3.1表示力学量的算符（续1） Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism (1)坐标平均值 设粒子的状态波函数为w(俨，t)或C(P,t) ur0 jc”dn 水 粒子的位置处在：x~x+,y~y+少，z~z+化间的几率为 @(r,t)d-w(r,t)'d'r 坐标平均值 <r>=∫Foa,d行=jw(G,ry,f行
6 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism （1）坐标平均值 3 3/2 1 (,) ( ,) (2 ) i P r ψ r t CPte dP π ∞ ⋅ −∞ = ∫∫∫ K K = K K K = 设粒子的状态波函数为 或tr ),( K ψ tPC ),( K 3 3/2 1 ( ,) (,) (2 ) i P r CPt ψ rte dr π ∞ − ⋅ −∞ = ∫∫∫ K K = K K K = rdtrrdtrK 3 K K 2 3 K ω = ψ ),(),( 粒子的位置处在： x ~ ,~ ,~ x dx y y dy z z dz + + + 间的几率为 3.1 表示力学量的算符（续1） ∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− >=< = rdtrrtrrdtrrr 3 * 3KKKKKKKK 坐标平均值 ω ψψ ),(),(),(
3.1表示力学量的算符（续2） Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 利用C(P,)计算出坐标产的平均值： <r>=j∬C(p,C(P,)dF -00 称为坐标算符 Prove: <>w'(F,t)Fw(F,t)d 2Jwc,cP,e”ip 2rJircPy,ere 对此作一次分部积分
7 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 利用 计算出坐标 的平均值: tPC ),( K r K PdtPCrtPCr K K K K K * 3 ),( ˆ ),( ∫∫∫ ∞− >=< ˆ P x y z ri ii j k PPP ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ = ∇= + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂∂∂ ⎝ ⎠ G G K K = = 称为坐标算符 Prove： r rdtrrtr K * K K K 3 K ),(),( ∫ ∞ ∞− >=< ψψ * 3 3 3 /2 ( 1 (,)[ ( , 2 ) ) ] i P r ψ rtr CPte dP d r π ′⋅ = ′ ′ ∫ ∫ K K = K K = K K K 3.1 表示力学量的算符（续2） 对此作一次分部积分 * 3 3 3/2 1 ( , )[ ( , ) ] (2 ) i P r P rt CPt e dP dr i ψ π ′⋅ ′ = ∇ ′ ′ ∫ ∫ K K = K = K K K =
31表示力学量的算将（续3） Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism e的we 2Ceea.c动up -∬cBao,aj。r"PWr4D -[C(P.t)ihV C(P,t)8(P-P)dPdP =」C(P,)ihvC(p,t)dp =Jjc(p,)C(P,t)dP.d那，adr
8 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism * 3 3 3 3 1 [ ][ ( , ) ( ) , ) ] 2 ( i i P P r P r C Pt e d P i CP t e dP dr π ′⋅ ′ − ⋅ = ∇ ′ ′ ∫ ∫ ∫ K K = K K K = K K K = K K = ( ) * 3 3 3 3 1 [ ] (2 ) ( ,) ( ,) i P P P r C Pti CP t e dr d Pd P π ′− ′ ⋅ = ∇ ′ ′ ∫∫ ∫ K K K = K K K K = K K = * 3 3 ( ,) ( , ) ( ) C Pti CP t dP P = ∇ ′ ′ δ P′− P d P ′ ∫∫ K K K K K K K = * 3 ( ,) ( ,) C Pt CPtdP P = i ∇ ∫ K K K = K *( ,) ( ,) ˆ C P t C P t dP dP dP x y z r ∞ = ∫∫∫ K K K 3.1 表示力学量的算符（续3） * 3 3 3/2 1 (,)[ ( ,) ( ) ] (2 ) i i P r P r P rt C P te C P t e dP dr i i ψ π ∞ ′ ′ ⋅ ⋅ ′ −∞ = ⋅ −∇ ⋅ ′ ′′ ∫ ∫ K K K K = = K = = K KK K K =
Chapt.3 The Dynamical variable 3.1表示力学量的算符（续4） in Quantum Mechanism 其中 产=权。=诚 坐标算符 (2)动量平均值 粒子的动量值处于P~P+迟，PP+心，P~卫+P 间的几率为： @(P.t)dP=C(P,t)dP 动量平均值<P=CRP=(D,)PC(P.XFP 利用坐标为变量的波函数（下，）计算动量平均值： <p>=jy(,0P,)a时 9
9 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism （2）动量平均值 粒子的动量值处于 Px ~ ,~ ,~ P dP P P dP P P dP x xy y yz z z + + + 间的几率为: PdtPCPdtP K K K K 3 2 3 ω = ),(),( 利用坐标为变量的波函数 计算动量平均值: tr ),(K ψ 其中 ˆ P ─ 坐标算符 xy z ri i i j k pp p ⎛ ⎞ ∂∂∂ = ∇= + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂∂∂ ⎝ ⎠ G G G G G = = P rdtrPtr K K K K K * 3 ),( ˆ ),( ψψ ∫∫∫ ∞ >=< 3.1 表示力学量的算符（续4） ∫∫∫ ∫∫∫ ∞ >=< = PdtPCPtPCPdtPCPP K K K K K K K K 3 * 3 2 动量平均值 ),( ),(),(
3.1表示力学量的算符（续5） Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism 分=-V 一动量算符 Prove:<P>=C(P,)PC(P,t)dp -Scuamfvw 2fc2训c.omed7p Beur-jmrtarr efo加dr1-fw." 10
10 Chapt.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism Prove: PdtPCPtPCPK K K K K * 3 ),(),( ∫∫∫ >=< 3 3/2 * 3 1 [ (,) ] (2 ( ,) ) i P r C PtP ψ r t e dr d P π − ⋅ = ∫ ∫ K K = K K = K K K * 3 3 3 / 2 1 ( , )[ (,) ] (2 ) i P r C Pt r t i e dr d P π ψ − ⋅ = ∇ ∫ ∫ K K = K K = K K = * 3/ 3 3 2 1 ( , )[ (,) ( (,) ) ) ] (2 i i P r P r C Pt ψ ψ rtie i rt e dr d P π ∞ − ⋅ − ⋅ −∞ = − ∇ ∫ ∫ K K K K = = K KK K = = K = =∇−= ─ 动量算符 K iPˆ 3 1 * 3 3 3 [ ( ,) ] (2 ) [ ( ( , )) ] i P i P r r ψ r te d r i rt ψ e d r d P π ⎧ ⎫ ⋅ ′ − ⋅ = ⎨ ⎬ ′ ′ ⎩ ⎭ − ∇ ∫ ∫ ∫ K K = K K = K K K = K K = 3.1 表示力学量的算符（续5）