三、典型例题解析 例1判定下列级数的收敛性，若收敛，求其和。 )26-r6)a>0: 2》6+6*+6m-4W5m+n+. o》+.安+ 分析(1)一般项是两项之差，前项的和5，可以通过消项来求得：(2)一般项需先拆 项，然后前n项的和5，可以通过消项来求得：(3)级数前n项的和5，不容易求得，因此，1mS, 不易求出。但级数前2n项的部分和3，.和前(2n-)项的部分和5，却容易求出，于是可求 出1m5和1imsa,从而可求出im5, 解(1)由于 s,=(6-a)+(6-+(36-6a++(6-2m6+(26-2a=ya-a 故im=lm(6-a)=lim后-a=1-a,即原级数收敛且其和为1-a. 2)由于s6+6++5m-4W5m+ -名拾h+s司 -。.如4如司 11 1 0-3m+号8m+可 故细5兮细+行即原级数收敛且和为号 (3》级数行宁京++士-+.前2如装的部分和为 方写京家.+分字 传京++)得京**) 时
三、典型例题解析 例 1 判定下列级数的收敛性，若收敛，求其和． （1） 2 1 2 1 1 ( ) ( 0) n n n a a a + − = − ； （2） 1 1 1 1 6 6 11 (5 4)(5 1) n n + + + + − + ； （3） 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 n n − + − + + − + ． 分析 （1）一般项是两项之差，前 n 项的和 n s 可以通过消项来求得；（2）一般项需先拆 项，然后前 n 项的和 n s 可以通过消项来求得；（3）级数前 n 项的和 n s 不容易求得，因此， lim n n s → 不易求出．但级数前 2n 项的部分和 2n s 和前 (2 1) n − 项的部分和 2 1 n s − 却容易求出，于是可求 出 2 lim n n s → 和 2 1 lim n n s − → ，从而可求出 lim n n s → ． 解 （1）由于 3 5 3 7 5 2 1 2 3 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n s a a a a a a a a a a − − + − = − + − + − + + − + − 2 1 = n a a + − ． 故 2 1 lim lim( ) n n n n s a a + → → = − 2 1 lim n n a a + → = − = −1 a ，即原级数收敛且其和为 1− a ． （2）由于 1 1 1 1 6 6 11 (5 4)(5 1) n s n n = + + + − + = 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 5 6 5 6 11 5 5 4 5 1 n n − + − + + − − + = 1 1 1 1 1 1 (1 ) 5 6 6 11 5 4 5 1 n n − + − + + − − + = 1 1 1 1 (1 ) 5 5 1 5 5(5 1) n n − = − + + ． 故 1 1 1 lim lim 5 5(5 1) 5 n n n s → → n = − = + ，即原级数收敛且和为 1 5 ． （3）级数 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 n n − + − + + − + 前 2n 项的部分和为 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 n n n s = − + − + − + = 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n + + + − + + + = 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 3 n n − − − − − = 1 1 1 2 2 2 3 n n − +
故m=又因为m=m(一=之从而5-号故原级数收敛且和为 例2设级数∑a,收敛，问级数∑a,2是否收敛？为什么？ 解级数立a,收敛，级数立a,可能收敛也可能发散.如级数(-少方收敛，但级 数却发散：又如级数-r片收敛，级数三是也收敛。 错误解者由于级数空a,收敛。所以一a0,故一受-0，从雨由比较审效法知 级数∑a,收敛 错解分析比较审敛法只适用于正项级数，而题目中并未告知级数∑，是正项级数。 故此种解法是错误的. 例3判别下列级数是否收敛？ (2)e6: (3)tam受： (4) 1 名白+天 分析（)所给级数是正项级数，其一般项是么，-2+少，由于 =2x+(,%≤岁3x。 故此级数的收敛性可用收敛级数的性质、比较审敛法或根值审敛法等方法来判别。 (2)所给级数是正项级数，其一般项是以，=e,由于 2=恤e=mem=e=i. 故比值审敛法失效，可用比较审敛法. (3)所给级数是正项级数，其一般项是%，=mm,注意到当n→∞时， 4,=㎡am2-交 因此原级数与级数∑”同时收敛同时发散.故只需判别级数∑”的收敛性就可以了。 =2 )所给级数是正项级数，其一般项是，”一由于一般项中含有定积分， 故用比较审敛法来判别其收敛性为宜
