第二章条件概率与统计独立性 、填空题 批零件共100件,其中90件次品,10件次品。不放回地接连抽取两次,每次 件,第二次才取得正品的概率为 2.设A,B为相互独立的两个事件,且P(AUB)=06,P(4)=0.4,则P(B)= 3.小李欲与小王通电话,小王的机子是分机电话,设小李接通总机的概率为80% 小王分机占线的概率为10%,则小李与小王通话的概率为 4.某种动物由出生活到20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,则现年 岁的这种动物活到25岁的概率为 5.设AcB,P(A)=0,1,P(B)=0.5,则P(4|B) 6.设A,B为两个事件,P(4)=0.5,P(AB)=0.6,P(B|4)=0.8,则P(AUB)= 7.一名工人看管两台独立工作的机床,已知在一小时内甲、乙、丙三台机床需要工人看管 的概率分别为0.9,0.8,0.85,则在一小时内,没有机床需要看管的概率为 8.某型号的电子元件能使用到1000小时的概率为0.9,能使用到1500小时的概率为 0.3现有该型号的电子元件已使用了1000小时,则它能使用到1500小时的概率为 9.设10件同类产品中有4件不合格,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不 合格品,则另一件也是不合格品的概率为 10.三人独立地破译一密码,已知他们能单独译出的概率分别为方3了,则此密码被 译出的概率为 11.设在一次试验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至多发生 次的概率为 12.在100个人中,有1人的生于元旦的概率是 13.三人独立地做一项试验,试验成功的概率分别是24,那么试验都失败的概率 为 14.在三重贝努里试验中,如果至少有一次试验成功的概率为a,则每次试验成功的概 率为 15.若小汽车的车牌号为四位数,则任意遇到的一辆小汽车牌号中不含数字5的概率为 不含两个5的概率为 16.两个灯泡串联在电路中。如果当电压超过额定值时每个灯泡烧坏的概率相等且为 04,则电压超过额定值时电流中断的概率为 选择题 1.设A,B为两个互斥事件,且P(4)>0,P(B)>0,则下列结论中正确的是() (a)P(AB)=P(A) b)P(BJA)=0
<>H DA?CGE=BF 9726 1. Z7R 100 R> 90 RQ9 10 RQ9.9hV~HMQQZ Ri{Q1M Æ9d $ 2. A, B $72s{dqRG P(A ∪ B) = 0.6 P(A) = 0.4 P(B) = 3. >wvr> k4> dB'rBk4 >wV)Bd $ 80 > B6d $ 10 >wr> 4d $ 4. % p,lJd=a 20 __d $ 0.8 =a 25 __d $ 0.4 4. 20 d p,=a 25 d $ 5. A ⊂ B P(A) = 0, 1, P(B) = 0.5 P(A|B) = 6. A, B $qR P(A) = 0.5 P(AB) = 0.6 P(B|A) = 0.8 P(A ∪ B) = 7. Z!Si s{.dBO℄Z>i,L^'\BOHWSi d &$ 0.9, 0.8, 0.85 Z>i,mBOHWi d $ 8. %D(dk'wR-nja 1000 >id $ 0.9 -nja 1500 >id $ 0.3 4m D(dk'wR℄nj 1000 >iÆ-nja 1500 >id $ 9. 10 Rv99 m 4 R.+R TMR℄ MR99 mZRr. +9ZRXr.+9d $ 10. \Ss{h;dZ ℄ -[sdJd &$ 1 5 , 1 3 , 1 4 P dJd $ 11. ZQvS qR A |dd $ p 4[F n Qs{vS A x|dZ Qd $ 12. 100 S m 1 Sddow\d r 13. \Ss{h-Z:vSvSBd &r 1 2 , 1 4 , 1 8 *vSqhd $ 14. \!/xvS X!amZQvSBd $ 37 64 QvSBd $ 15. Z>B?d?2($&}T tadZ>B?2( .%}( 5 d $ .% 5 d $ 16. e5N}k X!_kO>"ynie5`5d 7fG$ 0.4 kO>"ynik vd $ 08:6 1. A, B $2EqRG P(A) > 0, P(B) > 0 2X ÆQdr ( ) (a) P(A|B) = P(A) (b) P(B|A) = 0 1
