《概率论》补充习题第三章 复旦大学《概率论》国家精品课程课题组 013年3月1日 第三章:随机变量与分布函数 1.设随机变量X的分布函数为 0, 0≤x≤丌/2, >丌/2, P(|X|<r/6) 2.设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=ae--1,-∞<x<∞,则常 P(X> 3.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(③3,p).若P(X≥1)=5/9,则P(Y≥ 1) 4.设随机变量X~N(2,a2),且P(2<X<4)=0.3,则P(X<0)= 5.设随机变量X的概率密度函数为 ax+b,0<x<1 f(a) 其他, 且P(X>0.5)=0.625,则a= P(0.25<X<0.5) 6.设随机变量X~N(,a2),则随a的增大概率P{|x-川<aH( A.单调增加 B.单调减小 C.保持不变 D.增减不定 7.设随机变量X的概率密度函数为f(x),分布函数为F(x),若f(-x)=f(x),则对于 任意实数a,总有()
5V«ÿ6÷øSK1nŸ EåÆ5V«ÿ6I[°¨ëßëK| 2013c31F 1nŸµëÅC˛Ü©ŸºÍ 1. ëÅC˛X©ŸºÍè F(x) = 0, x < 0, a sin x, 0 ≤ x ≤ π/2, 1, x > π/2, Ka = , P(|X| < π/6) = . 2. ÎY.ëÅC˛XV«ó›ºÍèf(x) = ae−|x−1| , −∞ < x < ∞, K~ Ía = , P(X > 0) = . 3. ëÅC˛X ∼ B(2, p), ëÅC˛Y ∼ B(3, p). eP(X ≥ 1) = 5/9, KP(Y ≥ 1) = . 4. ëÅC˛X ∼ N(2, σ2 ), ÖP(2 < X < 4) = 0.3, KP(X < 0) = . 5. ëÅC˛XV«ó›ºÍè f(x) = ax + b, 0 < x < 1, 0, Ÿ¶, ÖP(X > 0.5) = 0.625, Ka = , b = , P(0.25 < X < 0.5) = . 6. ëÅC˛X ∼ N(µ, σ2 ),KëσOå,V«P{|X − µ| < σ}( ). A. ¸NO\ B. ¸N~ C. ±ÿC D. O~ÿ½ 7. ëÅC˛XV«ó›ºÍèf(x), ©ŸºÍèF(x), ef(−x) = f(x), KÈu ?ø¢Ía, ok( ). 1
《概率论》补充习题第三章 ∫f(x)dx B. F(a)=0.5-Jo f(a)dr C FGa)= F(a) D.F(-a)=2F(a) 8.设随机变量X~N(0,1),对给定的0<a<1,数za满足P{X>Za}=a.若P{X|> r}=a,则x等于( A Z B.Z1-a/2 C.2 (1-a)/2 9.10件产品中8件为一等品,2件为二等品不放回地抽取产品,每次抽一件,直到取到一 等品为止.记X为抽样次数求X的概率分布与分布函数 10.抽样调査结果表明:某地区考生的外语成绩(百分制)服从正态分布,平均成绩72分, 96分以上者占总人数的23%,求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率 11.某人家住市区东郊,工作单位在西郊,上班有两条路线可选择:一条直穿市区,路程 近,但塞车现象严重所需时间单位分钟)服从正态分布N(30,102;另一条是环城 公路,路程远,但很少塞车,所需时间服从正态分布N(40,42)为保证以较大概率上班 不迟到,问: 1.如上班前50分钟出发,应选哪条路线? 2.如上班前45分钟出发,应选哪条路线? 12.有90台同类型设备,各台设备的工作相互独立,发生故障的概率均为0.01,且一台设 备的故障由一名设备维修人员能够处理配备维修人员的方法有两种:一种是3名维 修人员单独工作,每人负责30台设备的维修;另一种是3名维修人员联合工作,共同 负责90台设备的维修试比较两种设备维修人员方法的优劣 13.已知离散型随机变量X的概率分布为 07/2丌3/2 P0.3020.40.1 求下列随机变量Y的概率分布: (2X-m)2; cos(2X-丌)
