《高等数学》课程教学资源（典型例题详解）第八章 重积分

三、典型例题解析 例1求∬Va-x产-k,其中D={x,川x2+y广≤d,x20,y20,a>0 分析fxy)=√层-y严在D上非负，如图8-1所示，其 对应图形是以原点为中心、a为半径的上半球面：D是以xOy面上 原点为中心、α为半径的圆域在第一象限的部分.根据被积函数和 积分区域的特点，可考虑用几何意义或极坐标进行计算. 解法1根据二重积分的几何意义，川√后-x2-少d就是 图8-1 以原点为中心、α为半径的球体在第一卦限部分的体积，所以 解法2采用极坐标直接进行计算。 令x=pcos8,y=psin,则D=(x,0≤p≤a,0s0s ∬F-x-y=∬匠-pdpd0=-aoa-pdd2-p) =d-pr=(孕（号=a 例2设积分区域D由圆(x-2y+心-1=1所围成，且1=∬x+y旷d(k=L2,3), 则(. A.1>12>1.B.1<12<1,.C.1>1,>2. D.1>1>12 分析要比较二重积分值的大小，根据性质4，是要对 不同的被积函数在积分区域上进行比较. -26-=1 解选B.如图8-2所示，当(K)eD时，1≤x≤3， 0≤y≤2.因此，1≤x+y≤5，故有 Is(x+y)s(x+y)s(x+y), 由二重积分的性质即得1<1<： 图8-2 倒3设D=红水+广sr}.试计算极限m守eco+ 分析此题若先求二重积分，再求极限比较困难，可以考虑借助积分中值定理米求解。 解区域D的面积为Sn=2.因为fx,)=e-yco0s(x+)在闭区域D上连续，由积 分中值定理可知，至少存在一点（传，）eD,使得

三、典型例题解析 例1 求 2 2 2 D a x y dxdy − −  ，其中 2 2 2 D x y x y a x y a = +     {( , ) | , 0, 0, 0}． 分析 2 2 2 f x y a x y ( , ) = − − 在 D 上非负，如图 8－1 所示，其 对应图形是以原点为中心、 a 为半径的上半球面； D 是以 xOy 面上 原点为中心、 a 为半径的圆域在第一象限的部分．根据被积函数和 积分区域的特点，可考虑用几何意义或极坐标进行计算． 解法 1 根据二重积分的几何意义， 2 2 2 D a x y dxdy − −  就是 以原点为中心、 a 为半径的球体在第一卦限部分的体积，所以 2 2 2 3 3 1 4 1 8 3 6 D a x y dxdy a a − − =  =    ． 解法 2 采用极坐标直接进行计算． 令 x y = =     cos , sin , 则 {( , ) | 0 ,0 } 2 D x y a  =       ． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 ( ) 2 a D D a x y dxdy a d d d a d a  − − = − = − − −            3 2 2 2 0 1 2[ ( ) ] 2 2 3 a a  = −  −  2 1 3 3 ( ) ( ) 4 3 6 a a  = −  − =  ． 例 2 设积分区域 D 由圆 2 2 ( 2) ( 1) 1 x y − + − = 所围成，且 ( ) ( 1,2,3) k k D I x y dxdy k = + =  ， 则（ ）． A． 1 2 3 I I I   ． B． 1 2 3 I I I   ． C． 1 3 2 I I I   ． D． 3 1 2 I I I   ． 分析 要比较二重积分值的大小，根据性质 4，是要对 不同的被积函数在积分区域上进行比较． 解 选 B．如图 8－2 所示，当 ( , ) x y D 时， 1 3   x ， 0 2  y ．因此， 1 5,  +  x y 故有 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ,  +  +  + x y x y x y 由二重积分的性质即得 1 2 3 I I I   ． 图 8－2 例 3 设   2 2 2 D x y x y r = +  ( , ) ．试计算极限 2 2 2 0 1 lim cos( ) x y r D e x y dxdy  r + − → +  ． 分析 此题若先求二重积分，再求极限比较困难，可以考虑借助积分中值定理来求解． 解 区域 D 的面积为 2 D S r =  ．因为 2 2 ( , ) cos( ) x y f x y e x y − = + 在闭区域 D 上连续，由积 分中值定理可知，至少存在一点 ( , ) ,    D 使得 o x y 1 2 1 2 2 2 ( 2) ( 1) 1 x y − + − = o x y z a a a D 图 8－1

