第一章事件与概率 填空题 1.设A,B,C为三个事件,则至少发生一个可以表示为_,不多于两个可表 示为 2.总经理的5位秘书中有3位精通英语,今偶遇其中的两位,事件“其中有人精通英 语”的概率为 3.将P(4),P(AB),P(AUB),P(4)+P(B)用不等号联系起来 4.盒子中有4个红球、2个白球,从中任取2只,都是红球的概率为 5. it P(A)=P(B)=P(C)=4, P(AB)=P(AC)=P(BC)=,P(ABC)=16,u 事件A,B,C中至少发生一个的概率为 ,至多发生一个的概率为 6.设A,B为两个事件,P(4)=0.5,P(AB)=0.3,则P(AB) 7.袋中有黑白两种颜色的球,黑球的个数是白球的2倍,不放回地依次取球,则第k次 取的白球的概率为 8.随机地向半圆0<y<v2ax-x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概 率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于元的概率为 9.五个同心圆的半径依次为kr(k=1,2,3,4,5)。用线条画满半径为r的圆和内外半径 分别为3r和5r的圆环。在半径为5r的圆中任取一点,则该点落在半径为2r的圆内的概率 为 落在划有线条的区域内的概率为 10.在长为L的线段AB上任意地投两点L及M,则LM的长度小于AL的概率为 11.两个人随机地走进编号为1,2,3,4的四个房间,则恰好有1人走进2号房间的概率 12.在5把钥匙中,有2把能把门打开,现逐把试开,则第三次恰好把门打开的概率为 13.现有10件同类产品,其中6件正品,4件次品,现从中任取3件,则取得的3件中 至少有1件次品的概率为 14.某奖券的开奖号码有0~9这十个数字中任取6个数组成(数字允许重复),则由不 同的6个数字组成开奖号码的概率为 15.某城市有50%的住户订日报,有65%的住户订晚报,有85%的住户至少订这两种报 纸中的一种,那么同时订这两种报纸的住户的百分比为 16.从5双不同的手套中任取4只,那么事件“4只都不配对”的概率为 17.如果A,B两事件满足P(AB)=P(AB),且P(A)=m,则P(B)= 18.任取一正整数N,则N2的最后一位数为1的概率为 N4的最后 位数为1的概率为 选择题
<AC >B=? 9726 1. ℄ A, B, C "XnJ ~[r^SjW"l" (mjj" l" 2. $ZxY 5 %wh 3 %Y^m V'o6Y% nJ6hNY^ mY" 3. K P(A), P(AB), P(A∪B), P(A)+P(B) b([ ~,8s 4. !!h 4 $C 2 C KOF 2 Æ fo$CY" 5. ℄ P(A) = P(B) = P(C) = 1 4 P(AB) = P(AC) = P(BC) = 1 8 P(ABC) = 1 16 ~ nJ A, B, C [r^SY" mr^SY" 6. ℄ A, B "nJ P(A) = 0.5 P(AB) = 0.3 ~ P(AB) = 7. Qh"LYYC "CY|oCY 2 (v0^TJFC ~_ k J FYCY" 8. 4^7t 0 < y < √ 2ax − x 2(a "6|) "S` ` |t"O EnY lEnY5> ~r` `Y2l x YCO9j π 4 Y" 9. *=tY[TJ" kr(k = 1, 2, 3, 4, 5) b2)[" r Yt " [ x#" 3r 5r Yt-|[" 5r YtOFS` ~` |[" 2r Yt"Y " |*h2YEn"Y" 10. |7" L Y2k AB ZOX^` L 9 M ~ LM Y7i9j AL Y" 11. N4^%X " 1, 2, 3, 4 YuH ~; h 1 N%X 2 uHY " 12. | 5 vA h 2 #Ng 0rg ~_XJ; NgY" 13. 0h 10 Jv41 6 6 J1 4 JJ1 0KOF 3 J ~FXY 3 J [h 1 JJ1Y" 14. MIYgM h 0 ∼ 9 |#OF 6 |'>|#yE| ~d( Y 6 |#'>gM Y" 15. =qh 50Y 'dQ h 65Y 'd! h 85Y '[d YS edY 'Yx" 16. K 5 }(Yt OF 4 Æ nJ 4 Æf(+lY" 17. S A, B nJ& P(AB) = P(A B) A P(A) = m ~ P(B) = 18. OFS| N ~ N2 Y(%S%|" 1 Y" N4 Y(%S %|" 1 Y" 08:6 1
