常用离散分布 n重独立的伯努利试验 二项分布 记为X~B(n,p) Ⅹ为n重伯努里试验中“成功”的次数, P(X=k) 5(1-p)-k,k=0,1
➅➴❈þ❺➞Ù➻ê ➅➴❈þ✾Ù➞Ù ➅➴➉þ✦➅➴❈þ✛Õá✺ ➅➴❈þ❺➅➴➉þ➻ê✛➞Ù ⑦❫❧Ñ➞Ù n ➢Õá✛❐ã⑤➪✟ ✓➅➞Ù P➃ X ∼ B(n, p). X➃n➢❐ã♣➪✟➙✴↕õ✵✛❣ê, P(X = k) = n k p k (1 − p) n−k , k = 0, 1, . . . , n. ✟n = 1➒➜→b(1, p) ➃0 − 1➞Ù Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
常用离散分布 n重独立的伯努利试验 二项分布 记为X~B(m,p) Ⅹ为n重伯努里试验中“成功”的次数, P(X=k) 5(1-p)-k,k=0,1 当n=1时,称b(1,p)为0-1分布
➅➴❈þ❺➞Ù➻ê ➅➴❈þ✾Ù➞Ù ➅➴➉þ✦➅➴❈þ✛Õá✺ ➅➴❈þ❺➅➴➉þ➻ê✛➞Ù ⑦❫❧Ñ➞Ù n ➢Õá✛❐ã⑤➪✟ ✓➅➞Ù P➃ X ∼ B(n, p). X➃n➢❐ã♣➪✟➙✴↕õ✵✛❣ê, P(X = k) = n k p k (1 − p) n−k , k = 0, 1, . . . , n. ✟n = 1➒➜→b(1, p) ➃0 − 1➞Ù Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
例3.1.3 在抽检产品时,抽查了200件产品,检查结果发现其中有4件是废 品,问能否相信该厂产品废品率不超过0.005
➅➴❈þ❺➞Ù➻ê ➅➴❈þ✾Ù➞Ù ➅➴➉þ✦➅➴❈þ✛Õá✺ ➅➴❈þ❺➅➴➉þ➻ê✛➞Ù ⑦3.1.3 ✸➘✉✗➡➒➜➘✝✡200❻✗➡➜✉✝✭❏✉②Ù➙❦4❻➫➣ ➡➜➥❯➘❷✫❚❶✗➡➣➡➬Ø❻▲0.005 Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
假设该厂产品的废品率为0.005,容易算得200件中出现4件废品 的概率为 C4200×00054×(1-0.005)190.015 根据人们长期实践总结出的一条原理:概率很小的事件在一次试 验中实际上几乎是不可能发生的,现在,可以认为当废品率 为0.005时,抽检200件产品出现4件废品是一概率很小的事件 而它在一次试验中就发生了,因此有理由怀疑假定的正确性,即 工厂产品废品率不超过0.005不可信。 主要思想:概率反证法
➅➴❈þ❺➞Ù➻ê ➅➴❈þ✾Ù➞Ù ➅➴➉þ✦➅➴❈þ✛Õá✺ ➅➴❈þ❺➅➴➉þ➻ê✛➞Ù ✮: ❜✗❚❶✗➡✛➣➡➬➃0.005➜◆➫➂✚200❻➙Ñ②4❻➣➡ ✛❱➬➃ C 4 200 × 0.0054 × (1 − 0.005)196 ' 0.015 ❾â❁❶⑧Ï➣❶♦✭Ñ✛➌❫✝♥➭❱➬é✂✛➥❻✸➌❣➪ ✟➙➣❙þ❆✂➫Ø➀❯✉✮✛➜②✸➜➀➧❅➃✟➣➡➬ ➃0.005➒➜➘✉200❻✗➡Ñ②4❻➣➡➫➌❱➬é✂✛➥❻➜ ✌➜✸➌❣➪✟➙Ò✉✮✡➜Ï❞❦♥❞⑦➛❜➼✛✔✭✺➜❂ ó❶✗➡➣➡➬Ø❻▲0.005Ø➀✫✧ ❒❻❣➂➭❱➬❻②④ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿
二项分布中最可能出现次数的定义与推导 若P(X=k)≥P(X=j),=1,2,…可取的一切值,则称k为 最可能出现的次数 记p=P(X=k)=()(1-p)y-k,k=0,1,……,n. (k+1 (n+1)p-1≤k≤(m+1)p
➅➴❈þ❺➞Ù➻ê ➅➴❈þ✾Ù➞Ù ➅➴➉þ✦➅➴❈þ✛Õá✺ ➅➴❈þ❺➅➴➉þ➻ê✛➞Ù ✓➅➞Ù➙⑩➀❯Ñ②❣ê✛➼➶❺í✓ ❡P(X = k) ≥ P(X = j), j = 1, 2, · · ·➀✒✛➌❷❾➜❑→k➃ ⑩➀❯Ñ②✛❣ê Ppk = P(X = k) = n k p k (1 − p) n−k , k = 0, 1, . . . . . . , n. pk−1 pk = (1−p)k p(n−k−1) ≤ 1 pk pk+1 = (1−p)(k+1) p(n−k) ≥ 1 } =⇒ (n + 1)p − 1 ≤ k ≤ (n + 1)p ✟(n + 1)p =✒ê➒,✸k = (n + 1)p❺(n + 1)p − 1❄✛❱➬ ✒✚⑩➀❾➯ ✟(n + 1)p 6=✒ê➒, ✸k = [(n + 1)p]❄✛❱➬✒✚⑩➀ ❾✧ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