小e2camr+h-之coG+5-eoG+ 令r→0，则(5，)→0,0)，故 p∬ecox+h=6 mcod5+》l. 例4利用重积分的性质估计积分I-川10o+cosx+os丁6的值，其中 D={(x,y)川+b以≤10. 分析根据二重积分的性质对被积函数在积分区域上进行估计. 解法1利用被积函数在积分区域上的单调性估值。积分区域如 图8-3所示.由于 0≤c0s2x≤1,0≤c0s2v≤1 故有100≤100+cos2x+cos2y≤102，因此 图8-3 1 102≤i100+c0s'x+cos'y100 区域D的面积。=200，根据二重积分的性质可知 200 解法2利用二重积分的中值定理估值.由于被积函数在区域D上连续，故在D上至少 存在-点(5小.使得1m+o+7”,又因为 1025100+cs5+es7510a=20, 例5将二重积分1=∬化为二次积分，其中区域D: (1)由抛物线y=x2-1及直线y=1-x所围成： (2)由x=0与曲线y=x2+1以及y=2x所围成. 解(1)区域D如图8一4所示，下面用两种方法来求解。 解法1若将区域D看作X-型区域，即先对y积分。 再对x积分，首先将区域D向x轴投影，得x轴上的区间 [-2,则变量x满足-2≤x≤1，过区间-2，刂上的任一点x作 平行于y轴的直线由下往上穿过区域D,穿入D时经过的边 界曲线方程为y=x2-1,穿出D时经过的边界曲线方程为 y=1-x则y满足-1≤y≤1-x,即

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 cos( ) cos( ) cos( ) x y D D e x y dxdy e S e r r           − − − + = +  = +  ． 令 r 0 → +，则 ( , ) (0,0)   → ，故 2 2 2 0 1 lim cos( ) x y r D e x y dxdy  r + − → +  = 2 2 ( , ) (0,0) lim cos( ) e       − → + =1． 例 4 利用重积分的性质估计积分 2 2 1 100 cos cos D I d x y =  + +  的值，其中 D x y x y = +  {( , ) | 10}． 分析 根据二重积分的性质对被积函数在积分区域上进行估计． 解法 1 利用被积函数在积分区域上的单调性估值．积分区域如 图 8－3 所示．由于 2 0 cos 1  x ， 2 0 cos 1  y ， 故有 2 2 100 100 cos cos 102,  + +  x y 因此 图 8－3 2 2 111 102 100 cos cos 100 x y   + + ， 区域 D 的面积  = 200, 根据二重积分的性质可知 100 200 200 2. 51 102 100 =   = I 解法 2 利用二重积分的中值定理估值．由于被积函数在区域 D 上连续，故在 D 上至少 存在一点 ( , )   ，使得 2 2 1 100 cos cos I    = + + ，又因为 2 2 111 , 102 100 cos cos 100     + +  = 200, 所以 100 200 200 2 51 102 100 =   = I ． 例 5 将二重积分 ( , ) D I f x y dxdy =  化为二次积分，其中区域 D ： （1）由抛物线 2 y x = −1 及直线 y x = −1 所围成； （2）由 x = 0 与曲线 2 y x = +1 以及 y x = 2 所围成． 解 （1）区域 D 如图 8－4 所示．下面用两种方法来求解． 解法 1 若将区域 D 看作 X − 型区域，即先对 y 积分， 再对 x 积分，首先将区域 D 向 x 轴投影，得 x 轴上的区间 [ 2,1], − 则变量 x 满足 −   2 1, x 过区间 [ 2,1] − 上的任一点 x 作 平行于 y 轴的直线由下往上穿过区域 D ，穿入 D 时经过的边 界曲线方程为 2 y x = −1 ，穿出 D 时经过的边界曲线方程为 y x = −1 , 则 y 满足 2 x y x −   − 1 1 ，即 图 8－4 1 2 −2 −1 −1 2 1 o x y y x = −1 2 y x = −1 o x y 10 10 10 10