5V«ÿ6÷øSK1nŸ A. F(−a) = 1 − R a 0 f(x)dx B. F(−a) = 0.5 − R a 0 f(x)dx C. F(−a) = F(a) D. F(−a) = 2F(a) − 1 8. ëÅC˛X ∼ N(0, 1),Èâ½0 < a < 1,ÍZα˜vP{X > Zα} = α. eP{|X| > x} = α, Kx u( ). A. Zα/2 B. Z1−α/2 C. Z(1−α)/2 D. U1−α 9. 10ᨕ8áèò ¨,2áè ¨.ÿò£/ƒ¨,zgƒòá,Üò ¨èé. PXèƒgÍ.¶XV«©ŸÜ©ŸºÍ. 10. ƒN(JL²:,/´) ä§1(z©õ)—l©Ÿ,²˛§172©, 96©±˛ˆ”o<Í2.3%, ¶) ä§1360©ñ84©ÉmV«. 11. ,<[4½´¿,Û丆3‹,˛Åk¸^¥Çå¿J:ò^ÜB½´,¥ß C, lêyñÓ,§Iûm(¸†:©®)—l©ŸN(30, 102 );,ò^¥Ç¢ ˙¥,¥ß,Èlê, §Iûm—l©ŸN(40, 4 2 ).èy±åV«˛Å ÿ¥,Ø: 1. X˛Åc50©®—u,A¿=^¥Ç? 2. X˛Åc45©®—u,A¿=^¥Ç? 12. k90”a.,àÛäÉp’·,u)ÊV«˛è0.01, Öò Êdò¶ë?< U ?n.ë?< ê{k¸´:ò´¥3¶ë ?< ¸’Ûä, z<KI30ë?;,ò´¥3¶ë?< È‹Ûä,” KI90ë?.£'¸´ë?< ê{`. 13. Æl—.ëÅC˛XV«©Ÿè X 0 π/2 π 3π/2 p 0.3 0.2 0.4 0.1 ¶eëÅC˛YV«©Ÿ: 1. Y = (2X − π) 2 ; 2. Y = cos(2X − π). 2
《概率论》补充习题第三章 14.设随机变量X的概率密度函数为 /m2,0≤x≤丌, 其他. 求Y=sinX的概率密度函数y(y). 15.设随机变量X和Y相互独立,概率分布分别为 PX 0.50.5 P{Y=v}050.5 则P{X=Y} 16.设二维随机向量(X,Y)的分布函数为 1-2-x-2-+2-xy,x≥0,y≥0 其他. 则P{1<X≤2,3<Y≤5}= 17.设二维连续性随机向量(X,Y)的概率密度函数为 x,0≤x≤y≤1, f(a, y) 0,其他, 则P{X+Y≤1}= 18.从1,2,3,4中任取一个数,记为X;再从1X中任取一个数,记为Y,则P{Y=2}= 19.设X和Y为两个随机变量,且 P{X≥0Y、,P{x20}=P{Y20}= 则P{max(X,Y)≥0} 20.设平面区域D由曲线y=1/x及y=0.,x=1,x=e2所围成,二维随机向量(X,Y)在 区域D上服从均匀分布,则X的边缘概率密度函数在x=2处的值为 21.袋中装有同型号小球10只,其中7只红球,3只白球现从袋中随机取球两次每次取一 球,取后不放回.令 若第一次取到白球 1,若第二次取到白球 Y 0,若第一次取到红球 0,若第二次取到红球 1.求(X,Y)的联合概率分布 3
5V«ÿ6÷øSK1nŸ 14. ëÅC˛XV«ó›ºÍè fX(x) = 2x/π2 , 0 ≤ x ≤ π, 0, Ÿ¶. ¶Y = sin X V«ó›ºÍfY (y). 15. ëÅC˛X⁄Y Ép’·,V«©Ÿ©Oè X −1 1 P{X = xi} 0.5 0.5 , Y −1 1 P{Y = yi} 0.5 0.5 KP{X = Y } = . 16. ëëÅï˛(X, Y )©ŸºÍè F(x) = 1 − 2 −x − 2 −y + 2−x−y , x ≥ 0, y ≥ 0 0, Ÿ¶. KP{1 < X ≤ 2, 3 < Y ≤ 5} = . 