《高等数学》课程教学资源（典型例题详解）第九章 曲线积分与曲面积分

三、典型例题解析 例1计算1=，其中L是圆+少=中0，)到是爱之间的一段劣孤 (a>0). 解法1将积分弧段分为4C和CB两段弧来计算（如图9 一1所示)： ∫nd=迹+d 而 h=o2=, 图9一 。可品女方 故 1=可h=0+万女2 解法2L=AB的参数方程为：x=acos0,y=asin0(←元≤0s),于是 1-acs-asinay +(acosoY do 错误解答设C(a0),因为4C:y=√后P-平，CB:y=-厅-F,则沿此两段弧均有 典故有地=方如 错解分析错误原因在于选x作为参数时，y表示为x的单值函数时有两个表达式，故 必须分为两段计算. 注在求对弧长的曲线积分时，若己知积分曲线的参数方程为L:x=(),y=() 且1=口和1=B分别对应点A与点B处的参数值，在将曲线积分转化为定积分时，除了要求 积分的下限小于上限，还要注意：当t从a连续变化到B时，相应的点(()，)应在积分 曲线上.同时，若将非参数的积分曲线转化为参数形式时，参数方程不同，积分限也不同， 计算的难易程度也不同，所以，一般要选取计算较为简单的参数方程形式 例2计算手x-y+1)d,其中L是顶点为00,0)，41,0)及B0,1)所成三角形的边界

三、典型例题解析 例 1 计算 L I xds =  ，其中 L 是圆 2 2 2 x y a + = 中 A a (0, ) 到 ( , ) 2 2 a a B − 之间的一段劣弧 （a  0)． 解法 1 将积分弧段分为 AC 和 CB 两段弧来计算（如图 9 －1 所示）： AB AC CB xds xds xds = +    而 2 0 2 2 a AC ax xds dx a a x = = −   ， 2 2 2 2 2 a a CB ax a xds dx a x = = −   ． 图 9－1 故 1 2 (1 ) 2 L I xds a = = +  ． 解法 2 L AB = 的参数方程为： x a y a = = cos , sin   ( ) 4 2   −    ，于是 2 4 2 2 I a a a d cos ( sin ) ( cos )       − = − +  2 4 2 2 1 cos (1 ) 2 a d a     − = = +  ． 错误解答 设 C a( ,0) ，因为 2 2 AC y a x : = − ， 2 2 CB y a x : = − − ，则沿此两段弧均有 2 2 adx ds a x = − ，故有 2 2 0 2 2 1 (1 ) 2 a AB ax xds dx a a x = = − −   ． 错解分析 错误原因在于选 x 作为参数时， y 表示为 x 的单值函数时有两个表达式，故 必须分为两段计算． 注 在求对弧长的曲线积分时，若已知积分曲线的参数方程为 L ：x t = ( )，y t = ( ) 且 t = 和 t =  分别对应点 A 与点 B 处的参数值，在将曲线积分转化为定积分时，除了要求 积分的下限小于上限，还要注意：当 t 从  连续变化到  时，相应的点 ( ( ), ( ))   t t 应在积分 曲线上．同时，若将非参数的积分曲线转化为参数形式时，参数方程不同，积分限也不同， 计算的难易程度也不同，所以，一般要选取计算较为简单的参数方程形式． 例 2 计算 ( 1) L x y ds − +  ，其中 L 是顶点为 O A (0,0), (1,0) 及 B(0,1) 所成三角形的边界． x y o A B C

解L是分段光滑的闭曲线，如图9一2所示，根据积分的可加 性，则有 ∮(x-y+Id =(x-y+1)d+x-y+1)d+x-y+1)d, 由于OA:y=0,0sxs1,于是 图9一2 山=尝+（安=F+0= 故 x-y+1h=x-0+= 而AB:y=1-x,0≤x≤1，于是 山=会+密=+（在=. ∫x-y+达=x-1-)+5k=2, 同可阳000s1,-+密=甲=，则 jx-y+达=可0-y+w= 综上所述x-y+1达=+巨+=2+反. 注当L是分段光滑的闭曲线时，应该分成光滑曲线逐段计算 例3计算√R+Fk,其中L为圆周x+y'=,a>0 分析积分曲线L关于x轴对称（如图9一3所示），被积函数为关于y的偶函数，由对 称性得 手NR+y=2R+少， 其中4：x2+y2=y≥0). 解法1直接化为定积分。上的参数方程为 x=号+5cos0,y=号sin0(0s0sx）, ds=x(+y(o)de=4de 图9-3 于是