(c)P(BA)>0 (d)P(AB)= P(A)P(B) 2.设A,B之交为不可能事件,则称A与B( (a)独立 (b)互斥 (c)对立 d)构成!2的一个分割 3.设盒子中有10只木质球(其中3只红色,7只蓝色)与6只玻璃球(其中2只红色,4 只蓝色),从盒中任取一球,以A表示“取到蓝色球”,B表示“取到玻璃球”,则P(B|4)=() 5 4.设P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(4|B)=0.8,则下列结论中正确的是 (a)A与B独立 (b)A与B互斥 (c)B2 A (d)P(A+B)=P(4)+P(B) 5.根据气象部门以往的记录,某省甲、乙两城市在七月份出现雨天的概率分别为04和 0.3,同时出现雨天的概率为0.2,那么在七月份的某一天,当甲城出现雨天时,乙城也出现 雨天的概率为() (a)0.5 (b)0.7 (c)0.6 (d)0 6.甲袋中有3只白球和5只黑球,乙袋中有4只白球和6只黑球。从甲袋中任取一球放 入乙袋,再从乙袋中取出一球放回甲袋,以p1和p2分别表示甲袋中白球数增加和白球数不 变的概率,则() (a)p1>P2 (b)p1<p2 (c)pI (d)(a)或(c) 7.设P(A)=P(B)=0.3,P(UB)=0.7,则() (a)A与B互斥 (b)A与B相互独立 (c)A与B不相互独立 d)A与B不互斥 8.设P(4)=0.3,P(AUB)=0.51,当A与B相互独立时,P(B)=() (a)0.21 (b)0.3 (c)0.81 (d)0.7 9.已知P(4)=m,P(B)=n,P(C)=k,P(AC)=l,且A与B相互独立,B与 C互不相容,则P(AUB∪C)=() (b)m+n+k-l (c)m+n+k-mn (d)m+n+k-mn-ml 10.由3个独立工作的元件串联的电路中,每个元件发生故障的概率依次0.3,0.4,0.6 则电路发生故障的概率为() (a)0.832 (b)0.168 (c)0.072 (d)0.76 11设三门高射炮击中敌机的概率分别23孑,若三门炮同时射击,则敌机被击中的 概率为() 17 (d)1 12.甲口袋中有9只白球和1只黑球,乙口袋中有10只白球,每次从甲、乙两袋中随机 地各取一球交换放入另一口袋中,共做两次,则黑球出现在甲袋中的概率为() (b)0.82
(c) P(B|A) > 0 (d) P(AB) = P(A)P(B) 2. A, B T$.l-qR A r B( ) (a) s{ (b) 2E (c) w{ (d) B Ω dZ 3. ,' m 10 'J (> 3 0℄7 s℄) r 6 *|J (> 2 0℄4 s℄) R, TMZJ_ A %pMas℄JB %pMa*|J P(B|A) = ( ) (a) 3 5 (b) 3 8 (c) 4 7 (d) 4 11 4. P(A) = 0.8 P(B) = 0.7 P(A|B) = 0.8 2X ÆQdr ( ) (a) A r B s{ (b) A r B 2E (c) B ⊃ A (d) P(A + B) = P(A) + P(B) 5. bA<0_!dH %fL^At={J4qd &$ 0.4 ) 0.3 iJ4qd $ 0.2 *={d%Z_LAJ4qi^AXJ4 qd $ ( ) (a) 0.5 (b) 0.7 (c) 0.6 (d) 0.1 6. LY m 3 J) 5 -J^Y m 4 J) 6 -JRLY TMZJ Y^Y~R^Y MJZJ9LY_ p1 ) p2 &%pLY J}K)J}. #d ( ) (a) p1 > p2 (b) p1 < p2 (c) p1 = p2 (d) (a) ? (c) 7. P(A) = P(B) = 