故 2 1 lim 2 n n s → = ，又因为 2 1 2 1 lim lim( ) 3 n n n n n s s − → → = − 1 2 = ，从而 1 lim 2 n n s → = ．故原级数收敛且和为 1 2 ． 例 2 设级数 1 n n a = 收敛，问级数 2 1 n n a = 是否收敛？为什么？ 解 级数 1 n n a = 收敛，级数 2 1 n n a = 可能收敛也可能发散．如级数 1 1 ( 1)n n n = − 收敛，但级 数 1 1 n n = 却发散；又如级数 1 1 ( 1)n n n = − 收敛，级数 2 1 1 n n = 也收敛． 错误解答 由于级数 1 n n a = 收敛，所以 lim 0 n n a → = ，故 2 lim 0 n n n a → a = ，从而由比较审敛法知 级数 2 1 n n a = 收敛． 错解分析 比较审敛法只适用于正项级数，而题目中并未告知级数 1 n n a = 是正项级数， 故此种解法是错误的． 例 3 判别下列级数是否收敛？ （1） 1 2 ( 1) 2 n n n = + − ； （2） 1 n n e − = ； （3） 2 2 tan 2 n n n = ； （4） 4 4 1 0 1 1 n n x dx = + ． 分析 （1）所给级数是正项级数，其一般项是 2 ( 1) 2 n n n u + − = ，由于 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 n n n u = + − ， 2 1 1 3 ( ) 2 2 n n n u + = ， 故此级数的收敛性可用收敛级数的性质、比较审敛法或根值审敛法等方法来判别． （2）所给级数是正项级数，其一般项是 n n u e − = ．由于 1 1 1 0 1 lim lim lim 1 n n n n n n n n n u e e e u − + − + + + → → → = = = = = ， 故比值审敛法失效，可用比较审敛法． （3）所给级数是正项级数，其一般项是 2 tan 2 n n u n = ，注意到当 n → 时， 2 2 tan 2 2 n n n n u n = ， 因此原级数与级数 2 2 2 n n n = 同时收敛同时发散．故只需判别级数 2 2 2 n n n = 的收敛性就可以了． （4）所给级数是正项级数，其一般项是 4 4 0 1 1 n n u x dx = + ．由于一般项中含有定积分， 故用比较审敛法来判别其收敛性为宜．
解（1)解法1由于”=2x分+(，而级数22×分和立都收敛，由 收敛级数的性质可知所给级数收敛。 解法2由于u2+,少>0m=12,故所给级数是正项级数。又由于 4s#3x分 且正项级数∑3×（分了收敛，故由比较审敛法知所给级数收敛。 解法3由于以.2+少>0m=12,故所给级数是正项级数。又由于 2 p=6-可- 故由根值审敛法知原级数收敛。 错误解答因为极限 义24r把 2+(-1 不在圆为若则驼有两个子爱→.→因 此园一回不有在)自比值审效法可知医经的收数性不能案定 错解分析在比值审敛法中，极限一存在仅仅是判别正项级数收敛性的充分条件， 而不是必要条件 (2)由于，=e5>0(n=1,2,),故所给级数是正项级数.由幂级数展开式： 可得 =s 1 24 +万+++@1 而正项级数得收敛，由比较审敛法知原级数收敛。 (3)由于，=㎡tan>0(n=2,3,4,故所给级数是正项级数.又由于当n→o时 令元一受，由比较审敛法知服级数与正项级数交同时收效同时发散。注意到
