三、典型例题解析 例1求下列不定积分 (2)∫(F+1F-I) 分析术利用琴函数的积分公式：=。十+C求积分时，应当先将技积西数中第面 数写成负指数幂或分数指数幂的形式. 架气小cc 2)j+iF-=j+-=+号-子-x+c 例2求jx+. 分析将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和. 解jc+衣=+2+h=可r+2+ -++nl时+c. 例3求下列不定积分 w2e52 35 (2)∫+3+1」 x2+1 分析(1)将被积函数拆开，用指数函数的积分公式：(2)分子分母都含有偶数次幂， 将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式. 2(5y 解2=写-可血=2C e产a点aac x+1 例4求下列不定积分. 1 分析根据被积函数分子、分母的特点，利用常用的恒等变形，例如：分解因式、直接 拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解成几项之和即可求解】 解0片-+京点 小+-子 C:
三、典型例题解析 例 1 求下列不定积分． （1） 2 dx x x ． （2） 3 ( 1)( 1) x x dx + − ． 分析 利用幂函数的积分公式 1 1 1 n n x dx x C n + = + + 求积分时，应当先将被积函数中幂函 数写成负指数幂或分数指数幂的形式． 解 （1） 5 3 2 2 5 1 2 2 5 2 1 2 1 ( ) 3 dx x dx x C x C x x − − + − = = + = − + + − ． （2） 3 5 3 1 3 2 3 2 2 2 2 1 2 2 ( 1)( 1) ( 1) 3 5 3 x x dx x x x dx x x x x C + − = + − − = + − − + ． 例 2 求 1 2 ( ) x dx x + ． 分析 将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和． 解 1 2 2 2 1 1 ( ) ( 2 ) x dx x x dx x x + = + + 1 2 2 1 x dx x dx dx 2 x = + + 3 3 2 1 4 ln 3 3 = + + + x x x C ． 例 3 求下列不定积分． （1） 2 5 2 3 x x x e dx − ． （2） 4 2 2 3 3 1 1 x x dx x + + + ． 分析 （1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；（2）分子分母都含有偶数次幂， 将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式． 解 （1） 2 2 ( ) 5 ( ) 2 5 2 2 3 3 2 ( ) 5 ( ) 3 3 3 1 ln 3 ln 2 ln 3 x x x x x x x e e e dx dx dx C − = − = − + − − ． （2） 4 2 2 3 2 2 3 3 1 1 3 arctan 1 1 x x dx x dx dx x x C x x + + = + = + + + + ． 例 4 求下列不定积分． （1） 2 4 2 2 1 (1 ) x x dx x x + + + ． （2） 4 2 1 x dx + x ． （3） 2 2 1 (1 ) dx x x + ． 分析 根据被积函数分子、分母的特点，利用常用的恒等变形，例如：分解因式、直接 拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解成几项之和即可求解． 解 （1） 2 4 2 2 2 2 1 1 1 (1 ) (1 ) 1 x x dx dx x x x x + + = + − + + 2 2 1 1 1 dx dx dx x x = + − + 1 x x C arctan x = − − + ．
a =-+》 1+x =小e-+子 aca x+C. -时-小2在=士mx+c 例5求下列不定积分 j ajmn (3)[cot'xdx. cos2x (4∫m 分析当被积函数是三角函数时，常利用一些三角恒等式，将其向基本积分公式表中有 的形式转化，这就要求读者要牢记基本积分公式表. 解)j+os2=可2o女=nx+c. ( cosx-sinx =(cosx+sinx)dx=sinx-cosx+C (3)[cot'xd=[(cse'x-D)dx=-cotx-x+C. ( 小小d女 =∫csc2xd-∫sc2 -cotx-tanx+C. 例6求下列不定积分 (1)∫(7x-9k (2)∫ar2+bjdk.(a≠0) (3)c 4∫+ (s)∫片sin(Inx)dx (6)∫cow女