0.3 P(A ∪ B) = 0.7 ( ) (a) A r B 2E (b) A r B 72s{ (c) A r B .72s{ (d) A r B .2E 8. P(A) = 0.3, P(A ∪ B) = 0.51 _ A r B 72s{i P(B) =( ) (a) 0.21 (b) 0.3 (c) 0.81 (d) 0.7 9. ℄ P(A) = m P(B) = n P(C) = k P(AC) = l G A r B 72s{ B r C 2.7W P(A ∪ B ∪ C) =( ) (a) m + n + k (b) m + n + k − l (c) m + n + k − mn − l (d) m + n + k − mn − ml 10. l 3 s{.dwRN}dk wR|d d \Q 0.3, 0.4, 0.6 k |d d $ ( ) (a) 0.832 (b) 0.168 (c) 0.072 (d) 0.76 11. \Æb4A gBd & 1 2 , 1 3 , 1 4 Z\4ibAgB A d $ ( ) (a) 7 12 (b) 3 4 (c) 17 24 (d) 1 12. LoY m 9 J) 1 -J^oY m 10 JQRL^Y B hMZJT7YZoY -Q-JJ4LY d $ ( ) (a) 9 10 (b) 0.82 2
(c)0.72 (d)0.756 三、计算、证明题 1.从1到100中任取一个正整数,若这个数是3的倍数,求这个数能被5整除的概率。 2.口袋中有2n-1只白球,2n只黑球,一次取出n只球,发现都是同一种颜色,求它 们都是黑色的概率 3.某医院对400名流感患者进行一种新药的临床试验,其中200人服用这种新药,另外 200人未服用。几天后,有210人痊愈,其中有190个人是服用这种新药者,试用概率论的 方法判断这种新药对治疗流感的疗效 4.把字母S、T、A、T、I、S、T、I、C、S分别写在一张卡片上,充分混和 后重新排列,问正好得到顺序 STATISTICS的概率是多少? 5.若M件产品中包含m件废品,今在其中任取两件,求:(1)取出的两件中至少有 件是废品的概率;(2)已知取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概 率;(3)已知两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率。 6.盒子中有20个同样规格的零件,其中16个是一等品,4个二等品,用不放回抽样接 连取三次,每次取一个,求第三次才取到一等品的概率。 7.设P(A)>0,证明:P(BA4)21-2(B P(A) 8.设参加比赛的15名选手中有5名是种子选手,现将15人随意地分成5组(每组3 人),求每组各有1名种子选手的概率。 9.某人忘记了电话号码的最后一个数字,于是他随意地拨号,求 (1)他拨号不超过3从就接通电话的概率; (2)若已知最后一个数字是奇数,那么他拨号不超过3次就接通电话的概率又是多少? 某种玻璃工艺品对温度的要求很高,制造成功率仅为0.15,试计算必须制作多少件 才能使其中有一件合格品的概率不小于0.9? 11.某零件的加工可在下列两种工艺中选择一种。已知第一种工艺有三道工序,各道工 序出现废品的概率分别为001,0.02,0.03;而第二种工艺有两道工序,每道工序出现废品的 概率均为0.03,问应选择哪一种工艺加工零件? 12.甲箱中装有M个黑球,乙箱中装有M个白球,从乙箱中任意取出一球放入甲箱, 然后从甲箱中任取一球放入乙箱,称此为一次交换。试求经过M次交换后,甲箱中有M个 白球的概率 13.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设每箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1,0.1 顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只,若无残次 品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。