积分的定义 在[a,b]取n-1个点，x,g,,且令a=0,b=, =<<<x<x=b,△=-，为，中任 一点，作和 S.-∑fE)△x 记)=max△x,令n一oo,入0，如果极限1im存在， 且对各种不同的取点得到的值都一样，则称在 [a,b上可积，且记极限值为 1imS。=心fx)d n→0,1→0
1 ( ) n n i i i S f x , 0 lim ( ) b n a n S f x dx
微积分基本定理 微积分基本定理有两个部分，第一部分是关于原函数的导 数，第二部分描述了原函数和定积分之间的关系。 ■第一部分：设f为定义在闭区间4，的实数函数。设F为 F(x)=["f(t)dt 所定义的函数。这样，F在区间☑，可导，且对于[☑，内 的任何x,有 F'(=f( [f()d山是一个变上限的定积分，它的值F是f的无穷 多个原函数的其中一个
( ) ( ) x a F x f t dt ( ) x a f t dt
第二部分 设f为定义在闭区间a,的连续实数函数。 设F为f的一个原函数，也就是说，它是使 下式成立的无穷多个函数之一 F'()=f) 那么 ["f(x)dx F(b)-F(a)
( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a
极限！ 导数是“差商”的极限，积分是“和”的极限！ 《原本》卷3： 设给定两个不相等的量，如果从其中较大的量减 药中大药的食全班豆武法采不 继续重复这一过程，必有某个 余量将小于给定的较小的量. 欧多克斯原理 虽然这一思想允许将面积或体积“穷竭”，但是希 腊人从未将这一过程进行到无限，而总是寻找那 不“某个余量”，然后运用“双归谬法”导出矛 盾。所以，希腊的穷竭法”并不是寘正意义上 的极限方法
刘徽：数而求穷者，不用筹算，谓以情推！ 庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 刘徽：割圆术、弧田术、求其微数、阳马术： 阳马（黑）：鳖臑（红）=2：1 “置余广袤高之数各半之， 则四分之三又可知也。半之弥少， 其余弥细，至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉。 数而求穷之者，谓以情推，不用筹算