17. ëÎY5ëÅï˛(X,Y)V«ó›ºÍè f(x, y) = 6x, 0 ≤ x ≤ y ≤ 1, 0, Ÿ¶, KP{X + Y ≤ 1} = . 18. l1,2,3,4•?òáÍ,PèX;2l1,...,X•?òáÍ,PèY,KP{Y = 2} = . 19. X⁄Y è¸áëÅC˛,Ö P{X ≥ 0, Y ≥ 0} = 3 7 , P{X ≥ 0} = P{Y ≥ 0} = 4 7 , KP{max(X, Y ) ≥ 0} = . 20. ²°´çDdÇy = 1/x9y = 0, x = 1, x = e 2§å§,ëëÅï˛(X, Y )3 ´çD˛—l˛!©Ÿ, KX>V«ó›ºÍ3x=2?äè . 21. ï•Ck”.“•10ê,Ÿ•7ê˘•,3êx•.ylï•ëÅ•¸g,zgò •,ÿò£. - X = 1, e1ògx•, 0, e1òg˘• , Y = 1, e1gx•, 0, e1g˘• 1. ¶(X, Y )È‹V«©Ÿ; 3
《概率论》补充习题第三章 计算P{ 22.将一枚硬币连掷三次,以X表示三次中出现正面的次数,以y表示三次中出现正面次 数与反面次数差的绝对值求 1.(X,Y)的联合概率分布; 2.X和Y的边缘概率分布; 3.在Y=1的条件下X的条件概率分布 23.设二维随机向量(x,y)的联合概率密度函数为 f(a, y) a(R-√x2+y2),x2+y2 1.确定常数a; 2.计算随机点(X,Y)落在圆域x2+y2≤r2(r<R)内的概率 24.二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 f(, y) 分e-(x2+y)2(1+ sin. y),-∞<x<∞,-00<y<a 求X与Y的边缘概率密度函数∫x(x)和f(y) 25.设随机向量(X,Y)的联合分布函数为 F(, y=a(b+ 1.确定常数a 2.X和Y是否相互独立? 3.求(X,Y)的概率密度函数f(x,y)和边缘概率密度函数fx(x),fy(y) 26.设某班车在起点站上车的人数X服从参数为A(X>0)的泊松分布,每位乘客在途中 下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立以Y表示中途下车的人数 1.求在发车时有n位乘客的条件下,中途有m位下车的概率 2.写出随机向量(X,Y)的概率分布 27.已知随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 1,0<x<1,0<y<2 0,其他 1.求XY的边缘概率密度函数fx(x),f(y);
5V«ÿ6÷øSK1nŸ 2. OéP{X ≥ Y }. 22. ÚòqM1Îïng,±XL´ng•—y°gÍ,±Y L´ng•—y°g ÍÜá°gÍ ˝Èä.¶: 1. (X, Y )È‹V«©Ÿ; 2. X⁄Y >V«©Ÿ; 3. 3Y = 1^áeX^áV«©Ÿ. 23. ëëÅï˛(X, Y )È‹V«ó›ºÍè f(x, y) = a(R − p x 2 + y 2), x2 + y 2 < R2 , 0, x2 + y 2 ≥ R2 . 1. (½~Ía; 2. OéëÅ:(X,Y)·3 çx 2 + y 2 ≤ r 2 (r < R)SV«. 24. ëëÅï˛(X, Y )È‹V«ó›ºÍè f(x, y) = 1 2π e −(x 2+y 2 )/2 (1 + sin x sin y), −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞, ¶XÜY >V«ó›ºÍfX(x)⁄fY (y). 25. ëÅï˛(X, Y )È‹©ŸºÍè F(x, y) = a(b + arctan x 2 )(c + arctan y 3 ). 1. (½~Ía,b,c; 2. X⁄Y ¥ƒÉp’·? 3. ¶(X, Y )V«ó›ºÍf(x, y)⁄>V«ó›ºÍfX(x), fY (y). 26. ,Åê3Â:’˛ê<ÍX—lÎÍèλ(λ > 0)—t©Ÿ,z†¶ê3• eêV«èp(0 < p < 1),Ö•Âeê܃Ép’·.±Y L´•Âeê<Í. 1. ¶3uêûkn†¶ê^áe,•Âkm†eêV«; 2. —ëÅï˛(X, Y )V«©Ÿ. 27. ÆëÅï˛(X, Y )È‹V«ó›ºÍè f(x, y) = 1, 0 < x < 1, 0 < y < 2x, 0, Ÿ¶ 1. ¶X,Y >V«ó›ºÍfX(x), fY (y); 4