求 1)顾客买下该箱的概率; (2)在顾客买下的一箱中确实没有残次品的概率。 14.某食品包装流水线最后一道工序是在外包装上打印日期标志,此项工作由甲、乙两 人承担,他们对日期的漏打率分别是3%和2%,已知经过两人的食品外包装件数之比为 (1)任意抽查一件产品,发现外包装上无日期标志的概率是多少? (2)这件无日期标志的产品是乙漏打的概率是多少 15.甲、乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为06和0.5,在下列两种情形下,分 别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率 1)在甲、乙两人中随机地挑选一人,由他射击一次; 3
(c) 0.72 (d) 0.756 415;36 1. R 1 a 100 TMZÆ }Z }r 3 d}K }- 5 Kd 2. oY m 2n − 1 J 2n -JZQMJ n J|4qrZ Q℄KÆ qr-℄d 3. %[zw 400 ! 8 [FZ BVdOvS> 200 Sj BV 200 S%jF1m 210 SPu> m 190 Srj BV vj d ~}3v BVw d? 4. (& S T A T I S T I C S &AZg8_F<) 1!B1(Æ' aJ STATISTICS d rxa 5. Z M R99 % m R9Y> TMRK (1) MJdR amZ Rr9d (2) ℄MJdR mZRr9dR2ZRXr9dR (3) ℄R mZR.r9dR2ZRr9dR 6. ,' m 20 U dR> 16 rZf9 4 {f9j.9HUV ~M\QQMZKi\Q1MaZf9d 7. P(A) > 0 P(B|A) ≥ 1 − P(B) P(A) 8. 2K [d 15 !Lx m 5 !r 'Lx4S 15 S hB 5 + (+ 3 S) K+m 1 ! 'Lxd 9. %S#Hk4(d,1Z}(or h+(K (1) +(.>" 3 R`Vk4d (2) Z℄,1Z}(r?}* +(.>" 3 Q`Vk4d nrxa 10. % *|`9w'udWK.ÆB Z$ 0.15 vG"I.xaR 1-n> mZR+9d .>o 0.9 11. %RdKl2 ` LZ ℄iZ `m\bJb JJ49d &$ 0.01, 0.02, 0.03 zi{ `mbJbJJ49d e$ 0.03 (fL)Z `KR 12. L8 $m M -J^8 $m M JR^8 T MJZJYL8 R1RL8 TMZJY^8P$ZQT7vK℄" M QT71L8 m M Jd 13. *|B8Jy8 20 M 8% 0, 1, 2 4Q9d 7f$ 0.8, 0.1, , 0.1 Z nvZ8*|iyy MZ8z n Bh8i 4 Z*4Q 92 8*| 9K (1) n2 8d (2) n2dZ8 Qlm4Q9d 14. %k9$~6,1ZbJr $_WeV<$P:.lL^ SDZ wV<d W &r 3 ) 2 ℄℄"Sdk9 $R} $ 8 : 10 (1) T H7ZR99|4 $_*V<$d rxa (2) R*V<$d99r^ Wd rxa 15. L^SwZ($[FbA" &$ 0.6 ) 0.5 2 IE2 &KqR℄($ " ÆrLb d (1) L^S BhLZSl bAZQ 3
(2)甲、乙两人独立地各射击一次 16.(Pωla模型)箱子中装有a只红球和b只黑球,随机地取出一只,把原球放回,并加 进与取出的球同颜色的球c(c≥1)只。如此继续下去,证明每次随机取出一球为黑球的概率 17.对于一个元件,它能正常工作的概率称为它的可靠性。元件组成系统,系统正常工作 的概率称为系统的可靠性。现有一系统,由五个元件组成(如图2-1),如果每个元件的可靠 性均为p,且各元件是否正常工作彼此独立。求 图 2-1 (1)该系统的可靠性 (2)如果系统发生故障,则3号元件发生故障的概率。 8.