（2） 4 4 2 2 ( 1) 1 1 1 x x dx dx x x − + = + + 2 2 2 ( 1)( 1) 1 1 x x dx x − + + = + 2 2 1 ( 1) 1 x dx dx x = − + + = x − x + arctan x + C 3 1 3 ． （3） 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ) (1 ) x x dx dx x x x x + − = + + 2 2 1 1 1 dx dx x x = − + 1 arctan x C x = − − + ． 例 5 求下列不定积分． （1） 1 1 cos 2 dx + x ． （2） cos 2 cos sin x dx x x − ． （3） 2 cot xdx ． （4） 2 2 cos 2 sin cos x dx x x ． 分析 当被积函数是三角函数时，常利用一些三角恒等式，将其向基本积分公式表中有 的形式转化，这就要求读者要牢记基本积分公式表． 解 （1） 2 1 1 1 tan 1 cos 2 2cos 2 dx dx x C x x = = + + ． （2） 2 2 cos2 cos sin cos sin cos sin x x x dx dx x x x x − = − − = + = − + (cos sin ) sin cos x x dx x x C ． （3） 2 2 cot (csc 1) cot xdx x dx x x C = − = − − + ． （4） 2 2 2 2 2 2 cos2 cos sin sin cos sin cos x x x dx dx x x x x − = 2 2 1 1 sin cos dx dx x x = − 2 2 = − csc sec xdx xdx = − − + cot tan x x C ． 例 6 求下列不定积分． （1） 99 (7 9) x dx − ． （2） 1 2 ( ) n x ax b dx + ．（ a 0 ） （3） 2 3 2 (cos ) x dx x ． （4） 1 (1 ) dx x x + ． （5） 1 sin(ln ) x dx x ． （6） 2 1 1 cos( )dx x x ．
1 (7)∫snx-6smx+2 cosxdx s- (9)j+在 sin'x o器 (I）j+an. 1+x2 分析这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法， 解1Djx-9=x-9y产ax-9y=707x-9y+C （2)jm2+b妒=2Jar2+bda2+b)=2a+nam+b+C ojop-pmr+c wld-源2i+c (5)[sin(lnx)dx =[sin(nx)d(lnx)=-cos(Inx)+C. 6片cos=-小os-sm+c mn市方mc cosxdx (cwinmn)c. 1 1 (yea)-Juc-fiaivoms =-cotx-子(cotx+C. (10(arcsin )( -x =÷女+a 1+x 1+x2 ).fowwni.ocn )+(arctax)+C. 注用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验 的积累。而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径.因此需要牢记基本积分公 式，这样凑微分才会有目标.下面给出常见的12种凑微分的积分类型
（7） 2 cos sin 6sin 12 xdx x x − + ． （8） 2 2 1 cos 1 tan dx x x − ． （9） 2 1 cot sin x dx x + ． （10） 2 2 arcsin 1 x dx − x ． （11） 3 2 2 (arctan ) 1 x x dx x + + ． 分析 这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法． 解 （1） 99 99 100 1 1 (7 9) (7 9) (7 9) (7 9) 7 700 x dx x d x x C − = − − = − + ． （2） 1 1 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 n n x ax b dx ax b d ax b a + = + + 1 2 ( ) 2 ( 1) n n n ax b C a n + = + + + ． （3） 2 3 2 (cos ) x dx x 3 3 3 2 1 1 tan 3 (cos ) 3 dx x C x = = + ． （4） 2 1 2 2arctan (1 ) 1 ( ) d x dx x C x x x = = + + + ． （5） 1 sin(ln ) x dx x = = − + sin(ln ) (ln ) cos(ln ) x d x x C ． （6） 2 1 1 cos dx x x 1 1 1 cos ( ) sin d C x x x = − = − + ． （7） 2 cos sin 6sin 12 xdx x x − + 2 (sin 3) 1 sin 3 arctan (sin 3) 3 3 3 d x x C x − − = = + − + ． （8） 2 2 1 cos 1 tan dx x x − 2 1 (tan ) arcsin(tan ) 1 tan d x x C x = = + − ． （9） 