解 L 是分段光滑的闭曲线，如图 9－2 所示，根据积分的可加 性，则有 ( 1) L x y ds − +  ( 1) OA = − + x y ds  ( 1) AB + − + x y ds  ( 1) BO + − + x y ds  ， 由于 OA : y = 0 ， 0 1  x ，于是 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 0 dx dy ds dx dx dx dx dx = + = + = ， 图 9－2 故 1 0 3 ( 1) ( 0 1) 2 x y ds x dx − + = − + =   OA ， 而 AB : y x = −1 , 0 1  x ，于是 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( 1) 2 dx dy ds dx dx dx dx dx = + = + − = ． 故 1 0 ( 1) [ (1 ) 1] 2 2 AB x y ds x x dx − + = − − + =   ， 同理可知 BO : x = 0 （ 0 1  y ）， 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 1 dx dy ds dy dy dy dy dy = + = + = ，则 1 0 1 ( 1) [0 1] BO 2 x y ds y dy − + = − + =   ． 综上所述 3 1 ( 1) 2 2 2 L 2 2 x y ds − + = + + = +  ． 注 当 L 是分段光滑的闭曲线时，应该分成光滑曲线逐段计算． 例 3 计算 2 2 L x y ds +  ，其中 L 为圆周 2 2 x y ax + = ，a  0 ． 分析 积分曲线 L 关于 x 轴对称（如图 9－3 所示），被积函数为关于 y 的偶函数，由对 称性得 2 2 2 2 2 L L x y ds x y ds + = +   1 , 其中 2 2 1L x y ax y : ( 0) + =  ． 解法 1 直接化为定积分． L1 的参数方程为 cos 2 2 a a x = +  , sin 2 a y =  （ 0     ）, 且 2 2 [ ( )] [ ( )] 2 a ds x y d d = + =       ． 图 9－3 于是 x y o L L1 a x y o A(1,0) B(0,1)

手.F+yh=重.瓜dh=2 2facos号号d0=2r. 解法2L的极坐标方程为r0)=acos80s0s),则 y=r(0)sine,x=r(0)cos0, ac0,dsdad +yds=2[a cosodo=2a. 注1在解法1中，参数0表示圆心角，而在解法2中，参数0表示极坐标系下的极角， 参数的意义不同，一般取值范围也不相同. 注2若曲线在极坐标系下的方程为r=r(),则本=√P+(dB,可直接用此式. 注3当积分曲线L关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第一类曲线 分.一般地，有以下的结论： (1)若曲线L关于x轴对称，记L,是L的y≥0的部分，fx,)在L上连续，则 a.∫fx,d=2fx,d(若fx)是关于y的偶函数). b.∫/xy=0(若fx,)是关于y的奇函数). (2)若曲线L关于y轴对称，记是L的x20的部分，f八x,)在L上连续，则 a.∫fx,y)d=2f(x,yd(若fx,)是关于x的偶函数). b.∫f,杰=0（若fx)是关于x的奇函数）. 例4计算∫xz其中「为折线段ABCD，这里 40.0.0),B0,0,2.C1,0,2.D1,2,3). D1,23 分析求本题曲线积分的关键是求三条线段AB,BC,CD C0,2 的参数方程.在空间中过点(，片，)，（伍，片，）的直线的对 称式方程为 图9-4 x-=y-X=-5 5-x为-月-9 令该比例式等于1，可得直线的参数方程. 解如图9一4所示， ∫xzd=∫md+∫zd+∫而d 线段AB的参数方程为x=0,y=0,:=21(0≤1≤1)，则