D={,川x2-1≤y≤1-x-2≤x≤ 于是 I=∬fxy=∫，fx,y 解法2若将区域D看作Y一型区域，即先对x积分，再对y积分，用上述“穿线法” 时注意到当y在[-1,3引中变化时，穿出时经过的边界曲线有两条，因此需要把D划分为两部 分 D={xy川-+isx≤+，-1sy≤03，D,={x,y川-√y+1≤x≤1-y,0≤y≤3， 则有D=DUD,于是 1=/chd=fc,+nf压达 (2)区域D如图8一5所示.下面用两种方法求解。 解法1若将区域D看作X-型区域，则有 D={xl2x≤y≤x2+l,0≤x≤1， 于是 1=j∬fx,d=广fx,y 解法2若将区域D看作Y-型区域，则D=D,UD,其中 D={x,川0≤x≤号，0≤y≤，D=x,川-可≤x≤51≤y≤2 1=j∬fx,hd=fx,+∫ffxy 注化二重积分为二次积分是计算二重积分的关键，难点在于确定二次积分的上、下限， 通常采用“穿线法”： 如果区域D是X一型区域，则要先对y积分后对x积分，即先将积分区域投影在x轴上， 得到x的变化范围，在其上任取x点作平行于y轴的直线，由下向上穿过区域D,则可以得 到y的变化范围，从而得到二次积分的上、下限. 如果区域D是Y-型区域，则要先对x积分后对y积分，即先将积分区域投影在y轴上， 得到y的变化范围，在其上任取y点作平行于x轴的直线，由左向右穿过区域D,则可以得 到x的变化范围。 如果D既不是X-型区域，又不是Y-型区域，则需要添加辅助线，将D分成一些X 型区域和Y-型区域分别计算，然后利用积分区域可加性即可. 化二重积分为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常 数，而外层积分的上、下限一定为常数

2 D x y x y x x = −   − −   {( , ) | 1 1 , 2 1}， 于是 2 1 1 2 1 ( , ) ( , ) x x D I f x y dxdy dx f x y dy − − − = =    ． 解法 2 若将区域 D 看作 Y −型区域，即先对 x 积分，再对 y 积分，用上述“穿线法” 时注意到当 y 在 [ 1,3] − 中变化时，穿出时经过的边界曲线有两条，因此需要把 D 划分为两部 分 1 D x y y x y y = − +   + −   {( , ) | 1 1, 1 0}, 2 D x y y x y y = − +   −   {( , ) | 1 1 ,0 3}, 则有 D D D = 1 2 ，于是 ( , ) D I f x y dxdy =  0 1 3 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) y y y y dy f x y dx dy f x y dx + − − − + − + = +     ． （2）区域 D 如图 8－5 所示．下面用两种方法求解． 解法 1 若将区域 D 看作 X − 型区域，则有 D = 2 {( , ) | 2 1,0 1}, x y x y x x   +   于是 ( , ) D I f x y dxdy =  2 1 1 0 2 ( , ) x x dx f x y dy + =   ． 解法 2 若将区域 D 看作 Y − 型区域，则 D D D = 1 2 ，其中 1 {( , ) | 0 ,0 1}, 2 y D x y x y =     2 {( , ) | 1 ,1 2}, 2 y D x y y x y = −     则 ( , ) D I f x y dxdy =  1 2 2 2 0 0 1 1 ( , ) ( , ) y y y dy f x y dx dy f x y dx − = +     ． 注 化二重积分为二次积分是计算二重积分的关键，难点在于确定二次积分的上、下限， 通常采用“穿线法”： 如果区域 D 是 X − 型区域，则要先对 y 积分后对 x 积分，即先将积分区域投影在 x 轴上， 得到 x 的变化范围，在其上任取 x 点作平行于 y 轴的直线，由下向上穿过区域 D ，则可以得 到 y 的变化范围，从而得到二次积分的上、下限． 如果区域 D 是 Y −型区域，则要先对 x 积分后对 y 积分，即先将积分区域投影在 y 轴上， 得到 y 的变化范围，在其上任取 y 点作平行于 x 轴的直线，由左向右穿过区域 D ，则可以得 到 x 的变化范围． 如果 D 既不是 X − 型区域，又不是 Y − 型区域，则需要添加辅助线，将 D 分成一些 X − 型区域和 Y −型区域分别计算，然后利用积分区域可加性即可． 化二重积分为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常 数，而外层积分的上、下限一定为常数． 2 y x = +1 o x y 1 2 1 2 y x = 2 图 8－5