2 1 cot sin x dx x + 1 2 = − + [1 (cot ) ] (cot ) x d x 1 2 = − − d x x d x cot (cot ) cot 3 2 2 cot (cot ) 3 = − − + x x C ． （10） 2 2 arcsin 1 x dx − x 2 3 1 arcsin (arcsin ) (arcsin ) 3 = = + xd x x C ． （11） 3 2 2 (arctan ) 1 x x dx x + + 3 2 2 2 (arctan ) 1 1 x x dx dx x x = + + + 2 3 2 2 1 (1 ) (arctan ) (arctan ) 2 1 d x x d x x + = + + 5 2 2 1 2 ln(1 ) (arctan ) 2 5 = + + + x x C ． 注 用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验 的积累．而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径．因此需要牢记基本积分公 式，这样凑微分才会有目标．下面给出常见的 12 种凑微分的积分类型．
(1((+bd(+)() 2)aa=aJaa: (3)[f(sinx)cosxd=f(sin.x)d(sinx): 适用于求形如sin"xcos2xd的积分，(m,n是自然数). (4)[f(cosx)sinxd=-f(cosxd(cosx): 适用于求形如∫sin2-xcos”xdk的积分，（m,n是自然数). (5)[f(tanx)sec'xdx=[f(tanx)d(tanx): 适用于求形如∫tan”xsec2”x的积分，(m,n是自然数 (6)[f(cotx)cscixd=-[f(cotx)d(cotx): 适用于求形如是∫co"xcsc2"xt的积分，(m,n是自然数)， (7)ff(lnx)d=ff(nx)dlnx; (8)j/利-F=可/(arcsin)(((acsin.x: （o)j/g女-fwdmMam: (11)ref(orecotareco) )得-高on: 例7求下列函数的不定积分： (1)∫cos2xk. (2)∫sin'xdx (3)∫sin7xcos(正-3x)d (4)∫csc xdx (5)「sin3 xcosxdx. (6)「scc2xtan'xdk. 分析在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，主要思路就是利用三角 恒等式把被积函数化为熟知的积分，通常会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化 和差公式等. 解(I)被积函数是奇次幂，从被积函数中分离出cosx,并与d凑成微分d(sinx)
（1） 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 0) n n n n f ax b x dx f ax b d ax b a na − + = + + ； （2） 1 ( ) ( ) ln x x x x f a a dx f a da a = ； （3） f x xdx f x d x (sin )cos (sin ) (sin ) = ； 适用于求形如 2 1 sin cos m n x xdx + 的积分，（ mn, 是自然数）． （4） f x xdx f x d x (cos )sin (cos ) (cos ) = − ； 适用于求形如 2 1 sin cos m n x xdx − 的积分，（ mn, 是自然数）． （5） 2 f x xdx f x d x (tan )sec (tan ) (tan ) = ； 适用于求形如 2 tan sec m n x xdx 的积分，（ mn, 是自然数）． （6） 2 f x xdx f x d x (cot )csc (cot ) (cot ) = − ； 适用于求形如是 2 cot csc m n x xdx 的积分，（ mn, 是自然数）． （7） 1 f x dx f x d x (ln ) (ln ) ln x = ； （8） 2 1 (arcsin ) (arcsin ) (arcsin ) 1 f x dx f x d x x = − ； （9） 2 1 (arccos ) (arccos ) (arccos ) 1 f x dx f x d x x = − − ； （10） 2 (arctan ) (arctan ) (arctan ) 1 f x dx f x d x x = + ； （11） 2 ( cot ) ( cot ) ( cot ) 1 f arc x dx f arc x d arc x x = − + ； （12） ( ) 1 ( ( )) ( ) ( ) f x dx d f x f x f x = ； 例７ 求下列函数的不定积分： （1） 3 cos xdx ． （2） 4 sin xdx ． （3） sin 7 cos( 3 ) 4 x x dx − ． （4） 6 csc xdx ． （5） 3 4 sin cos x xdx ． （6） 3 5 sec tan x xdx ． 分析 在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，主要思路就是利用三角 恒等式把被积函数化为熟知的积分，通常会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化 和差公式等． 解 （1）被积函数是奇次幂，从被积函数中分离出 cos x ，并与 dx 凑成微分 d x (sin )