某厂生产的产品一100件为一批,假定每批产品中的次品最多不超过4件,且有如 下的概率分布: 批产品中的次品数0 0.20.4 0.1 现进行抽样检验,从每批中随机抽取10件进行检验,若发现其中有次品,即认为该批 品不合格。求一批产品通过检验的概率 19.甲、乙、丙三枚导弹同时向一敌机射击,它们击中敌机的概率分别为04,05和07 如只有一弹命中,飞机被击落的概率为0.2;如两弹命中,飞机被击落的概率为0.6;如三弹 命中,则飞机被击落的概率为0.9 (1)求飞机被击落的概率。 (2)如已知飞机被击落,求是两弹命中的概率。 20.为了防止意外,某公司内同时安装了两种报警装置:A和B。已知每种系统单独使 用时,系统A有效的概率为0.92,系统B有效的概率为0.93,且在系统A失效的情况下, 系统B有效的概率为0.85,求 (1)在发生意外时,至少有一个报警系统有效的概率 (2)在系统B失效的情况下,系统A有效的概率。 21.甲、乙两名篮球运动员,投篮的命中率分别为07和0.6,每人投球三次,求 (1)甲、乙两人进球数相等的概率 (2)甲比乙进球数多的概率 试证: 1)如果P(4|B)=P(AB),则事件A与B独立 (2)如果0<P(A),P(B)<1,且P(BA)+P(BA=1,则事件A与B独立
(2) L^Ss{hbAZQ 16.(Polya $D) 8' $m a 0J) b -J BhMJZxJ9)K [rMJdJQ℄dJ c(c ≥ 1) XPIK2N Q BMJZJ$-Jd r b a + b 17. woZwRÆ-Æ;.d $ÆdlkGwR+B00Æ;. d $0dlkG4mZ0l+wR+B (X 2-1) X!wRdlk Ge$ p GwRrÆ;. Ps{K 1 4 3 2 5 2-1 (1) 0dlkG (2) X!0|d 3 (wR|d d 18. %=d9d99Z 100 R$Z7Mn799 dQ9,x.>" 4 RGmX 2d / Z799 dQ9} 0 1 2 3 4 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 4[FHUOSR7 BHM 10 R[FOSZ|4> mQ9EU$ 79 9.+KZ799"OSd 19. L^'\`^i;ZgBbAÆA gBd &$ 0.4, 0.5 ) 0.7 XmZ^" B Ad $ 0.2 X^" B Ad $ 0.6 X\^ " B Ad $ 0.9 (1) KB Ad (2) X℄B AKr^" d 20. $ %,i $ ^$ A ) B ℄ 0[sn ji0 A m?d $ 0.92 0 B m?d $ 0.93 G0 A h?dIq2 0 B m?d $ 0.85 K (1) |d iamZ^0m?d (2) 0 B h?dIq20 A m?d 21. L^!tJ}pytd" &$ 0.7 ) 0.6 SJ\QK (1) L^S[J}7fd (2) L ^[J}xd 22. v (1) X! P(A|B) = P(A|B) qR A r B s{ (2) X! 0 < P(A), P(B) < 1 G P(B|A) + P(B|A) = 1 qR A r B s{ 4
3.若A与B独立,证明{重,A,五,9}中任何一个事件与{重,B,B,2}中任何一个 事件是相互独立的 24.若0<P(B)<1,试证: (1)P(A|B)=P(A|B (2)P(A|B)+P(A|B)=1 均为A与B相互独立的充要条件 25.证明:对于事件A,B,关系式 P2(AB)+P2(AB)+P2(AB+P2(AB 成立的充要条件为 P4)=P(B)=2,P(AB)= 6.如果事件A,B,C相互独立,证明: 1)AUB,AB,AB都分别与C独立 (2)A,B,C相互独立。 27.对同一个目标进行3次独立的射击,第一、第二、第三次射击的命中率分别为0.4,0.5,07 求 (1)在这三次射击中,恰好有一次击中目标的概率 (2)至少有一次击中目标的概率 8.假设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.004,且各个人的血清中是否含肝炎病 毒相互独立,求100个人的血清混合后的血清中含肝炎病毒的概率。 