2 2 2 0 2 cos 2 L L 2 2 a x y ds axds a d a   + = =  =     ． 解法 2 L1 的极坐标方程为 ( ) cos (0 ) 2 r a     =   ，则 y r = ( )sin   ， x r = ( )cos   ， 2 2 x y r a + = = ( ) cos   ， 2 2 ( ) dr ds r d ad d    = + = ， 2 2 2 2 2 0 2 cos 2 L x y ds a d a  + = =     ． 注 1 在解法 1 中，参数  表示圆心角，而在解法 2 中，参数  表示极坐标系下的极角， 参数的意义不同，一般取值范围也不相同． 注 2 若曲线在极坐标系下的方程为 r r = ( )  ，则 2 2 ds r r d = +[ ( )]    ，可直接用此式． 注 3 当积分曲线 L 关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第一类曲线 分．一般地，有以下的结论: （1）若曲线 L 关于 x 轴对称，记 L1 是 L 的 y  0 的部分， f x y ( , ) 在 L 上连续，则 a． ( , ) L f x y ds  = 1 2 ( , ) L f x y ds  （若 f x y ( , ) 是关于 y 的偶函数）． b． ( , ) L f x y ds  = 0 （若 f x y ( , ) 是关于 y 的奇函数）． （2）若曲线 L 关于 y 轴对称，记 L1 是 L 的 x  0 的部分， f x y ( , ) 在 L 上连续，则 a． ( , ) L f x y ds  = 1 2 ( , ) L f x y ds  （若 f x y ( , ) 是关于 x 的偶函数）． b． ( , ) L f x y ds  = 0 （若 f x y ( , ) 是关于 x 的奇函数）． 例 4 计算 2 x yzds   其中  为折线 段 ABCD ，这里 A(0,0,0)， B(0,0,2), C(1,0,2), D(1,2,3) ． 分析 求本题曲线积分的关键是求三条线段 AB, BC,CD 的参数方程．在空间中过点 1 1 1 ( , , ) x y z ， 2 2 2 ( , , ) x y z 的直线的对 称式方程为 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − ， 令该比例式等于 t ，可得直线的参数方程． 解 如图 9－4 所示， 2 2 2 2 AB BC CD x yzds x yzds x yzds x yzds  = + +     ． 线段 AB 的参数方程为 x y z t t = = =   0, 0, 2 (0 1) ，则 x y z A(0,0,0) B(0,0,2) C(1,0,2) D(1,2,3) 图 9－4

-++ =+0+2d=2h, 故 ∫m2a-600-212h=0. 线段BC的参数方程为x=1,y=0,:=2(0≤1≤1)，则 ds=+dt =di, 故 ∫r=jr.02h=0, 线段CD的参数方程为x=Ly=24,:=2+1(0≤1≤1)，则 dk=V0+22+1Pdh=√5d, 故 ∫zs=j2-2+0小5d=25.2+rh=5 所以 =可nr+∫xra+ar杰=5. 例5计算重xd,『为球面x2+y2+2=d(a>0)与平面x+y+:=0的交线。 分析此题为对空间曲线弧的曲线积分，一般地，若Γ的参数方程为x=),y=w), :=o)(a≤1≤B)且在a≤1≤B上具有连续导数，则有 ∫fxy=d=ff几a,w.oUkF+[w'or+[ood 解法1先将曲线「用参数方程表示，由于「是球面 x2+y+2=d与经过球心的平面x+y+:=0的交线，如图9-5 所示，因此是空间一个半径为a的圆周，它在xOy平面上的投影为 椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去：而得到，即以 :=-+列代入2+少+：=有+可+少=号将我化为8 图9- 数方程，令号石1，即尽0o,兰y=行m1,即有 y=号m-后.代入r++后（便+*0