1.设A,B,C为三个事件,下列事件中与A互斥的事件是() (a)ABUAC (b)A(BUC) ()AUBU 2.对于两个事件A,B,有P(A-B)=() (a)P(A)-P(B (b)P(A)-P(B)+ P(AB) (c)P(4)-P(AB) (d)P(A)+P(B)-P(AB) 3.袋中有5只球(3红2白),每次取1只,无放回地取两次,则第二次取到红球的概率 为() C 4.若ACB,ACC,P(4)=0.9,P(B∪C)=0.8,则P(ABC)=() (a)0.6 (b)0.7 (c)0.8 (d)0.4 53个人被等可能地分配到4个房间的任一间去,则某指定的房间中恰有2人的概率是 64 16 9 6.一袋中有大小相同的7只球,其中4只白球,3只黑球,现从中任取3只,事件“至 少有2只白球”的概率是() 18 4 7.若两个事件A与B同时出现的概率P(AB)=0,则() (a)AB是不可能事件 (b)A与B为互斥事件 (c)A与B为对立事件 (d)AB不一定是不可能事件 8.三封信随机地投向编号为IIIV的四个邮筒,则I号邮筒内恰好有一封信的概率 64 9.事件A表示“甲产品畅销,乙产品滞销”,则其对立事件才为() (a)甲产品滞销或乙产品畅销 (b)甲产品滞销 (c)甲产品滞销且乙产品畅销 (d)乙产品畅销 10.事件A,B互斥,且P(A)=0.4,P(B)=0.3,则P(BB)=() (a)0.12 (b)0.3 (c)0.42 (d)0 11.设A与B互不相容,且P(4)>0,P(B)>0,则下列结论中背定正确的是() (a)A与B为对立事件 (b)才与互不相容 (c)P(A-B)=P(A)-P(B) (d)P(A-B)=P(A) 12.设g={x-∞<x<+∞},A={x|0≤x<2},B={x|1≤x<3},则 AB=() (a){x10≤x<1 (b){x|0<x<1} (c){rl1≤x<2 d){x|-∞<x<0}U{x|1≤x<+∞}
1. ℄ A, B, C "XnJ .nJl A &BYnJo ( ) (a) AB ∪ AC (b) A(B ∪ C) (c) ABC (d) A ∪ B ∪ C 2. ljnJ A, B h P(A − B) = ( ) (a) P(A) − P(B) (b) P(A) − P(B) + P(AB) (c) P(A) − P(AB) (d) P(A) + P(B) − P(AB) 3. Qh 5 ÆC (3 $ 2 ) JF 1 Æ )v0^FJ ~_qJFW$CY " ( ) (a) 3 5 (b) 3 4 (c) 1 2 (d) 3 10 4. V A ⊂ B A ⊂ C P(A) = 0.9 P(B ∪ C) = 0.8 ~ P(ABC) = ( ) (a) 0.6 (b) 0.7 (c) 0.8 (d) 0.4 5. 3 N[j#^x+W 4 uHYOSHG ~ YuH;h 2 NYo ( ) (a) 3 64 (b) 3 16 (c) 9 64 (d) 5 32 6. SQhO93Y 7 ÆC 6 4 ÆC 3 Æ"C 0KOF 3 Æ nJ [h 2 ÆCYo ( ) (a) 22 35 (b) 18 35 (c) 4 35 (d) 4 7 7. VnJ A l B eE0Y P(AB) = 0 ~ ( ) (a) ABo(j#nJ (b) AlB"&BnJ (c) AlB"l|nJ (d) AB(S o(j#nJ 8. Xy>4^7 " I,II,III,IV Ye ~ II e"; hSy>Y o ( ) (a) 9 32 (b) 9 64 (c) 27 64 (d) 3 64 9. nJ A "lE4198 V418 ~6l|nJ A " ( ) (a) E4182V4198 (b) E418 (c) E418AV4198 (d) V4198 10. nJ A, B &B A P(A) = 0.4 P(B) = 0.3 ~ P(B B) = ( ) (a) 0.12 (b) 0.3 (c) 0.42 (d) 0 11. ℄ A l B &(3R A P(A) > 0 P(B) > 0 ~.T n JYo ( ) (a) A l B "l|nJ (b) A l B &(3R (c) P(A − B) = P(A) − P(B) (d) P(A − B) = P(A) 12. ℄ Ω = {x | − ∞ < x < +∞} A = {x | 0 ≤ x < 2} B = {x | 1 ≤ x < 3} ~ AB = ( ) (a) {x | 0 ≤ x < 1} (b) {x | 0 < x < 1} (c) {x | 1 ≤ x < 2} (d) {x | − ∞ < x < 0} ∪ {x | 1 ≤ x < +∞} 2