29.(费勒)抽查一个家庭,考察两个事件,A:至多有一个女孩;B:男女孩子都有 假设男女的出生率都是1/2,试证:对3个孩子之家,A与B独立;而对4个孩子之家, A与B不独立 30.事件A,B,C两两独立,ABC=更,P(A)=P(B)=P(C),且已知P( AUBUC) 16,试求P(4) 31.设A,B,C三事件相互独立,求证:(1)AUB,AB,A-B皆与C独立; (2)才 C亦相互独立 32.证明:事件A1,A2,…,An相互独立的充要条件是下列2n个等式成立: P(A 其中A2取A2或x 33.三个工作小组独立对某个密码进行破译,如果他们成功的概率分别为04,0.5, 0.7,试求该密码被成功破译的概率 34.设A1,A2,…,An相互独立,而P(Ak)=pk,试求:(1)所有事件全不发生的概 率;(2)诸事件中至少发生其的概率;(3)恰好发生其一的概率。 5.当元件K或者元件K1及K2都发生故障时电路断开,元件K发生故障的概率等 于0.3,而元件K1,K2发生故障的概率各为02,求电路断开的概率 6.说明“重复独立试验中,小概率事件必然发生”的确切意思。 37.甲袋中有a只白球,b只黑球,乙袋中有α只白球,β只黑球,某人从甲袋中任取 两球投入乙袋,然后在乙袋中任取两球,问最后取出的两球全为白球的概率是多少? 8.设一个家庭中有n个小孩的概率为 >1 0
23. Z A r B s{ { Φ, A, A, Ω } T*ZqRr { Φ, B, B, Ω } T*Z qRr72s{d 24. Z 0 < P(B) < 1 v (1) P(A | B) = P(A | B) (2) P(A | B) + P(A | B) = 1 e$ A r B 72s{dFWR 25. woqR A B 0o P 2 (AB) + P 2 (AB) + P 2 (AB) + P 2 (A B) = 1 4 B{dFWR$ P(A) = P(B) = 1 2 , P(AB) = 1 4 26. X!qR A, B, C 72s{ (1) A ∪ B, AB, AB q&r C s{ (2) A, B, C 72s{ 27. wZ($[F 3 Qs{dbAiZi{i\QbAd" &$ 0.4, 0.5, 0.7 K (1) \QbA C'mZQA ($d (2) amZQA ($d 28. M SdNH % R(rd $ 0.004 GSdNH r% R( r72s{K 100 SdNH<+1dNH % R(rd 29. uH7ZJj8qR A xmZ0$ B +0$'qm M +0dJd qr 1/2 v w 3 $'J A r B s{ zw 4 $'J A r B .s{ 30. qR A B C s{ABC = Φ P(A) = P(B) = P(C) G℄ P(A∪B∪C) = 9 16 vK P(A) 31. A B C \qR72s{K (1) A ∪ B AB A − B Wr C s{ (2) A B C b72s{ ∗32. qR A1, A2, · · · , An 72s{dFWRr2 2 n foB{ P(Aˆ 1Aˆ 2 · · · Aˆ n) = P(Aˆ 1)P(Aˆ 2)· · ·P(Aˆ n) > Aˆ i M Ai ? Ai 33. \.>+s{w% [F;dX! Bd &$ 0.4 0.5 0.7 vK B;dd 34. A1, A2, · · · , An 72s{z P(Ak) = pk vK (1) mqRO.|dd (2) "qR a|d>Zd (3) C'|d>Zd 35. _wR K ? wR K1 D K2 q|d ik vhwR K |d d f o 0.3 zwR K1 K2 |d d $ 0.2 Kk vhd 36. !s{vS > qR"R|ddQF 37. LY m a J b -J^Y m α J β -J%SRLY TM JY^YR1^Y TMJ(,1MJdJO$Jd rxa 38. ZJ m n >$d $ pn = (αpn , n ≥ 1 1 − αp 1 − p , n = 0 5