2 2 2 ( ) ( ) ( ) dx dy dz ds dt dt dt = + + 2 2 2 = + + = 0 0 2 2 dt dt ， 故 0 0 2 2 0 1 0 2 =    =   x yzds t dt AB ． 线段 BC 的参数方程为 x t y z t = = =   , 0, 2(0 1) ，则 222 ds dt dt = + + = 1 0 0 , 故 1 2 2 0 0 2 0 BC x yzds t dt =    =   ， 线段 CD 的参数方程为 x y t z t = = = + 1, 2 , 2 (0  t 1) ，则 2 2 2 ds dt dt = + + = 0 2 1 5 ， 故 1 1 2 2 0 0 8 1 2 (2 ) 5 2 5 ) 5 CD 3 x yzds t t dt t t dt =   +  = + =    2 (2 ， 所以 2 2 2 2 8 5 AB BC CD 3 x yzds x yzds x yzds x yzds  = + + =     ． 例 5 计算 2 x ds  ， 为球面 2 2 2 2 x y z a a + + =  ( 0) 与平面 x y z + + = 0 的交线． 分析 此题为对空间曲线弧的曲线积分，一般地，若  的参数方程为 x t =( ) ，y t =( ) ， z t =( ) （    t ）且在    t 上具有连续导数，则有 2 2 2 f x y z ds f t t t t t t dt ( , , ) [ ( ), ( ), ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]          = + +      ． 解法 1 先将曲线  用参数方程表示，由于  是球面 2 2 2 2 x y z a + + = 与经过球心的平面 x y z + + = 0 的交线，如图 9－5 所示，因此是空间一个半径为 a 的圆周，它在 xOy 平面上的投影为 椭圆，其方程可 以从两个曲 面方程中 消去 z 而得到，即以 z x y = − + ( ) 代入 2 2 2 2 x y z a + + = 有 2 2 2 2 a x xy y + + = ，将其化为参 图 9－5 数方程，令 3 cos 2 2 a x t = ，即 2 cos 3 x a t = ， sin 2 2 x a + =y t ，即有 sin cos 2 6 a a y t t = − ，代入 2 2 2 2 x y z a + + = （或 x y z + + = 0 中） x z o y

得：=行n1一后1，从面「的参数方程为 x=后acos,y=是n1-6cos,:=及n1-5os10s1s2). 则=o+Dor+E +罗++常罗a 所以手nr达=女a=号co=子d 解法2利用对称性 由于积分曲线方程中的变量x,上，：具有轮换对称性，即三个变量轮换位置，方程不变， 故有 重xd=重yd=重d, 因此 手r=心+y+s=.d-写2a=号d. 注这里通过巧妙地利用轮换对称性，使计算大大简化，一般来讲，对于曲线的方程， 若其坐标的位置完全平等（即将x,八：轮换位置，曲线方程的形式不变），则可以考虑轮换 对称性.另外，对曲线积分，若被积函数出现积分曲线方程的形式，则将积分曲线方程代入 被积函数中通常可以将积分化简。 例6设一段曲线y=nx(0<,xx)上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标 的平方，求其质量。 分析首先求出线密度px,),然后再利用公式M=Pxy)达即可 解依题意曲线的线密度为p=x2,故所求质量为M=[xd,其中 L:y=lnx(0<≤x≤).则L的参数方程为 小 -V, 所以

得 sin cos 2 6 a a z t t = − − ，从而  的参数方程为 2 cos 3 x a t = ， sin cos 2 6 a a y t t = − ， sin cos 2 6 a a z t t = − − (0 2 )  t  ． 则 2 2 2 ds x t y t z t dt = + + [ ( )] [ ( )] [ ( )]    2 cos sin sin cos 2 2 2 sin ( ) ( ) 3 2 6 6 2 t t t t = + + + − = a t dt adt , 所以 2 2 2 2 2 3 2 3 0 0 2 2 2 cos cos 3 3 3 x ds a tadt a tdt a     = = =    ． 解法 2 利用对称性 由于积分曲线方程中的变量 x y z , , 具有轮换对称性，即三个变量轮换位置， 方程不变， 故有 2 x ds  2 y ds  = =  2 z ds  ， 因此 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 3 3 x ds x y z ds a ds    = + + =    2 2 3 2 3 3 a =  =   a a ． 注 这里通过巧妙地利用轮换对称性，使计算大大简化，一般来讲，对于曲线的方程， 若其坐标的位置完全平等（即将 x y z , , 轮换位置，曲线方程的形式不变），则可以考虑轮换 对称性．另外，对曲线积分，若被积函数出现积分曲线方程的形式，则将积分曲线方程代入 被积函数中通常可以将积分化简． 例 6 设一段曲线 1 2 y x x x x =    ln (0 ) 上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标 的平方，求其质量． 分析 首先求出线密度 ( , ) x y ，然后再利用公式 ( , ) L M x y ds =   即可． 解 依题意曲线的线密度为 2  = x ，故所求质量为 2 L M x ds =  ，其中 1 2 L y x x x x : ln (0 ) =    ．则 L 的参数方程为 ln x x y x  =   = 1 2 (0 )    x x x ， 故 2 2 2 1 1 1 1 1 dy ds dx dx x dx dx x x   = + = + = +     ， 所以