力学量测量值的关系 （1）算符的定义 Fˆ 称为算符 (2）算符的本征方程 算符 作用在函数 上，等于一常数 乘以 Fˆ ψ λ ψ 3.1 表示力学量的算符（续8） 即 Fˆ = λψψ 此称为算符 的本征方程 Fˆ
3.1表示力学量的算符（续9） Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 入称为其本征值，为其本征函数。 (3)力学量算符 表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义 运算的符号。 例如当波函数为（下，）时 坐标算符云 FwF,t)=FW(下，t) 动量算符P Pw(厅，t)=-i7(,) 哈密顿算符月 ara-r+trnlcd
14 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism λ 称为其本征值， 为其本征函数。 ψ (3）力学量算符 表示力学量的算符必须是对波函数进行有物理意义 运算的符号。 哈密顿算符 Hˆ ),(),( 2 ),( ˆ 2 2 trH trtrU K = KK ψ μ ψ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ +∇−= 动量算符 P ˆ K ),(),( ˆ tritrP K = K K ψ ∇−= ψ 坐标算符 r ˆ K ),(),( ˆ trrtrr K K K K = ψψ 例如当波函数为 时tr ),(K ψ 3.1 表示力学量的算符（续9）
3.1表示力学量的算符（续10） Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 力学量算符规则一一即构造力学量算符的规则： 将第二章中构造Harmilton:算符的方法加以推广， 便提出一个构造一般力学量算符的基本假设。 若量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的 力学量，则表示该力学量的算符户由经典表示F,P 中将动量P换成动量算符P而得出。 F=F行，P)=(匠，-iV) EX. 动能算符T i= 24 24 角动量算符 i=r×P=-标×V 15
15 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism Ex. 动能算符 Tˆ 2 2 2 22 ˆ ˆ ∇−== μμ = K P T 角动量算符 LˆK riPrL ∇×−=×= K= K K K ˆˆ 将第二章中构造Harmilton算符的方法加以推广， 便提出一个构造一般力学量算符的基本假设。 ),( ˆ ) ˆ ,( ˆˆ =∇−== K K K irFPrFF 若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的 力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示 中将动量 换成动量算符 而得出。 F ˆ F(, ) r P K K P ˆ K P G F 3.1 表示力学量的算符（续10） 力学量算符规则——即构造力学量算符的规则：