《概率论》补充习题第三章 2.计算P{Y≤0.5X≤0.5} 28.设X,Y是相互独立的随机变量,概率密度函数分别为 y>0, ,f(y)= x≤0, y≤0 其中λ>0,μ>0为常数引入随机变量 z=1, xsy 1.求条件概率密度函数fxy(ly); 2.求Z的概率分布 9.设随机向量(X,Y)是正方形G={(x,y)1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布求随 机变量U=|X-Y1的概率密度函数f(u) 30.设随机变量X,Y相互独立,X的概率分布为 P{X=1}=0.3,P{X=2}=0.7 Y的概率密度函数为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度函数g(u) 1.设随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布在X=x(0<x<1)的条件下,随机变 量Y服从区间(0,x)上的均匀分布求 1.(X,Y)的联合概率密度函数 2.Y的概率密度函数 3.P{X+Y>1} 32.设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 3,0< 其他 1.求X,Y的边缘概率密度 2.求X,Y的条件概率密度; 3.计算P{X+Y>1}与P{Y<0.5X<0.5} 33.设随机变量X1,X2,X3相互独立,且均服从参数为入=1,=0的柯西分布即概率密 度函数为 f(ar) 丌(1+x <x<∝ 5
5V«ÿ6÷øSK1nŸ 2. OéP{Y ≤ 0.5|X ≤ 0.5}. 28. X, Y ¥Ép’·ëÅC˛,V«ó›ºÍ©Oè fX(x) = λe−λx, x > 0, 0, x ≤ 0, , fY (y) = µe−µy, y > 0, 0, y ≤ 0, Ÿ•λ > 0, µ > 0è~Í⁄\ëÅC˛ Z = 1, X ≤ Y, 0, X > Y. 1. ¶^áV«ó›ºÍfX|Y (x|y); 2. ¶ZV«©Ÿ. 29. ëÅï˛(X, Y )¥ê/G = {(x, y)|1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 3} ˛˛!©Ÿ,¶ë ÅC˛U = |X − Y |V«ó›ºÍfU (u). 30. ëÅC˛X, Y Ép’·,XV«©Ÿè P{X = 1} = 0.3, P{X = 2} = 0.7, Y V«ó›ºÍèf(y),¶ëÅC˛U = X + Y V«ó›ºÍg(u). 31. ëÅC˛X—l´m(0, 1)˛˛!©Ÿ,3X = x(0 < x < 1)^áe,ëÅC ˛Y —l´m(0, x)˛˛!©Ÿ.¶ 1. (X, Y )È‹V«ó›ºÍ; 2. Y V«ó›ºÍ; 3. P{X + Y > 1}. 32. ëÅï˛(X, Y )È‹V«ó›ºÍè f(x, y) = x 2 + xy 3 , 0 < x < 1, 0 < y < 2, 0, Ÿ¶. 1. ¶X, Y >V«ó›; 2. ¶X, Y ^áV«ó›; 3. OéP{X + Y > 1}ÜP{Y < 0.5|X < 0.5}. 33. ëÅC˛X1, X2, X3Ép’·,Ö˛—lÎÍèλ = 1, µ = 0Ö‹©Ÿ,=V«ó ›ºÍè f(x) = 1 π(1 + x 2) , −∞ < x < ∞. 5