13.设P(A)=m,P(B)=n,P(AUB)=k,则P(AB)() 14.在时间间隔T内的任何瞬间,两信号等可能地进入收音机。如果这两个信号的时间 间隔小于t,则收音机受到干扰,则收音机受到干扰的概率为() (a) (b)(号) (d)1-(1-)2 15.在长为l的线段AB上任意投M,N两点,则所得的三条线段长度都不超过某一给 定值a(≤a≤l)的概率为() (a) (b)(1 ()(1-)2 (d)(b)或(c) 、计算、证明题 1.写出下列随机试验的样本空间 (1)掷一枚均匀的骰子两次,观察两次出现的点数之和 (2)某篮球运动员投篮时,连续5次都投中,观察其投篮的次数; (3)记录某班一次数学考试的平均成绩(已百分制记); (4)一射手进行射击,直到击中时为止,观察其设计情况; 5)在单位圆内任选两点,观察这两点的距离 (6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假定最高气温不高于C1,最低气温不低于 2.指出下列关系中哪些成立,哪些不成立: (1)AUB=AB∪B (2)(AUBC=ABC (3)若ACB,则A=AB (4)若ACB,则百c才 5)若AB=O,且CcA,则BC=O (6)(AB)(AB)=0 (7)AB=AUB 3.箱中有3件同样的产品,分别标有1,2,3号,试写出下列随机试验的样本空间,并说 明哪些是古典概型。 (1)从箱中任取两件; (2)从箱中任取一件,不放回箱中,再任取一件; (3)从箱中任取一件,放回箱中,再任取一件; (4)从箱中不放回地接连抽取产品,直到取到1号产品 4.若A,B,C是随机事件,说明下列关系式的概率意义:(1)ABC=A;(2)AUBU A; ( 3)ABCC;(4)ACBC 5.在某班学生中任选一个同学,以事件A表示选到的是男同学,事件B表示选到的人 不喜欢唱歌,事件C表示选到的人是运动员。(1)表述ABC及ABC;(2)什么条件下成 立ABC=A;(3)何时成立CcB;(4)何时同时成立A=B及A=C 6.靶子由10个同心圆组成,半径分别为r1,r2,…,r1o,且r1<r2<…<r1o,以事件 A2表示命中点在半径为r;的圆内,试叙述下列事件的意义 (1)UA (3)A2A 3
13. ℄ P(A) = m P(B) = n P(A ∪ B) = k ~ P(AB)( ) (a) m − n (b) k − n (c) m(1 − n) (d) m(1 − k) 14. |eHH T "YO H > [j#^XTs\4S> YeH H9j t ~s\4vWM ~s\4vWMY" ( ) (a) t T (b) t T 2 (c) 1 − t T 2 (d) 1 − 1 − t T 2 15. |7" l Y2k AB ZOX M, N ` ~XYX2k7if(;S a l 3 ≤ a ≤ l Y" ( ) (a) a l (b) 1 − a l 2 (c) 1 − 3a l 2 (d) (b) 2 (c) 415;36 1. <E.4rNYOoH (1) SexY-!J 3JE0Y`| (2) tCzeste H 5 Jf 36tYJ| (3) SJ|JhrY2e>7Ux (4) S\tXA\3 W3e" 36℄?Br (5) |S%t"OI` 3`Yaw (6) 3^S"Y(:& (\:&F (:&(j C1 (\:&(\j C2 2. E., :>| :(>| (1) A ∪ B = AB ∪ B; (2) (A ∪ B)C = A B C; (3) V A ⊂ B ~ A = AB (4) V A ⊂ B ~ B ⊂ A (5) V AB = Ø A C ⊂ A ~ BC = Ø; (6) (AB)(AB) = Ø; (7) AB = A ∪ B 3. 4h 3 JOY41 x#!h 1, 2, 3 r<E.4rNYOoH & :oa? (1) K4OFJ (2) K4OFSJ (v04 {OFSJ (3) K4OFSJ v04 {OFSJ (4) K4(v0^QDF41 WFW 1 41 4. V A B C o4nJ .,kYXY (1) ABC = A (2) A∪B∪C = A (3) AB ⊂ C (4) A ⊂ BC 5. |J^OISJ WnJ A "lIWYo!J nJ B "lIWYN (+,: nJ C "lIWYNozes (1) "z ABC 9 ABC (2) fJ.> | ABC = A (3) e>| C ⊂ B (4) ee>| A = B 9 A = C 6. Æ!d 10 =t'> [x#" r1, r2, · · · , r10 A r1 < r2 < · · · < r10 WnJ Ai "l`|[" ri Yt" rFz.nJYXY (1) S 6 i=1 Ai (2) T 8 i=1 Ai (3) A2A3 3