再利用三角恒等式sm2x+cos2x=1,然后即可积分. 「cos3xdk=cos2 xd(sinx)=[-sin2xd(sinx)=「dsinx-∫sin2 xdsinx sinx-sin'x+C (2)被积函数是偶次幂，基本方法是利用三角恒等式sin'x=1-cos2,降低被积函数 2 的幂次. jm=小25y =月-5os2x+os4a达 -景-sn2x+2mr+C. (3)利用积化和差公式将被积函数化为代数和的形式. [sin 7xcos(-3x)dx=fIsin(x+)+sin(10x-)d =sm4x+学d4+学+2 finto-孕dor-至 =gos4x+孕-o0or-孕+c. (4)利用三角恒等式csc2x=1+cot2x及csc2xdk=-dcot) ∫csc"xdx=「(csc2 x)csc2xdt=-f0+cot2x}d(cotx) =-f(+2cox+codcotx=-cotx-coo+C. (5)因为sin3xt=sin2 (sinxd)=-sin2xd(cosx),所以 ∫sin'xcos'xt=-∫sin2 xcosxd(cosx)=-∫0-cos2x)cos'xd(cosx) =-∫cos'xd(cosx)+∫cos°xd(cosx) =-cosx+cos'x+C (6)由于sec xtanxd=d(secx),所以 [sec'xtan'xd=[sec'xtan'xd(secx)=[secx(secx-1)d(secx) =f(sec'x-2sec'x+secx)d(secx)-sec'x-sec'x+sec'x+C 注利用上述方法类似可求下列积分 ∫sin'xd、∫cos2xt、∫cos3xcos2xd、∫secxdx、∫sin'xcos'xt
再利用三角恒等式 2 2 sin cos 1 x x + = ，然后即可积分． 3 2 2 cos cos (sin ) (1 sin ) (sin ) xdx xd x x d x = = − 2 = − d x xd x sin sin sin 1 3 sin sin 3 = − + x x C ． （2）被积函数是偶次幂，基本方法是利用三角恒等式 2 1 cos 2 sin 2 x x − = ，降低被积函数 的幂次． 4 2 1 cos 2 sin ( ) 2 x xdx dx − = 3 1 1 ( cos 2 cos 4 ) 8 2 8 = − +x x dx 3 1 1 sin 2 sin 4 8 4 32 = − + + x x x C ． （3）利用积化和差公式将被积函数化为代数和的形式． 1 sin 7 cos( 3 ) [sin(4 ) sin(10 )] 4 2 4 4 x x dx x x dx − = + + − 1 1 sin(4 ) (4 ) sin(10 ) (10 ) 8 4 4 20 4 4 x d x x d x = + + + − − 1 1 cos(4 ) cos(10 ) 8 4 20 4 x x C = − + − − + ． （4）利用三角恒等式 2 2 csc 1 cot x x = + 及 2 csc (cot ) xdx d x = − ． 6 2 2 2 2 2 csc (csc ) csc (1 cot ) (cot ) xdx x xdx x d x = = − + 2 4 = − + + (1 2cot cot ) cot x x d x 2 1 3 5 cot cot cot 3 5 = − − − + x x x C ． （5）因为 3 2 2 sin sin (sin ) sin (cos ) xdx x xdx xd x = = − ，所以 3 4 2 4 sin cos sin cos (cos ) x xdx x xd x = − 2 4 = − − (1 cos )cos (cos ) x xd x 4 6 = − + cos (cos ) cos (cos ) xd x xd x 1 1 5 7 cos cos 5 7 = − + + x x C ． （6）由于 sec tan (sec ) x xdx d x = ，所以 3 5 2 4 sec tan sec tan (sec ) x xdx x xd x = 2 2 2 = − sec (sec 1) (sec ) x x d x 6 4 2 = − + (sec 2sec sec ) (sec ) x x x d x 1 2 1 7 5 3 sec sec sec 7 5 3 = − + + x x x C ． 注 利用上述方法类似可求下列积分 3 sin xdx 、 2 cos xdx 、 cos3 cos2 x xdx 、 6 sec xdx 、 2 5 sin cos x xdx