例6交换下列二重积分的次序： )(o1研)1=fx: (2)4=恤 3)1=fw+w 解(1)由已知的二次积分可知，积分区域为 D={x,y川1-y≤x≤2，-1≤y≤0： 如图8一6阴影部分所示.按照新的积分次序，即先对y后对x积 分，由穿线法可得 D={(xy川l-x≤y≤0,1≤x≤2， 于是 图8-6 1=-,fxh=心fx, (2)由己知的二次积分可知，积分区域为 D={x,-4-y≤x≤4y-y,0≤y≤4. 画出积分区域D,如图8一7所示，按照新的积分次序，即先对 4 y后对x积分，由穿线法可得 D={(x,y川0≤y≤4-x2,-2≤x≤0， 图B D,={x川2-4-F≤y≤2+4-F0≤x≤25 于是 r. (3)由己知的二次积分可知，积分区域 D={x,y10≤y≤V2x-x,0≤x≤l. D={x,)川0≤y≤2-x,1≤x≤2， 画出积分区域D如图8一8所示，按照新的积分次序，即先对x 后对y积分，由穿线法可得 D={xy川1-√-yF≤x≤2-y0≤y≤1， 图8一8 于是 ⅓=x, 注交换二次积分的积分次序的一般步骤为： (1)根据己知的二次积分的上、下限画出积分区域D的草图： (2)交换积分次序，利用“穿线法”得到积分区域D的新的描述方法： (3)写出交换次序后的二次积分

例 6 交换下列二重积分的次序： （1）（01 研） 0 1 1 1 2 ( , ) y I dy f x y dx − − =   ； （2） 2 4 4 2 0 4 ( , ) y y y I dy f x y dx − − − =   ； （3） 2 1 2 2 2 3 0 0 1 0 ( , ) ( , ) . x x x I dx f x y dy dx f x y dy − − = +     解 （1）由已知的二次积分可知，积分区域为 D x y y x y = −   −   {( , ) |1 2, 1 0}， 如图 8－6 阴影部分所示．按照新的积分次序，即先对 y 后对 x 积 分，由穿线法可得 D x y x y x = −     {( , ) |1 0,1 2}， 于是 0 2 1 1 1 ( , ) y I dy f x y dx − − = −  2 0 1 1 ( , ) x dx f x y dy − = −  ． 图 8－6 （2）由已知的二次积分可知，积分区域为 2 D x y y x y y y = − −   −   {( , ) | 4 4 ,0 4}, 画出积分区域 D ，如图 8－7 所示，按照新的积分次序，即先对 y 后对 x 积分，由穿线法可得 2 1 D x y y x x =   − −   {( , ) | 0 4 , 2 0}, 2 2 2 D x y x y x x = − −   + −   {( , ) | 2 4 2 4 ,0 2}, 图 8－7 于是 2 2 2 0 4 2 2 4 2 2 0 0 2 4 ( , ) ( , ) x x x I dx f x y dy dx f x y dy − + − − − − = +     ． （3）由已知的二次积分可知，积分区域 2 1 D x y y x x x =   −   {( , ) | 0 2 ,0 1}, 2 D x y y x x =   −   {( , ) | 0 2 ,1 2}, 画出积分区域 D 如图 8－8 所示，按照新的积分次序，即先对 x 后对 y 积分，由穿线法可得 2 D x y y x y y = − −   −   {( , ) |1 1 2 ,0 1}, 图 8－8 于是 2 1 2 3 0 1 1 ( , ) y y I dy f x y dx − − − =   ． 注 交换二次积分的积分次序的一般步骤为： （1）根据已知的二次积分的上、下限画出积分区域 D 的草图； （2）交换积分次序，利用“穿线法”得到积分区域 D 的新的描述方法； （3）写出交换次序后的二次积分． x y o y x = −2 2 2 ( 1) 1 x y − + = 1 2 1 2 x y o 4 −2 2 2 y x = −4 2 2 x y + − = ( 2) 4 −1 1 2 o x y 1 −1 2