7.试录直 UA=A1+五142+五x2A3+…+12x3…n-1An 并对n=4之画出文图 8.表“剪刀这由头这布”游戏造单个样本空间之定的有关事件之并考随一何给定概所 9.若A之B之C之D是四个事件之试用这四个事件表示下说各事件直(1)这四个事 件枚少发生单个值(2)A之B都发生而C之D都最发生值(3)这四个事件恰好发生瞬个直 (4)这四个事件都最发生值(5)这四个事件中枚多发生单个。 *10.从0之1之2之…之9中(机地叙出5个在(可重复)之到E;记某唱在正好出现i 次这单事件(例一52353之既匀于E1之也匀于E2及E)之试用文图表示E0之E1之…之 E6的关系。 11.录明下说等式直 (2)( 2()+3 0 k=0 12.有50件三品之其中有5件次品之其段均表正品之现从中样叙3件之试求直 (1)叙到2件次品的概所值 (2)枚少有1件次品的概所值 (3)枚少有2件次品的概所值 13.从0~9这十个在能中样得选出意个最同的在能之试求下说事件的概所直 (1)意个在能中最含0与5值 (2)意个在能中最含0或最含5值 (3)意个在能中含0但最含5 14.盒男中有10个球之分别子有1~10的号码之现样叙3只之记录其号码。试求下说事 件的概所直 (1)最小号码表5值 (2)最大号码表5值 (3)枚少有单个号码小于6值 (4)单个号码小于5之单个号码等于5之单个号码大于5 15.某城市发行A,B,C意种报纸之经统计之订阅A报的有45%的住户之订阅B报的有 35%的住户之订阅C报的有30%的住户之同时订阅A报与B报的有10%之同时订阅A报 与C报的有8%同时订阅B报与C报的有5%之同时订阅A,B,C报的有3%。试求下说 事件的概所直 (1)只订阅A报的值 (2)只订单种报纸的值 (3)正好订瞬种报纸值 4)枚少订阅单种报纸值 (5)最订阅样单种报纸值 (6)枚多订阅单种报纸 16.现有10本书之其中含瞬套书之单套3卷之另单套4卷之样得地把:们放到书架上排 成单排之求下说事件的概所直 (1)3卷单套的放在单起值
7. r Sn i=1 Ai = A1 + A1A2 + A1A2A3 + · · · + A1A2A3 · · · An−1An &l n = 4 )E' 8. "IVd)g-}SOoH YhnJ &hS 9. V A B C D onJ rbnJ"l.nJ (1) n J[r^S (2) A B fr^n C D f(r^ (3) nJ; r^ (4) nJf(r^ (5) nJmr^S ∗10. K 0 1 2 · · · 9 4^FE 5 |j| W Ei :| E0 i JSnJ{S 52353 Axj E1 Qxj E2 9 E0 rb' "l E0 E1 · · · E6 Y, 11. .[k (1) n 1 + 2 n 2 + 3 n 3 + · · · + n n n = n2 n−1 (2) n 1 − 2 n 2 + 3 n 3 − · · · + (−1)n−1n n n = 0 (3) aX−r k=0 a k + r b k = a + b a − r 12. h 50 J41 6h 5 JJ1 6ke"1 0KOF 3 J rD (1) FW 2 JJ1Y (2) [h 1 JJ1Y (3) [h 2 JJ1Y 13. K 0 ∼ 9 |#OXIEX(Y|# rD.nJY (1) X|#( 0 l 5 (2) X|#( 0 2( 5 (3) X|# 0 T( 5 14. !!h 10 C x#!h 1 ∼ 10 Y 0OF 3 Æ 6 rD.n JY (1) (9 " 5 (2) (O " 5 (3) [hS 9j 6 (4) S 9j 5 S [j 5 S Oj 5 15. =qrA A, B, C X Z? dw A Yh 45 Y ' dw B Yh 35 Y ' dw C Yh 30 Y ' edw A l B Yh 10 edw A l C Yh 8 edw B l C Yh 5 edw A, B, C Yh 3 rD. nJY (1) Ædw A Y (2) ÆdSY (3) d (4) [dwS (5) (dwOS (6) mdwS 16. 0h 10 w 6 w S 3 S 4 OX^ vWwGZ( >S( D.nJY (1) 3 S Yv|S8 4