解 （1）解法 1 由于 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 n n n u = + − ，而级数 1 1 2 ( ) 2 n n = 和 1 1 ( ) 2 n n = − 都收敛，由 收敛级数的性质可知所给级数收敛． 解法 2 由于 2 ( 1) 0 ( 1,2, ) 2 n n n u n + − = = ，故所给级数是正项级数．又由于 2 1 1 3 ( ) 2 2 n n n u + = ， 且正项级数 1 1 3 ( ) 2 n n = 收敛，故由比较审敛法知所给级数收敛． 解法 3 由于 2 ( 1) 0 ( 1,2, ) 2 n n n u n + − = = ，故所给级数是正项级数．又由于 2 ( 1) 1 lim lim 1 2 2 n n n n n n n u → → + − = = = ， 故由根值审敛法知原级数收敛． 错误解答 因为极限 1 1 1 1 2 ( 1) 2 1 2 ( 1) lim lim lim 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) n n n n n n n n n n n u u + + + → → → + + − + − = = + − + − 不存在.（因为，若令 1 2 ( 1) 2 ( 1) n n n x + + − = + − ，则它有两个子数列： 2 1 3 k x − → ， 2 1 3 k x → （ k → + ）．因 此， 1 2 ( 1) lim lim 2 ( 1) n n n n n x + → → + − = + − 不存在．）由比值审敛法可知原级数的收敛性不能确定． 错解分析 在比值审敛法中，极限 1 lim n n n u u + → 存在仅仅是判别正项级数收敛性的充分条件， 而不是必要条件． （2）由于 0 ( 1,2, ) n n u e n − = = ，故所给级数是正项级数．由幂级数展开式： 2 1 . ( ) 2! ! n x x x e x x n = + + + + + − + ， 可得 234 2 1 1 24 ( ) ( ) ( ) 1 2! 3! 4! n n u e n n n n n = + + + + ， 而正项级数 2 1 24 n n = 收敛，由比较审敛法知原级数收敛． （3）由于 2 tan 0 ( 2,3,4, ) 2 n n u n n = = ，故所给级数是正项级数．又由于当 n → 时 2 2 tan 2 2 n n n n u n = ， 令 2 2 n n n v = ，由比较审敛法知原级数与正项级数 2 n n v = 同时收敛同时发散．注意到
p=2gr品-1 可知级数∑，收敛，因此原级数也收敛。 心由于r3京么>0a=12藏所价级数是正项级数。又由于 1 “C-vaapan 1 且正项级数子收敛。故由比较审敛法知原级数收敛。 注1用比较审敛法米判别正项级数的收敛性时 a.若用不等式形式，则应该将原级数的一般项放大为一个收敛级数的一般项（此时可 断定原级数收敛)，或者将原级数的一般项缩小为一个发散级数的一般项（此时可断定原级 数发散). b.若用极限形式，则应该考察级数一般项趋于无穷小时的阶。当它是。的k(化>)阶 无穷小时，则可断定原级数收敛：当它是二的同阶或低阶无穷小时，则断定原级数发散 注2判别级数收敛性时必须先确定级数的类型，然后用相应的审敛法. 例4判别下列级数的收敛性： (2)∑mB”(a为任意实数，B20): 分析D所合经数是正项级数。其一酸暖是收一侣高，含有阶乘，做用比值审数法北 较好. (2)所给级数是正项级数，其一般项是认='P广，含有n次幂，故可用根值审敛法也 可用比值审敛法来判别. (3)所给级数是正项级数。其一般项是以，一，含有阶乘，故用比值审敛法判别收 敛性比较好. n2 解(D由于，一20，(m=123.》故所给级数是正项级数、又由于 兰f器- (n+1
2 1 1 2 ( 1) 2 lim lim 2 n n n n n n v n v n + → → + + = = 2 2 ( 1) 1 lim 1 n 2 2 n → n + = = ， 可知级数 2 n n v = 收敛，因此原级数也收敛． （4）由于 4 4 0 1 0 ( 1,2,3, ) 1 n n u n x dx = = + ，故所给级数是正项级数．又由于 2 4 4 4 4 0 0 0 1 1 1 2 1 n n n n u n x dx x dx xdx = = = + ， 且正项级数 2 1 2 n n = 收敛，故由比较审敛法知原级数收敛． 注 1 用比较审敛法来判别正项级数的收敛性时 a．若用不等式形式，则应该将原级数的一般项放大为一个收敛级数的一般项（此时可 断定原级数收敛），或者将原级数的一般项缩小为一个发散级数的一般项（此时可断定原级 数发散）． b．若用极限形式，则应该考察级数一般项趋于无穷小时的阶．当它是 1 n 的 k k ( 1) 阶 无穷小时，则可断定原级数收敛；当它是 1 n 的同阶或低阶无穷小时，则断定原级数发散． 注 2 判别级数收敛性时必须先确定级数的类型，然后用相应的审敛法． 