例7求de 分析这是一个先对y后对x的二次积分，由于∫e山不能用初等 函数表示，因此无法直接计算。可考虑先交换积分次序再计算。 解法1积分区域D,如图8一9所示。交换积分次序，则 D={(x川I0≤x≤y,0≤y≤2 图8 从而 [dedy =fdy[evdx=fyedy=-1-e) 解法2利用分部积分法。 心aier=[ferd-aerj =er=,l-e). 分次序. 例8设函数fx)在区间0，上连续，并设∫fx达=A,求1=∫fx)f: 解法11=dfxy)d=fxf0yd,其中 D=(xsys10sxsl), 如图8一10所示，设D关于y=x对称的区域为D,则 D=[0sysx,0sxsl. 对换x、y,被积函数x)不变，则有 图8-10 I/e/oa-/oad 21=()f(yydxdy=[f(x)d[fy)dy=, 因此1=). 解法2利用分部积分法 frr=rd)rd=frdd(rod) "sd"rdndd'f(d) +(["f(rdnd(["f(ndr)

例 7 求 2 2 2 0 y x dx e dy −   ． 分析 这是一个先对 y 后对 x 的二次积分，由于 2 y e dy −  不能用初等 函数表示，因此无法直接计算．可考虑先交换积分次序再计算． 解法 1 积分区域 D ，如图 8－9 所示．交换积分次序，则 D x y x y y =     {( , ) | 0 ,0 2}， 从而 图 8－9 2 2 2 0 y x dx e dy −   2 2 0 0 y y dy e dx − =   2 2 0 y ye dy − =  1 4 (1 ) 2 e − = − ． 解法 2 利用分部积分法． 2 2 2 0 y x dx e dy −   ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 y y x x x e dy xd e dy   − − = −        2 2 4 0 1 (1 ) 2 x xe dx e − − = = −  ． 注 如果先被积的函数为 2 2 2 sin cos 1 ,sin ,cos , , , , ln y x x x x e x x e x x x  等形式时，一定要交换积 分次序． 例 8 设函数 f x( ) 在区间 [0,1] 上连续，并设 1 0 f x dx A ( ) =  ，求 1 1 0 ( ) ( ) x I dx f x f y dy =   ． 解法 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x D I dx f x f y dy f x f y dxdy = =    ，其中 D x y x =     { 1,0 1}， 如图 8－10 所示，设 D 关于 y x = 对称的区域为 D1 ，则 1 D y x x =     {0 ,0 1}． 对换 x y 、 ，被积函数 f x f y ( ) ( ) 不变，则有 图 8－10 1 ( ) ( ) ( ) ( ) D D f x f y dxdy f x f y dxdy =   ． 故 1 1 1 2 0 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) D D I f x f y dxdy f x dx f y dy A = = =    ， 因此 1 2 2 I A = ． 解法 2 利用分部积分法． ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x dx f x f y dy f y dy f x dx f y dy d f t dt = =        1 1 1 1 0 1 0 1 [( ( ) )( ( ) )] ( ( ) ) ( ( ) ) x x x x = − f y dy f t dt f t dt d f t dt      1 2 0 1 1 ( ( ) ) ( ( ) ) x x = + A f t dt d f t dt    D x y o y x = 1 y x = x y o 2 2 D