(2)两套各自放在一起; (3)两套中至少有一套放在一起 (4)两套各自放在一起,还必须按卷次顺序排号 17.从编号为1,2,…,10的十张卡片中任取一张,有放回地先后取7次,每次记下号码 求下列事件的概率 (1)7个编号全不相同 (2)编号不含10和1 (3)编号10恰好出现两次; (4)编号10至少出现两次 18.袋中有n只球,记有号码1,2,…,n,求下列事件的概率:(1)任意取出2球,号 码为1,2;(2)任意取出3球,没有号码1;(3)任意取出5球,号码1,2,3中至 少出现1个 19.袋中装有1,2,…,N号的球各一只,采用(1)有放回;(2)不放回方式摸球,试求 在第k次摸球时首次摸到1号球的概率。 20.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个同样大小的小正方体。从这些小正方体 中任取一个,求这一小正方体的两面涂有油漆的概率。 21.任取一整数N,求N3的最后两个数字均为1的概率。 22.从数1,2,…,n中任取两个,求所得两数之和为偶数的概率。 23.从0,1,…,9中任取有放回地连取4个数,并按出现的先后次序排列,求下列事件的 概率 (1)A1:四个数字组成一四位数 (2)A2:四个数字组成一四位偶数 (3)A3:四个数字中0恰好出现两次; (4)A1:四个数字中0至少出现一次 24.一部电梯从底层开始启动时有6位乘客,设每位乘客在十层楼的任何一层离开的可 能性相同。试求下列事件的概率: (1)A:某指定的一层有两位乘客离开; (2)B:没有两位及两位以上的乘客在同一层离开; (3)C:恰有两位乘客在同一层离开; (4)D:至少有两位乘客在同一层离开 25.从6双不同的手套中任取4只,问其中恰有一双配对的概率是多少? 26.从1~9这九个正整数中,有放回地取3次,每次任取一个,求所得到的三个数之积 能被10整除的概率 27.m个男孩和n个女孩(n≤m)随机地沿着圆桌坐下,试求任意两个女孩都不相邻 的概率。 8.(分赌注问题〕甲、乙二人各岀赌注α,约定谁先胜三局则赢得全部赌注,现已赌 局,甲二胜一负,这时因故中止赌博,若二人赌技相同,问应如何分配赌注,才算公平合 理? 29.从52张扑克牌中任意取出13张,求:(1)有5张黑桃,3张红心,3张方块,2 张草花的概率;(2)牌型分布为7-3-2-1(最长花色有7张,最短花色有1张,其余二花色 分别有3张及2张)的概率。 30.桥牌游戏中(四人各从52张纸牌中分得13张),求4张A集中在一个人手中的概
(2) "v|S8 (3) [hS v|S8 (4) "v|S8 . D JG( 17. K " 1, 2, · · · , 10 Y f/OFS hv0^/%F 7 J J. D.nJY (1) 7 H(3 (2) ( 10 1 (3) 10 ; E0J (4) 10 [E0J 18. Qh n ÆC h 1, 2, · · · , n D.nJY (1) OXFE 2 C " 1 2 (2) OXFE 3 C h 1 (3) OXFE 5 C 1 2 3 [E0 1 19. Q h 1, 2, · · · , N YCSÆ ,b (1) hv0 (2) (v0tkC rD |_ k JCeuJW 1 CY 20. Sqe hf5Ytb> 1000 OO9Y9tK:9t OFS DS9tY hf5Y 21. OFS| N D N3 Y(%|#e" 1 Y 22. K| 1, 2, · · · , n OF DX| "'|Y 23. K 0, 1, · · · , 9 OFhv0^F 4 | & E0Y/%JG( D.nJY (1) A1: |#'>S%| (2) A2: |#'>S%'| (3) A3: |# 0 ; E0J (4) A1: |# 0 [E0SJ 24. S*bÆK℄1gj9eeh 6 %?m ℄%?m| 1YO S1wgYj #B3rD.nJY (1) A: YS1h%?mwg (2) B: h%9%WZY?m|S1wg (3) C: ;h%?m|S1wg (4) D: [h%?m|S1wg 25. K 6 }(Yt OF 4 Æ (6;hS}+lYom[ 26. K 1 ∼ 9 \| hv0^F 3 J JOFS DXWYX| 5 # 10 FY 27. m ! n & n ≤ m 4^M t +. rDOX&f(3 Y 28. xh (EVqNEh a u ~/aX^~`XH*h 0Uh X^ EqaS~ e[ h' VqNh>3 (_S x+h + 2 x 29. K 52 3k)OXFE 13 D (1) h 5 " 3 $= 3 tq 2 .(Y (2) )?x)" 7 - 3 - 2 - 1(7(Yh 7 (j(Yh 1 6kq(Y x#h 3 9 2 Y 30. ?)g-NK 52 )xX 13 D 4 A 8|SNtY 5