例 4 判别下列级数的收敛性： （1） 2 1 ( !) n (2 )! n n = ； （2） 2 n n n = （ 为任意实数， 0 ）； （3） 1 ! n n n a n n = （ a 0 ）． 分析（1）所给级数是正项级数，其一般项是 2 ( !) (2 )! n n u n = ，含有阶乘，故用比值审敛法比 较好． （2）所给级数是正项级数，其一般项是 n n u n = ，含有 n 次幂，故可用根值审敛法也 可用比值审敛法来判别． （3）所给级数是正项级数，其一般项是 ! n n n a n u n = ，含有阶乘，故用比值审敛法判别收 敛性比较好． 解 （1）由于 2 ( !) >0 (2 )! n n u n = ，（ n =1,2,3, ），故所给级数是正项级数．又由于 2 2 1 2 [( 1)!] (2 )! ( 1) 1 lim lim lim 1 [2( 1)]! ( !) (2 2)(2 1) 4 n n n n n u n n n u n n n n + → → → + + = = = + + + =
故由比值审敛法知原级数收敛. (2)由于，=㎡B≥0(n=2,3,4),故所给级数是正项级数.又由于 p=lim=lim㎡F=B1im原=B, 或 p-发-a-(告a 故由根值审敛法（或比值审敛法）知：当0≤B<1时，原级数收敛：当>1时，原级数发散 而当B=时，原级数变为∑㎡，当a<-l时，级数收敛：当a2-l时，级数发散. 综上所述：当0≤B<1,a为任意实数时，原级数收敛：当B>1,a为任意实数时， 原级数发散：当=1，a<-1时，原级数收敛：当B=1,a≥-1时，原级数发散 (3)由于=0a>0m=123,故所给级数是正项级数。又由于 a= 故由比值审敛法知当0<a<e时，原级数收敛：当a>e时，原级数发散：当a=e时，考察 e 的值。由极限m+月=e的推导过程可知：数列1+广=12,3)是单调增加的，并且 有上界e,即有 0+r<em=l,23 因此有 由此可得>4，(n=L2,3).而4=，故1im机，≠0，由级数收敛的必要条件可知原级 数发散 综上所述：当0<a<e时，原级数收敛：当a≥e时，原级数发散. 例5正明级数0+片广收敛。并由此证明=三0+以0 分析所给级数是正项级数，其一般项是化=子+片，含有n次幂，故用根值审敛
故由比值审敛法知原级数收敛． （2）由于 0 ( 2,3,4, ) n n u n n = = ，故所给级数是正项级数．又由于 lim lim lim n n n n n n n n u n n → → → = = = = ， 或 1 1 ( 1) 1 lim lim lim ( ) n n n n n n n u n n u n n + + → → → + + = = = = ， 故由根值审敛法(或比值审敛法)知：当 0 1 时，原级数收敛；当 >1 时，原级数发散； 而当 =1 时，原级数变为 n 1 n = ，当 −1 时，级数收敛；当 −1 时，级数发散． 综上所述：当 0 1 ， 为任意实数时，原级数收敛；当 1， 为任意实数时， 原级数发散；当 =1， −1 时，原级数收敛；当 =1， −1 时，原级数发散． （3）由于 ! >0 ( 0, 1,2,3, ) n n n a n u a n n = = ，故所给级数是正项级数．又由于 1 1 1 ( 1)! lim lim lim ( 1) ! 1 (1 ) n n n n n n n n n n u a n n a a u n a n e n + + → → → + + = = = = + + ， 故由比值审敛法知当 0 a e 时，原级数收敛；当 a e 时，原级数发散；当 a e = 时，考察 1 ( 1,2,3, ) 1 (1 ) n n n u e n u n + = = + , 的值．由极限 1 lim(1 )n n e → n + = 的推导过程可知：数列 1 (1 ) ( 1,2,3, ) n n n + = 是单调增加的，并且 有上界 e ，即有 1 (1 ) ( 1,2,3, ) n e n n + = ， 因此有 1 1 1 (1 ) n n n u e u n + = + ， 由此可得 1 ( 1,2,3, ) n n u u n + = ．而 1 u e = ，故 lim 0 n n u → ，由级数收敛的必要条件可知原级 数发散． 综上所述：当 0 a e 时，原级数收敛；当 a e 时，原级数发散． 例 5 证明级数 2 1 1 1 (1 ) 3 n n n n = + 收敛，并由此证明 2 1 1 1 1 lim (1 ) 0 3 n k k x n k k → = + = ． 分析 所给级数是正项级数，其一般项是 1 1 2 (1 ) 3 n n n u n = + ，含有 n 次幂，故用根值审敛