王312大数定律 定义:设{X}是随机变量序列,数学期望 E(Xk=1,2,)在,若对于任意e>0,有 lim P& ∑ ∑E(Xk)|e}=1 n→> k=1 Xk nk= 工工工 则称随机变量序列{Xn}服从大数定律 上页
§1.2 大数定律 ( )| } 1 1 1 lim {| 1 1 − = = = → n k k n k k n E X n X n P • 定义:设{Xk}是随机变量序列，数学期望 E(Xk )(k=1,2,...)存在，若对于任意ε >0，有 则称随机变量序列{Xn}服从大数定律
王 定理(契比雪夫 Chebyshev)大数定律):设{X}是 两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(X)和方 平差DxXk=121若存在常数C使得D(X 王(=12.).则对于任意给定的e恒有 王叫1取x 证明记x,=∑X 则E(Xn)=E(∑X)=∑E(X) n k=l k=1 工工工 D(X)=D(∑X)=∑D(Xk) n 王所以mP2x,2(x)a=mPx一E(x,)ka lim( D(X ≥lim(1 n→)0 na 上页
( )| } 1 1 1 lim {| 1 1 − = = = → n k k n k k n E X n X n P , 1 1 = = n k n Xk n 记 X • 定理（契比雪夫(Chebyshev)大数定律）:设{Xk}是 两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(Xk )和方 差D(Xk )[k=1,2,...].若存在常数C,使得D(Xk ) ≤C(k=1,2,…),则对于任意给定的ε>0,恒有 证明 ( ) | } 1 1 lim {| 1 1 − = = → n k k n k k n E X n X n 所以 P n C D X n X n D X D n k k n k n = k = =1 =1 ( ) 1 ) 1 ( ) ( ) lim (1 ) 1 ( ) lim (1 2 2 − − = → → n D X C n n n = = = = n k k n k n k E X n X n E X E 1 1 ( ) 1 ) 1 则 ( ) ( = lim {| − ( )| } → n n n P X E X
推论(契比雪夫大数定律的特殊情况:设{Xk}是 平两两不相关的随机变量序列具有相同的数学期望 上E(X)和方差D(x)(k=1,2,),则对于任意给 王定的∞0恒有 lim P&∑Xk-|<}=1 k 中注:B(∑x,)=∑(x)=∥ n k= 上页
| } 1 1 {| 1 lim − = → = n k k n X n P • 推论(契比雪夫大数定律的特殊情况):设{Xk}是 两两不相关的随机变量序列,具有相同的数学期望 E(Xk )=μ和方差D(Xk )=σ2 (k=1,2,…),则对于任意给 定的ε>0,恒有 注: = = = = n k k n k k E X n X n E 1 1 ( ) 1 ) 1 (